初中数学 04 整式加法、整式减法

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、整式的概念回顾

整式为单项式和多项式的统称。

单项式是数与字母的乘积，单独的一个数或一个字母也是单项式。例如\(3x\)、\(-5\)、\(y\)等。

多项式是几个单项式的和，如\(2x^2 + 3x - 1\)。

二、同类项的概念

同类项是整式加减法的关键要素。同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。

例如，在多项式\(3x^2y + 5x^2y - 2xy^2\)中，\(3x^2y\)和\(5x^2y\)是同类项，因为它们都含有\(x\)、\(y\)，且\(x\)的次数都是\(2\)，\(y\)的次数都是\(1\)；而\(-2xy^2\)与前两项不是同类项，因为\(y\)的次数不同。

三、整式加减法的法则

合并同类项：

合并同类项就是把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。例如，对于同类项\(4a^3b\)和\(-2a^3b\)，合并后的结果为\((4 - 2)a^3b = 2a^3b\)。

在多项式中合并同类项时，按照某一字母的降幂或升幂排列后再合并会更加方便。例如，对于多项式\(3x^2 + 5x - 2x^2 - 4x + 7\)，先按\(x\)的降幂排列得到\(3x^2 - 2x^2+5x - 4x + 7\)，然后合并同类项，结果为\((3 - 2)x^2+(5 - 4)x + 7=x^2 + x + 7\)。

去括号法则：

当括号前面是“+”号时，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号。例如，\(a+(b - c)=a + b - c\)。

当括号前面是“-”号时，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号。

例如，\(a-(b - c)=a - b + c\)。

在整式加减法中，去括号是为了将式子中的各项重新组合，便于合并同类项。

例如，计算\((3x^2 - 2x + 1)-(2x^2 - 3x - 5)\)，先去括号得到\(3x^2 - 2x + 1 - 2x^2+3x + 5\)，然后合并同类项，结果为\((3 - 2)x^2+(-2 + 3)x+(1 + 5)=x^2 + x + 6\)。

四、整式加减法的步骤总结

第一步是去括号（如果有括号的话），按照去括号法则正确地去掉式子中的括号。

第二步是找出同类项，通过观察各项所含字母及其指数来确定同类项。

第三步是合并同类项，将同类项的系数相加，得到最简结果。

五、整式加减法的应用举例

化简式子：化简\(4a - 3b + 2(3a - b)\)。

首先去括号：\(4a - 3b + 2\times3a - 2\times b = 4a - 3b + 6a - 2b\)。

然后合并同类项：\((4 + 6)a+(-3 - 2)b = 10a - 5b\)。

求代数式的值：已知\(x = 2\)，\(y = -1\)，求代数式\(3x^2y - 2xy^2 + 4x^2y - 3xy^2\)的值。

先化简代数式：\(3x^2y - 2xy^2 + 4x^2y - 3xy^2=(3 + 4)x^2y+(-2 - 3)xy^2 = 7x^2y - 5xy^2\)。

把\(x = 2\)，\(y = -1\)代入化简后的式子：\(7\times2^2\times(-1)-5\times2\times(-1)^2\)

先计算指数：\(7\times4\times(-1)-5\times2\times1\)。

再进行乘法运算：\(-28 - 10\)。

最后得出结果：\(-38\)。

数学基础 : 小学数学、初中数学、高中数学、高等数学