初中数学 04 代数式：整式：单项式+多项式

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、代数式

代数式是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。

例如，\(3x + 2y\)、\(\frac{a - b}{c}\)、\(m^{2}-n^{2}\)、\(\sqrt{a}\)（\(a\geqslant0\)）等都是代数式。

单独的一个数或者一个字母也称为代数式，比如\(5\)、\(a\)。

代数式的分类：整式、分式、根式

1、整式：

（1）单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。

例如，\(3x\)、\(-5\)、\(y\)都是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如在单项式\(3x^{2}y\)中，系数是\(3\)，次数是\(2 + 1 = 3\)。

（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。

例如，\(2x^{2}+3x - 1\)是多项式，它由单项式\(2x^{2}\)、\(3x\)、\(-1\)组成。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。

多项式里次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。如多项式\(x^{3}-2x^{2}+5\)的次数是\(3\)，常数项是\(5\)。

2、分式：

用\(A\)、\(B\)表示两个整式，\(A\div B\)就可以表示成\(\frac{A}{B}\)的形式，如果\(B\)中含有字母，式子\(\frac{A}{B}\)就叫做分式。

例如，\(\frac{x + 1}{x - 1}\)、\(\frac{2}{x}\)都是分式。分式的分母不能为\(0\)，否则分式无意义。

3、根式：

一般地，形如\(\sqrt{a}(a\geqslant0)\)的代数式叫做二次根式。当\(n\)为大于\(1\)的整数时，\(n\)次根式表示为\(\sqrt[n]{a}\)。

例如，\(\sqrt{2}\)是二次根式，\(\sqrt[3]{8}\)是三次根式。

根式的被开方数须满足一定条件，对于二次根式\(\sqrt{a}\)，\(a\geqslant0\)；对于奇数次根式，\(a\)可以为任意实数。

代数式的运算

整式运算

加法和减法：整式的加减法实质是合并同类项。同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。

例如，在\(3x^{2}+2x^{2}-5x\)中，\(3x^{2}\)和\(2x^{2}\)是同类项，可以合并为\((3 + 2)x^{2}=5x^{2}\)，所以\(3x^{2}+2x^{2}-5x = 5x^{2}-5x\)。

乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

例如，\(3x\cdot2y = 6xy\)。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，如\(a(b + c)=ab + ac\)。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，如\((a + b)(c + d)=ac + ad+bc + bd\)。

除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

例如，\(6x^{3}y\div2xy = 3x^{2}\)。多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，如\((9x^{2}-6x)\div3x = 3x - 2\)。

分式运算

加法和减法：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。例如，\(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a + c}{b}\)。异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减。如\(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad + bc}{bd}\)。

乘法和除法：分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。例如，\(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\)。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，如\(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}\)。

根式运算

加法和减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并。例如，\(\sqrt{8}+\sqrt{18}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)。

乘法和除法：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。例如，\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geqslant0,b\geqslant0)\)。二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。如\(\sqrt{a}\div\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geqslant0,b>0)\)。

四、代数式的应用

列代数式解决实际问题：在实际生活中，很多问题可以用代数式来表示。

例如，若苹果的单价为\(a\)元/千克，香蕉的单价为\(b\)元/千克，购买\(3\)千克苹果和\(2\)千克香蕉的总价可以用代数式\(3a + 2b\)来表示。

在几何问题中的应用：在几何图形的面积、体积等计算中也经常用到代数式。

例如，一个长方形的长为\(a\)，宽为\(b\)，其面积\(S = ab\)；一个正方体的棱长为\(a\)，其体积\(V=a^{3}\)。代数式可以帮助我们方便地表示几何量之间的关系，并且通过运算求解相关问题。

在函数中的应用：函数表达式本身就是代数式。

例如，一次函数\(y = kx + b\)（\(k\)、\(b\)为常数，\(k\neq0\)），二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)为常数，\(a\neq0\)）等，通过对代数式的研究可以分析函数的性质，如单调性、最值等。

