初中数学 05 整式：整式的乘法、整式的除法

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1、单项式乘单项式

法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

举例：计算\(3x^2y\cdot(-2xy^3)\)。

首先，将系数相乘：\(3\times(-2)= - 6\)。

然后，同底数幂分别相乘：\(x^2\cdot x = x^{2 + 1}=x^3\)，\(y\cdot y^3 = y^{1 + 3}=y^4\)。

所以，\(3x^2y\cdot(-2xy^3)= - 6x^3y^4\)。

应用场景：在计算几何图形的面积或体积时，如果这些量可以用单项式表示，那么单项式乘法就会发挥作用。例如，一个长方体的长、宽、高分别为\(2x\)、\(3y\)、\(4z\)，那么它的体积\(V=(2x)\times(3y)\times(4z)=24xyz\)。

2、单项式乘多项式

法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

举例：计算\(2x(3x^2 - 4x + 5)\)。

用单项式\(2x\)分别乘以多项式的每一项：\(2x\times3x^2 = 6x^3\)，\(2x\times(-4x)= - 8x^2\)，\(2x\times5 = 10x\)。

然后将积相加：\(2x(3x^2 - 4x + 5)=6x^3 - 8x^2 + 10x\)。

应用场景：在物理中，若力\(F\)（用单项式表示）作用在位移\(s\)（用多项式表示）上，做功\(W = F\cdot s\)，就可能涉及单项式乘多项式的运算。例如，力\(F = 3t\)（\(t\)为时间），位移\(s = 2t^2 - t + 1\)，则做功\(W = 3t(2t^2 - t + 1)=6t^3 - 3t^2 + 3t\)。

3、多项式乘多项式

法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

举例：计算\((x + 2)(x - 3)\)。

用第一个多项式的每一项乘以第二个多项式的每一项：\(x\times x = x^2\)，\(x\times(-3)= - 3x\)，\(2\times x = 2x\)，\(2\times(-3)= - 6\)。

然后将积相加：\((x + 2)(x - 3)=x^2 - 3x + 2x - 6=x^2 - x - 6\)。

应用场景：在求图形面积的问题中经常会用到。例如，一个大长方形的长为\((a + b)\)，宽为\((c + d)\)，它的面积\(S=(a + b)(c + d)=ac + ad + bc + bd\)，这可以帮助我们计算复杂图形的面积。

4、乘法公式

平方差公式：\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)。

举例：计算\((3x + 2y)(3x - 2y)\)，这里\(a = 3x\)，\(b = 2y\)，根据平方差公式可得\((3x + 2y)(3x - 2y)=(3x)^2-(2y)^2 = 9x^2 - 4y^2\)。

完全平方公式：\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)，\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\)。

举例：计算\((2x + 3y)^2\)，这里\(a = 2x\)，\(b = 3y\)，根据完全平方公式\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)可得\((2x + 3y)^2=(2x)^2 + 2\times(2x)\times(3y)+(3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2\)。

应用场景：在化简代数式、因式分解以及求解几何问题等方面都有广泛应用。例如，在化简\((x + 1)^2 - (x - 1)^2\)时，利用完全平方公式展开得到\((x^2 + 2x + 1)-(x^2 - 2x + 1)\)，然后去括号、合并同类项进行化简。在几何中，已知正方形边长为\((a + b)\)，求面积就可以用完全平方公式\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)来计算。

5、单项式除以单项式

法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

举例：计算\(24x^3y^2\div 6xy\)。

系数相除：\(24\div6 = 4\)。

同底数幂分别相除：\(x^3\div x = x^{3 - 1}=x^2\)，\(y^2\div y = y^{2 - 1}=y\)。

所以，\(24x^3y^2\div 6xy = 4x^2y\)。

应用场景：在物理中，当计算速度（\(v = s/t\)）、密度（\(\rho=m/V\)）等物理量的变化时，如果这些量用单项式表示，可能会用到单项式除法。例如，已知路程\(s = 12x^2y\)米，时间\(t = 3xy\)秒，那么速度\(v = s/t=(12x^2y)\div(3xy) = 4x\)米/秒。