一、数轴

数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。原点通常标记为“0”，它是确定数轴上其他点位置的基准；正方向一般规定为向右的方向（当然根据实际需求也可另行规定），用箭头表示；单位长度则是衡量数轴上点与点之间距离的标准尺度，例如每一小格代表1个单位长度等。

1、数的表示

有理数表示：数轴上的每一个点都可以表示一个有理数。比如整数，像+3就在原点右侧距离原点3个单位长度的位置，-5就在原点左侧距离原点5个单位长度的地方；分数或小数同样能在数轴上找到对应的位置，例如1/2就在原点右侧，距离原点0.5个单位长度处。

无理数表示：无理数也可以用数轴上的点来表示，不过需要借助几何构造等方法。比如表示\(\sqrt{2}\)，可以通过构造边长为1的等腰直角三角形，其斜边长就是\(\sqrt{2}\)，然后以原点为起点，在数轴正方向上截取与该斜边等长的线段，该线段终点对应的点就是\(\sqrt{2}\)在数轴上的位置。

2、数轴的作用

比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。通过观察数对应的点在数轴上的位置，能直观地比较两个或多个数的大小关系。例如，要比较3和 -2的大小，很明显3对应的点在 -2对应的点的右侧，所以3 > -2。

体现绝对值含义：一个数的绝对值就是该数在数轴上所对应的点与原点的距离。例如\(\vert 5 \vert = 5\)，表示5这个数对应的点到原点的距离是5个单位长度；\(\vert -3 \vert = 3\)，意味着 -3对应的点到原点的距离是3个单位长度。

进行运算可视化：可以借助数轴来理解一些数学运算。比如加法运算，在数轴上表示3 + 2，就是从表示3的点开始，沿着正方向移动2个单位长度，最终到达表示5的点，直观地体现了加法的过程；减法可以看成是加上一个相反数，例如5 - 3可以理解为5 + (-3)，在数轴上从5对应的点沿着负方向移动3个单位长度到达2对应的点。

3、拓展与应用

在不等式中的应用：解不等式时，数轴可以辅助我们清晰地表示出不等式的解集。例如不等式\(x > 2\)的解集，就在数轴上用一条从2对应的点向右的射线（端点2处用空心圆圈表示不包含2这个值）来表示，能直观看到满足该不等式的所有数的范围。

在函数图象中的基础作用：数轴是构建平面直角坐标系的基础，平面直角坐标系中的\(x\)轴和\(y\)轴实际上就是两条互相垂直的数轴，后续用于描绘各种函数的图象，通过图象来分析函数的性质等。

例题1：数轴上的距离与中点问题

题目：已知数轴上点\(A\)表示的数为\(-5\)，点\(B\)表示的数为\(7\)，求\(A\)、\(B\)两点间的距离以及线段\(AB\)的中点所表示的数。

解答：根据数轴上两点间的距离公式\(d = |x_2 - x_1|\)，这里\(x_1=-5\)，\(x_2 = 7\)，所以\(A\)、\(B\)两点间的距离为\(|7 - (-5)| = |7 + 5| = 12\)。设中点表示的数为\(M\)，则\(M=\frac{-5 + 7}{2}=\frac{2}{2}=1\)。

例题2：数轴上的动点问题（一）

题目：在数轴上，点\(A\)初始位置表示的数为\(-3\)，它以每秒\(2\)个单位长度的速度向右移动，点\(B\)初始位置表示的数为\(5\)，它以每秒\(1\)个单位长度的速度向左移动，问多少秒后\(A\)、\(B\)两点相遇？相遇时所表示的数是多少？

解答：设\(t\)秒后相遇。根据路程和等于两点初始距离，可列方程\(2t + 1t=|5 - (-3)|\)，即\(3t = 8\)，解得\(t=\frac{8}{3}\)秒。此时点\(A\)向右移动的距离为\(2\times\frac{8}{3}=\frac{16}{3}\)，相遇时表示的数为\(-3+\frac{16}{3}=\frac{-9 + 16}{3}=\frac{7}{3}\)。