五、数论

1. 整除性问题

例1：证明对于任意整数\(n\)，代数式\(n^2 - n\)能被\(2\)整除。

分析：将\(n^2 - n\)分解为\(n(n - 1)\)，因为\(n\)和\(n - 1\)是两个连续的整数，所以它们中必有一个是偶数，能被\(2\)整除，那么\(n(n - 1)\)也能被\(2\)整除。

例2：若\(a = 3k + 1\)，\(b = 3m + 2\)（\(k,m\)为整数），判断代数式\(a + b\)能否被\(3\)整除。

分析：将\(a + b\)表示为\((3k + 1)+(3m + 2)=3(k + m + 1)\)，显然可以被\(3\)整除。

例3：证明对于任意整数\(n\)，代数式\(n^3 - n\)能被\(6\)整除。

分析：\(n^3 - n=n(n - 1)(n + 1)\)，这是三个连续整数的乘积。三个连续整数中一定有一个能被\(3\)整除，一个能被\(2\)整除，所以它们的乘积能被\(6\)整除。

2. 同余问题

例4：求代数式\(3x + 5\)除以\(7\)的余数，其中\(x = 4k + 3\)（\(k\)为整数）。

分析：将\(x = 4k + 3\)代入\(3x + 5\)得\(3(4k + 3)+5 = 12k+9 + 5=12k + 14\)，\(12k + 14\)除以\(7\)的余数为\(0\)，因为\(12k\)能被\(4\)整除，\(14\)能被\(7\)整除。

例5：已知\(a\equiv 2\pmod{5}\)，\(b\equiv 3\pmod{5}\)，求\((2a - 3b)\)对\(5\)取模的结果。

分析：因为\(a\equiv 2\pmod{5}\)，所以\(2a\equiv 4\pmod{5}\)；又因为\(b\equiv 3\pmod{5}\)，所以\(3b\equiv 9\equiv 4\pmod{5}\)，那么\(2a-3b\equiv 4 - 4\equiv 0\pmod{5}\)。

例6：对于代数式\(7n + 4\)，\(n\in Z\)，求其除以\(3\)的所有可能余数。

分析：将\(n\)分为\(3k\)、\(3k + 1\)、\(3k + 2\)（\(k\in Z\)）三种情况。当\(n = 3k\)时，\(7n+4 = 21k + 4\equiv 1\pmod{3}\)；当\(n = 3k + 1\)时，\(7n + 4=7(3k + 1)+4 = 21k+7 + 4\equiv 2\pmod{3}\)；当\(n = 3k + 2\)时，\(7n + 4=7(3k + 2)+4 = 21k + 14 + 4\equiv 0\pmod{3}\)。所以余数可能为\(0\)、\(1\)、\(2\)。

3. 素数判定问题

例7：对于代数式\(n^2 + n + 41\)，当\(n = 1\)到\(n = 39\)时，判断其值是否为素数。

分析：依次将\(n = 1,2,\cdots,39\)代入\(n^2 + n + 41\)进行计算。当\(n = 1\)时，\(1^2 + 1 + 41 = 43\)是素数；当\(n = 2\)时，\(2^2 + 2 + 41 = 47\)是素数……经检验，在这个范围内的值大多是素数，但当\(n = 40\)时，\(40^2+40 + 41=40\times(40 + 1)+41 = 40\times41+41=(40 + 1)\times41\)不是素数，说明这个代数式不能总是生成素数。

例8：证明如果\(2^p - 1\)是素数（\(p\)也是素数），那么\(M_p = 2^p - 1\)被称为梅森素数。判断代数式\(M_p\)在\(p = 2,3,5\)时是否为素数。

分析：当\(p = 2\)时，\(M_2 = 2^2 - 1 = 3\)是素数；当\(p = 3\)时，\(M_3 = 2^3 - 1 = 7\)是素数；当\(p = 5\)时，\(M_5 = 2^5 - 1 = 31\)是素数。

