初中数学 03 根式、绝对值的非负性

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一、根式的非负性

二次根式的定义：一般地，形如\(\sqrt{a}(a\geqslant0)\)的代数式叫做二次根式。

其中，\(\sqrt{a}\)表示\(a\)的算术平方根。根据算术平方根的定义，它的结果必然是非负的。

例如，\(\sqrt{4} = 2\)，\(\sqrt{0}=0\)，因为任何一个非负数的算术平方根是一个非负数。

当\(n\)为偶数时，\(\sqrt[n]{a}\)（\(a\geqslant0\)）也具有非负性。

这是因为偶数次幂的运算使得结果非负，例如\(\sqrt[4]{16}=2\)。

应用场景：

根式方程：在求解根式方程\(\sqrt{x + 1}=3\)时，由于根式的值是非负的，所以可以直接两边平方得到\(x + 1 = 9\)，解得\(x = 8\)。

代数式求值：已知\(y=\sqrt{x - 2}+\sqrt{2 - x}+3\)，因为\(\sqrt{x - 2}\)和\(\sqrt{2 - x}\)都要有意义，所以\(x - 2\geqslant0\)且\(2 - x\geqslant0\)，这就确定了\(x = 2\)。然后将\(x = 2\)代入式子可得\(y = 3\)。

易错点：在考虑根式有意义的条件时容易出错。

例如，对于\(\sqrt{x}\)，要注意\(x\geqslant0\)，在解不等式或方程时不能忽略这个条件。

二、绝对值的非负性

定义：绝对值表示一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“\(\vert\ \vert\)”来表示。

对于任意实数\(x\)，\(\vert x\vert\geqslant0\)恒成立。

例如，\(\vert - 5\vert = 5\)，\(\vert 3\vert = 3\)，\(\vert 0\vert = 0\)。

性质应用：

化简式子：当\(x\lt0\)时，\(\vert x\vert=-x\)；当\(x\geqslant0\)时，\(\vert x\vert = x\)。

例如，化简\(\vert x - 3\vert\)，当\(x\geqslant3\)时，\(\vert x - 3\vert = x - 3\)；当\(x\lt3\)时，\(\vert x - 3\vert =-(x - 3)=3 - x\)。

求解方程和不等式：

在求解方程\(\vert 2x - 1\vert = 3\)时，根据绝对值的性质可得\(2x - 1 = 3\)或\(2x - 1=-3\)，分别解得\(x = 2\)或\(x=-1\)。对于不等式\(\vert x - 1\vert\lt2\)，则\(-2\lt x - 1\lt2\)，解得\(-1\lt x\lt3\)。

绝对值的非负性在复杂式子中的应用：

多个绝对值相加或相减：

例如，已知\(\vert a - 1\vert+\vert b + 2\vert = 0\)，因为绝对值是非负的，要使两个非负项的和为\(0\)，则每一项都为\(0\)，即\(a - 1 = 0\)且\(b + 2 = 0\)，解得\(a = 1\)，\(b=-2\)。

绝对值与其他运算结合：在式子\(y=\vert x\vert + x^2\)中，因为\(\vert x\vert\geqslant0\)，\(x^2\geqslant0\)，所以\(y\geqslant0\)。当\(x = 0\)时，\(y\)取得最小值\(0\)。

易错点：在处理绝对值方程或不等式时，容易遗漏情况。

例如，在求解\(\vert x\vert = 2x - 1\)时，要分别考虑\(x\geqslant0\)和\(x\lt0\)两种情况，不能只考虑一种情况而导致漏解。