例题3：数轴上的数的覆盖问题

题目：在数轴上，有一个长度为\(7\)的线段，它的一个端点表示的数为\(2\)，问这条线段覆盖的整数点有多少个？

解答：分两种情况。当线段向右延伸时，另一个端点是\(2 + 7 = 9\)，覆盖的整数点有\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)，\(7\)，\(8\)，\(9\)，共\(8\)个；当线段向左延伸时，另一个端点是\(2-7=-5\)，覆盖的整数点有\(-5\)，\(-4\)，\(-3\)，\(-2\)，\(-1\)，\(0\)，\(1\)，\(2\)，也是\(8\)个。

例题4：数轴上的对称问题

题目：已知数轴上点\(A\)表示的数为\(3\)，求关于点\(B\)（表示的数为\(-1\)）对称的点\(A'\)表示的数。

解答：设\(A'\)表示的数为\(x\)，根据中点公式\(\frac{3 + x}{2}=-1\)，解得\(3 + x=-2\)，\(x=-2 - 3=-5\)。

例题5：数轴上的不等式组问题（一）

题目：已知不等式组\(\begin{cases}x > -3\\x < 2\end{cases}\)，在数轴上表示其解集，并求出这个解集中的整数解。

解答：在数轴上，画出\(x > -3\)（空心圆圈向右的射线）和\(x < 2\)（空心圆圈向左的射线），其交集部分就是不等式组的解集，即\(-3 < x < 2\)。整数解为\(-2\)，\(-1\)，\(0\)，\(1\)。

例题6：数轴上的绝对值方程问题（一）

题目：已知\(|x - 3| = 5\)，在数轴上表示出\(x\)可能的位置。

解答：根据绝对值的定义，当\(x - 3 = 5\)时，\(x = 8\)；当\(x - 3=-5\)时，\(x=-2\)。在数轴上，这两个点分别位于\(8\)和\(-2\)的位置。

例题7：数轴上的动点问题（二）

题目：数轴上点\(P\)表示的数为\(0\)，点\(Q\)表示的数为\(4\)，点\(P\)以每秒\(3\)个单位长度的速度向左移动，点\(Q\)以每秒\(1\)个单位长度的速度向左移动，设移动时间为\(t\)秒，当\(t\)为何值时，\(P\)、\(Q\)两点间的距离为\(2\)？

解答：移动\(t\)秒后，点\(P\)表示的数为\(-3t\)，点\(Q\)表示的数为\(4 - t\)。根据距离公式\(|(4 - t)-(-3t)| = 2\)，即\(|4 - t + 3t| = 2\)，\(|4 + 2t| = 2\)。当\(4 + 2t = 2\)时，\(2t=-2\)，\(t=-1\)；当\(4 + 2t=-2\)时，\(2t=-6\)，\(t=-3\)。

例题8：数轴上的分段函数问题（一）

题目：设数轴上点\(x\)，定义函数\(y=\begin{cases}x + 3, & x\geq1\\-x - 1, & x < 1\end{cases}\)，在数轴上画出函数图象，并求出当\(y = 0\)时\(x\)的值。

解答：当\(x\geq1\)时，函数\(y = x + 3\)是一条斜率为\(1\)，截距为\(3\)的射线（端点\(1\)处为实心点）；当\(x < 1\)时，函数\(y=-x - 1\)是一条斜率为\(-1\)，截距为\(-1\)的射线（端点\(1\)处为空心点）。当\(y = 0\)时，若\(x\geq1\)，则\(x + 3 = 0\)，\(x=-3\)（舍去，因为不满足\(x\geq1\)）；若\(x < 1\)，则\(-x - 1 = 0\)，\(x=-1\)。