4. 数的分解问题

例9：对于代数式\(x^2 - y^2\)，将\(120\)表示成这种形式（\(x,y\)为整数）。

分析：\(x^2 - y^2=(x + y)(x - y)\)，令\(x + y = 12\)，\(x - y = 10\)，解得\(x = 11\)，\(y = 1\)，此时\(x^2 - y^2 = 120\)。

例10：用代数式\(n(n + 1)(n + 2)\)的形式分解\(336\)。

分析：尝试不同的\(n\)值，当\(n = 6\)时，\(n(n + 1)(n + 2)=6\times7\times8 = 336\)。

例11：将\(1001\)分解为两个代数式的乘积，形如\((a + b)(a - b)\)。

分析：设\(a + b = 143\)，\(a - b = 7\)，解得\(a = 75\)，\(b = 68\)，则\(1001=(75 + 68)(75 - 68)\)。

5. 最大公因数和最小公倍数问题

例12：设\(a = 2n + 1\)，\(b = 2n - 1\)（\(n\)为整数），求\((a,b)\)（最大公因数）。

分析：利用辗转相除法，\(a - b=(2n + 1)-(2n - 1)=2\)，所以\((a,b)=1\)。

例13：对于代数式\(m = 3x^2y\)，\(n = 4xy^2\)（\(x,y\)为正整数），求\([m,n]\)（最小公倍数）。

分析：先求\(m\)和\(n\)的质因数分解，\(m = 3\times x\times x\times y\)，\(n = 2\times2\times x\times y\times y\)，所以\([m,n]=12x^2y^2\)。

例14：已知\(a = 5k + 3\)，\(b = 5m + 2\)（\(k,m\)为整数），求\((a,b)\)。

分析：\(a - b=(5k + 3)-(5m + 2)=5(k - m)+1\)，通过试值等方法可得\((a,b)=1\)。

6. 完全平方数问题

例15：证明代数式\(n^2 + 2n + 1\)是完全平方数。

分析：\(n^2 + 2n + 1=(n + 1)^2\)，所以它是完全平方数。

例16：对于代数式\(9n^2 + 6n + 1\)，判断当\(n\)为整数时是否为完全平方数。

分析：\(9n^2 + 6n + 1=(3n + 1)^2\)，因为\(n\)是整数，所以它是完全平方数。

例17：若\(m^2 = n^2 + 2n + 1\)，\(m,n\)为整数，求\(m\)和\(n\)的关系。

分析：因为\(n^2 + 2n + 1=(n + 1)^2\)，所以\(m = n + 1\)或\(m=-(n + 1)\)。

7. 不定方程问题

例18：求代数式\(x + y = 10\)（\(x,y\)为正整数）的所有正整数解。

分析：当\(x = 1\)时，\(y = 9\)；当\(x = 2\)时，\(y = 8\)……当\(x = 9\)时，\(y = 1\)，共有\(9\)组解。

例19：对于不定方程\(2x + 3y = 17\)（\(x,y\)为整数），求解。

分析：对\(y\)进行讨论，当\(y = 1\)时，\(2x+3\times1 = 17\)，解得\(x = 7\)；当\(y = 3\)时，\(2x+3\times3 = 17\)，解得\(x = 4\)；当\(y = 5\)时，\(2x + 3\times5 = 17\)，解得\(x = 1\)。

例20：求满足\(x^2 - y^2 = 21\)（\(x,y\)为正整数）的解。

分析：\(x^2 - y^2=(x + y)(x - y)=21\)，因为\(21 = 1\times21=3\times7\)，分别讨论可得\(\begin{cases}x + y = 7\\x - y = 3\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x = 5\\y = 2\end{cases}\)。