例题9：数轴上的整数点分组问题

题目：在数轴上从\(-10\)到\(10\)（包括\(-10\)和\(10\)）的整数点中，相邻两个整数点为一组，一共有多少组？

解答：从\(-10\)到\(-9\)为一组，\(-9\)到\(-8\)为一组，以此类推，从\(9\)到\(10\)为一组，一共有\(10 - (-10)=20\)个单位长度，相邻两个整数点一组，所以一共有\(20\)组。

例题10：数轴上的平移问题

题目：将数轴上表示\(x\)的点向右平移\(3\)个单位长度后表示的数为\(y\)，且\(y = 2x - 1\)，求\(x\)的值。

解答：点\(x\)向右平移\(3\)个单位长度后表示的数为\(x + 3\)，所以\(x + 3 = 2x - 1\)，移项可得\(3 + 1 = 2x - x\)，解得\(x = 4\)。

例题11：数轴上的绝对值不等式问题（一）

题目：解不等式\(|x + 2|>3\)，并在数轴上表示其解集。

解答：当\(x + 2>3\)时，\(x > 1\)；当\(x + 2 < -3\)时，\(x < -5\)。在数轴上，\(x > 1\)表示为空心圆圈向右的射线，\(x < -5\)表示为空心圆圈向左的射线。

例题12：数轴上的比例问题

题目：在数轴上，点\(A\)、\(B\)、\(C\)依次排列，\(AB:BC = 2:3\)，点\(A\)表示的数为\(-3\)，点\(C\)表示的数为\(7\)，求点\(B\)表示的数。

解答：设\(AB = 2x\)，\(BC = 3x\)，则\(AC = AB + BC = 5x\)。因为\(AC = 7 - (-3)=10\)，所以\(5x = 10\)，\(x = 2\)。那么\(AB = 2x = 4\)，所以点\(B\)表示的数为\(-3 + 4 = 1\)。

例题13：数轴上的多个动点问题

题目：数轴上有三个点\(A\)、\(B\)、\(C\)，分别表示数\(-2\)、\(1\)、\(4\)。点\(A\)以每秒\(1\)个单位长度的速度向右移动，点\(B\)以每秒\(2\)个单位长度的速度向左移动，点\(C\)以每秒\(3\)个单位长度的速度向右移动。经过\(t\)秒后，求\(\triangle ABC\)面积最大时\(t\)的值（假设\(A\)、\(B\)、\(C\)三点不重合）。

解答：\(t\)秒后，点\(A\)表示的数为\(-2 + t\)，点\(B\)表示的数为\(1 - 2t\)，点\(C\)表示的数为\(4 + 3t\)。根据三角形面积公式\(S=\frac{1}{2}\times底\times高\)，以\(AC\)为底，\(B\)到\(AC\)的距离为高。先求\(AC\)的长度为\(|(4 + 3t)-(-2 + t)| = |6 + 2t|\)，\(B\)到\(AC\)的距离为\(\frac{|(1 - 2t)-(-2 + t)| + |(4 + 3t)-(1 - 2t)|}{2}\)，化简后得到关于\(t\)的函数，再通过求函数最值来确定\(t\)的值（过程较复杂，涉及二次函数求最值）。

例题14：数轴上的分数点问题

题目：在数轴上，要表示分数\(\frac{3}{4}\)，已知单位长度为\(1\)，如何操作？

解答：将\(0\)到\(1\)这个单位长度线段平均分成\(4\)份，从\(0\)开始向右数\(3\)份对应的点就是\(\frac{3}{4}\)的位置。

例题15：数轴上的绝对值函数最值问题（一）

题目：对于函数\(y = |x - 1| + |x + 2|\)，在数轴上分析其最小值。

解答：根据绝对值的几何意义，\(|x - 1|\)表示数轴上\(x\)到\(1\)的距离，\(|x + 2|\)表示数轴上\(x\)到\(-2\)的距离。当\(-2\leq x\leq1\)时，\(y\)的值最小，最小值为\(|1 - (-2)| = 3\)。