二、单项式

单项式是整式的一种，是由数与字母的积组成的代数式，单独的一个数或者一个字母也叫做单项式。

例如，\(5\)、\(x\)、\(-3y\)、\(\frac{2}{3}xy^2\)等都是单项式。

其中，数字因数叫做单项式的系数，在单项式\(\frac{2}{3}xy^2\)中，\(\frac{2}{3}\)就是系数。

所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

例如，\(xy^2\)。\(x\)的次数是\(1\)，\(y\)的次数是\(2\)，所以这个单项式的次数是\(1 + 2 = 3\)。

1、单项式的系数

数字系数：系数可以是整数、分数或者小数。

例如，在单项式\(4x\)中，系数是\(4\)；在单项式\(-\frac{1}{2}y^3\)中，系数是\(-\frac{1}{2}\)；在单项式\(0.3z^2\)中，系数是\(0.3\)。

系数为\(1\)或\(-1\)的情况：当系数为\(1\)时，通常省略不写，如\(x\)的系数实际是\(1\)；当系数为\(-1\)时，只写“\(-\)”，例如\(-y\)的系数是\(-1\)。

系数的意义：系数表示单项式中的数字部分，它决定了单项式的大小和方向（当系数为负时）。

例如，对于单项式\(3x\)和\(-3x\)，它们的次数相同，但系数不同，这使得它们在数值上随着\(x\)的变化而有不同的变化趋势。

2、单项式的次数

次数的计算：计算单项式的次数时，只考虑字母的指数。

例如，在单项式\(a^2b^3\)中，\(a\)的指数是\(2\)，\(b\)的指数是\(3\)，所以这个单项式的次数是\(2+3 = 5\)。对于单独的一个非零数，如\(7\)，可以看作\(7x^0\)（\(x\)是任意字母），次数是\(0\)。

次数的作用：次数反映了单项式的变量部分的复杂程度。在多项式的运算和比较中，次数是一个重要的指标。

例如，在多项式加法中，通常将次数相同的单项式进行合并同类项操作。

3、单项式的运算

乘法运算

同底数幂的乘法：当两个单项式相乘，且含有相同字母时，根据同底数幂的乘法法则\(a^m\times a^n=a^{m + n}\)进行计算。例如，\(x^2\times x^3=x^{2 + 3}=x^5\)。对于系数部分，按照有理数的乘法法则进行计算，如\(3x^2\times2x^3=(3\times2)x^{2 + 3}=6x^5\)。

单项式与单项式相乘：将系数与系数相乘，同底数幂分别相乘。例如，\((-2a^2b)(3ab^2)=(-2\times3)(a^2\times a)(b\times b^2)= - 6a^3b^3\)。

除法运算

同底数幂的除法：根据同底数幂的除法法则\(a^m\div a^n=a^{m - n}(a\neq0,m\geq n)\)进行计算。例如，\(x^5\div x^3=x^{5 - 3}=x^2\)。

单项式与单项式相除：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。例如，\((6x^3y^2)\div(2xy)= (6\div2)(x^3\div x)(y^2\div y)=3x^2y\)。

4、单项式与多项式的关系

单项式是多项式的基本组成部分：多项式是由几个单项式的和组成的代数式。例如，多项式\(2x^2+3x - 1\)是由单项式\(2x^2\)、\(3x\)和\(-1\)组成的。

单项式与多项式的乘法：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。例如，\(a(2b + c)=2ab+ac\)。

单项式与多项式的除法：多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。例如，\((4x^2 - 2x)\div2x = 4x^2\div2x-2x\div2x = 2x - 1\)。

三、多项式

多项式是几个单项式的和。例如，\(3x^2 + 2x - 1\)是多项式，它由单项式\(3x^2\)、\(2x\)和\(-1\)组成。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，如在\(3x^2 + 2x - 1\)中，\(-1\)是常数项。多项式里次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。像\(x^3 - 2x^2 + 5\)的次数是\(3\)。

1、多项式的项与次数

项的分类：多项式的项包括含字母的项和常数项。例如在多项式\(4x^3 - 3x^2 + 2x + 7\)中，\(4x^3\)、\(-3x^2\)、\(2x\)是含字母的项，\(7\)是常数项。

次数的确定：通过比较各项的次数来确定多项式的次数。例如多项式\(2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 7x + 1\)，第一项\(2x^4\)的次数是\(4\)，第二项\(-3x^3\)的次数是\(3\)，第三项\(5x^2\)的次数是\(2\)，第四项\(-7x\)的次数是\(1\)，第五项\(1\)的次数是\(0\)，因为\(4\)是这些次数中的最大值，所以这个多项式的次数是\(4\)。

2、多项式的运算

加法和减法：多项式加减法的实质是合并同类项。同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。例如，计算\((3x^2 + 2x - 1)+(2x^2 - 3x + 4)\)，先将同类项分别相加，得到\((3x^2+2x^2)+(2x - 3x)+(-1 + 4)=5x^2 - x + 3\)。

乘法：

单项式与多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。例如，\(a(2b + c)=2ab + ac\)。

多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。例如，\((a + b)(c + d)=ac + ad + bc + bd\)。

除法：

多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。例如，\((9x^2 - 6x)\div3x = 9x^2\div3x-6x\div3x = 3x - 2\)。

多项式除以多项式：可以使用长除法或综合除法来计算。例如，用\(x^2 + 3x + 2\)除以\(x + 1\)，使用长除法：先将\(x^2\)除以\(x\)得\(x\)，然后\((x^2 + 3x + 2)-(x(x + 1))=(x^2 + 3x + 2)-(x^2 + x)=2x + 2\)，再将\(2x\)除以\(x\)得\(2\)，\((2x + 2)-2(x + 1)=(2x + 2)-(2x + 2)=0\)，所以商是\(x + 2\)。

3、多项式的排列

升幂排列：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做按这个字母的升幂排列。例如，多项式\(3x + x^2 - 1\)按\(x\)的升幂排列为\(-1 + 3x + x^2\)。

降幂排列：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做按这个字母的降幂排列。例如，多项式\(3x + x^2 - 1\)按\(x\)的降幂排列为\(x^2 + 3x - 1\)。

4、多项式的因式分解

定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。例如，\(x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)\)，这就是对多项式\(x^2 - 4\)进行因式分解。

方法：

提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。例如，\(ax + ay=a(x + y)\)。

公式法：利用平方差公式\(a^2 - b^2=(a + b)(a - b)\)、完全平方公式\(a^2\pm2ab + b^2=(a\pm b)^2\)等进行因式分解。例如，\(9x^2 - 16y^2=(3x + 4y)(3x - 4y)\)，\(x^2 + 6x + 9=(x + 3)^2\)。

分组分解法：通过分组后提取公因式或利用公式进行分解。例如，对于多项式\(ax + ay + bx + by\)，可以分组为\((ax + ay)+(bx + by)=a(x + y)+b(x + y)=(a + b)(x + y)\)。

5、多项式在数学和其他领域的应用

在代数方程中的应用：多项式方程如一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a\neq0\)）是多项式的重要应用之一。通过求解这些方程，可以得到很多实际问题的答案，如在物理中求物体的运动时间、在几何中求图形的边长等。

在函数中的应用：多项式函数\(y = ax^n+bx^{n - 1}+\cdots+z\)（\(n\)为正整数）是函数的一种重要类型。通过研究多项式函数的性质，如单调性、极值、凹凸性等，可以了解函数的变化规律，在数学建模等领域有广泛应用。

在几何中的应用：在几何图形的面积、体积等公式中，多项式经常出现。例如，长方形的面积\(S = ab\)（\(a\)、\(b\)为边长）是一个二次多项式；长方体的体积\(V = abc\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)为棱长）是一个三次多项式。这些多项式可以帮助我们计算几何量，并解决几何问题，如根据面积或体积求边长等。

6、多项式定理

1. 多项式乘法定理（二项式定理是其特殊情况）

内容：对于两个多项式\((a_{0}+a_{1}x + a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n})\)和\((b_{0}+b_{1}x + b_{2}x^{2}+\cdots + b_{m}x^{m})\)相乘，其结果为\(\sum_{i = 0}^{n}\sum_{j = 0}^{m}a_{i}b_{j}x^{i + j}\)。