例题16：数轴上的数的规律问题（一）

题目：在数轴上，观察从\(1\)开始的连续奇数：\(1\)，\(3\)，\(5\)，\(7\)，\(\cdots\)，若\(n\)为正整数，第\(n\)个奇数在数轴上对应的点与原点的距离为\(a_n\)，求\(a_n\)关于\(n\)的表达式。

解答：第\(n\)个奇数为\(2n - 1\)，所以\(a_n = |2n - 1|\)，因为\(n\)为正整数，所以\(a_n = 2n - 1\)。

例题17：数轴上的区间覆盖问题（二）

题目：在数轴上有区间\([-5,5]\)，用长度为\(3\)的区间去覆盖，从左向右依次覆盖，问覆盖整个区间需要多少个这样的区间？

解答：区间\([-5,5]\)的长度为\(5 - (-5)=10\)，每个小区间长度为\(3\)，\(10\div3 = 3\cdots\cdots1\)，余下的\(1\)还需要一个区间，所以一共需要\(4\)个区间。

例题18：数轴上的动态距离和问题

题目：数轴上有\(A\)、\(B\)两点，\(A\)表示的数为\(a\)，\(B\)表示的数为\(b\)，\(a\)、\(b\)满足\(|a + 3|+(b - 5)^2 = 0\)。点\(M\)从\(A\)点出发以每秒\(2\)个单位长度的速度向右移动，点\(N\)从\(B\)点出发以每秒\(1\)个单位长度的速度向左移动，设移动时间为\(t\)秒，求\(t\)秒后\(M\)、\(N\)两点间距离的表达式，并求出当\(t = 3\)时的距离。

解答：因为\(|a + 3|+(b - 5)^2 = 0\)，所以\(a=-3\)，\(b = 5\)。\(t\)秒后，点\(M\)表示的数为\(-3 + 2t\)，点\(N\)表示的数为\(5 - t\)。两点间距离为\(d = |(-3 + 2t)-(5 - t)| = |-8 + 3t|\)。当\(t = 3\)时，\(d = |-8 + 9| = 1\)。

例题19：数轴上的绝对值函数图象问题（二）

题目：画出函数\(y = |x^2 - 4|\)的图象（在数轴的基础上拓展到平面直角坐标系）。

解答：先画出\(y = x^2 - 4\)的图象（开口向上的抛物线，顶点为\((0,-4)\)，与\(x\)轴交点为\((-2,0)\)和\((2,0)\)），然后将\(x\)轴下方的部分沿\(x\)轴翻折上去，就得到\(y = |x^2 - 4|\)的图象。

例题20：数轴上的有理数逼近无理数问题

题目：在数轴上，用有理数逼近\(\sqrt{2}\)，要求精确到\(0.1\)。

解答：因为\(1^2 = 1\)，\(2^2 = 4\)，所以\(\sqrt{2}\)在\(1\)和\(2\)之间。又因为\(1.4^2 = 1.96\)，\(1.5^2

二、相反数

相反数是指绝对值相等，正负号相反的两个数。例如，\(5\)和\(-5\)互为相反数，\(\frac{2}{3}\)和\(-\frac{2}{3}\)互为相反数。规定\(0\)的相反数是\(0\)。从数轴的角度看，互为相反数的两个数位于原点两侧，且到原点的距离相等。比如，在数轴上\(3\)对应的点在原点右侧\(3\)个单位长度处，\(-3\)对应的点在原点左侧\(3\)个单位长度处。

1、相反数的性质

代数性质：设\(a\)为一个数，它的相反数记为\(-a\)，则\(a+(-a)=0\)。例如，\(7+(-7) = 0\)。这体现了相反数的和为\(0\)的特性，是相反数最重要的代数性质，可用于简化计算和方程求解。比如，在解方程\(x + 3 = 0\)时，我们可以将\(3\)移项得到\(x=-3\)，这里\(-3\)就是\(3\)的相反数。