示例：计算\((1 + 2x + 3x^{2})(4 + 5x)\)。

按照上述定理，结果为\((1\times4)+(1\times5x)+(2x\times4)+(2x\times5x)+(3x^{2}\times4)+(3x^{2}\times5x)\)

即\(4 + 5x+8x + 10x^{2}+12x^{2}+15x^{3}\)

合并同类项后得到\(4+13x + 22x^{2}+15x^{3}\)

2. 二项式定理

内容：\((a + b)^{n}=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}\)，其中\(C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}\)，\(n\in N\)。

示例：求\((x + y)^{3}\)。

根据二项式定理，\(n = 3\)，则\((x + y)^{3}=C_{3}^{0}x^{3}y^{0}+C_{3}^{1}x^{2}y^{1}+C_{3}^{2}x^{1}y^{2}+C_{3}^{3}x^{0}y^{3}\)

计算组合数\(C_{3}^{0}=1\)，\(C_{3}^{1}=\frac{3!}{1!(3 - 1)!}=\frac{3\times2\times1}{1\times2\times1}=3\)，\(C_{3}^{2}=\frac{3!}{2!(3 - 2)!}=3\)，\(C_{3}^{3}=1\)

所以\((x + y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y + 3xy^{2}+y^{3}\)

3. 余数定理

内容：多项式\(f(x)\)除以\((x - a)\)的余数是\(f(a)\)。

示例：求多项式\(f(x)=x^{3}-2x^{2}+3x - 4\)除以\((x - 1)\)的余数。

根据余数定理，将\(x = 1\)代入\(f(x)\)，得到\(f(1)=1^{3}-2\times1^{2}+3\times1 - 4\)

即\(1 - 2 + 3-4=-2\)，所以余数为\(-2\)

4. 因式定理

内容：多项式\(f(x)\)有一个因式\((x - a)\)的充分必要条件是\(f(a)=0\)。

示例：判断\((x - 1)\)是否是多项式\(f(x)=x^{3}-2x^{2}+x - 1\)的因式。

将\(x = 1\)代入\(f(x)\)，\(f(1)=1^{3}-2\times1^{2}+1 - 1\)

计算得\(1 - 2 + 1-1=-1\neq0\)，所以\((x - 1)\)不是\(f(x)\)的因式。

5. 代数基本定理

内容：任何一个一元\(n\)次多项式\(f(x)=a_{0}+a_{1}x + a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}\)（\(a_{n}\neq0\)，\(n\geqslant1\)）在复数范围内有\(n\)个根（重根按重数计算）。

示例：对于二次多项式\(f(x)=x^{2}+1\)，在实数范围内没有根，但在复数范围内，它的根为\(x = i\)和\(x=-i\)，满足有\(n = 2\)个根。

6. 韦达定理（根与系数的关系）

一元二次方程情况：对于一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)（\(a\neq0\)），设其两根为\(x_{1}\)、\(x_{2}\)，则\(x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\)，\(x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\)。

示例：已知方程\(x^{2}-3x - 4 = 0\)，其两根为\(x_{1}\)、\(x_{2}\)。

根据韦达定理，\(x_{1}+x_{2}=-\frac{-3}{1}=3\)，\(x_{1}x_{2}=\frac{-4}{1}=-4\)。

一元\(n\)次方程情况：对于一元\(n\)次方程\(a_{0}+a_{1}x + a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}=0\)（\(a_{n}\neq0\)），设其根为\(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\)，则\(\sum_{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}\frac{a_{n - k}}{a_{n}}\)（\(k = 1,2,\cdots,n\)）。例如对于三次方程\(ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0\)（\(a\neq0\)），设其根为\(x_{1},x_{2},x_{3}\)，则\(x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{b}{a}\)，\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\frac{c}{a}\)，\(x_{1}x_{2}x_{3}=-\frac{d}{a}\)。