几何性质：在数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称。这种对称性质有助于直观地理解数的分布。例如，\(-2\)和\(2\)关于原点对称，它们到原点的距离都是\(2\)个单位长度。

2、相反数的运算规则

多重符号化简：当一个数前面有多个符号时，根据“负负得正”的原则化简。例如，\(-(-3)=3\)，\(+(-2)= - 2\)。可以这样理解，\(-(-3)\)表示\(-3\)的相反数，所以是\(3\)；\(+(-2)\)表示取\(-2\)这个数，所以结果是\(-2\)。

在加减法中的应用：在进行加减法运算时，减去一个数等于加上它的相反数。例如，\(5-3\)可以看成\(5+(-3)\)，这是加减法运算的一个重要转换规则，能统一加法和减法运算，方便计算。在有理数的混合运算中，这种转换尤为重要，如计算\(4 - 7+3\)，可以写成\(4+(-7)+3\)，先将减法转化为加法，再按照加法法则进行计算。

3、相反数的应用

例题1：化简\(-\left[+\left(-\vert -3\vert\right)\right]\)

解答：先计算绝对值，\(\vert -3\vert = 3\)，式子变为\(-\left[+\left(-3\right)\right]\)，去括号得\(-\left(-3\right)=3\)。

例题2：化简\(\vert -(-a)\vert\)，其中\(a < 0\)

解答：因为\(a < 0\)，\(-a > 0\)，所以\(\vert -(-a)\vert=\vert a\vert=-a\)。

例题3：化简\(-\vert -x + 2\vert\)，当\(x = 3\)时

解答：当\(x = 3\)时，\(-x + 2=-3 + 2=-1\)，所以\(-\vert -x + 2\vert=-\vert -1\vert=-1\)。

例题4：已知\(\vert 2x - 1\vert = 3\)，求\(x\)的值

解答：根据绝对值的性质，当\(2x - 1 = 3\)时，\(2x = 4\)，解得\(x = 2\)；当\(2x - 1=-3\)时，\(2x=-2\)，解得\(x=-1\)。

例题5：解方程\(\vert x + 3\vert+\vert x - 1\vert = 6\)

解答：当\(x \geq 1\)时，方程变为\((x + 3)+(x - 1)=6\)，即\(2x + 2 = 6\)，解得\(x = 2\)；当\(-3 < x < 1\)时，方程变为\((x + 3)-(x - 1)=6\)，化简得\(4 = 6\)，无解；当\(x \leq -3\)时，方程变为\(-(x + 3)-(x - 1)=6\)，即\(-2x - 2 = 6\)，解得\(x=-4\)。所以\(x = 2\)或\(x=-4\)。

例题6：若\(\vert 3x - 2y\vert\)与\(\vert x + 2y - 8\vert\)互为相反数，求\(x\)和\(y\)的值

解答：因为互为相反数的两数和为\(0\)，所以\(\vert 3x - 2y\vert+\vert x + 2y - 8\vert = 0\)。又因为绝对值是非负的，所以\(\begin{cases}3x - 2y = 0 \\ x + 2y - 8 = 0\end{cases}\)，将两式相加得\(4x - 8 = 0\)，解得\(x = 2\)，把\(x = 2\)代入\(3x - 2y = 0\)得\(6 - 2y = 0\)，解得\(y = 3\)。

例题7：比较\(-\vert -3.14\vert\)和\(-\left(-\pi\right)\)的大小

解答：先化简，\(-\vert -3.14\vert=-3.14\)，\(-\left(-\pi\right)=\pi\approx3.14159\)，因为\(-3.14 < 3.14159\)，所以\(-\vert -3.14\vert<-\left(-\pi\right)\)。

例题8：已知\(a < 0\)，\(b > 0\)，且\(\vert a\vert > \vert b\vert\)，比较\(a\)，\(-a\)，\(b\)，\(-b\)的大小

解答：因为\(a < 0\)，所以\(-a > 0\)；又因为\(b > 0\)，所以\(-b < 0\)。且\(\vert a\vert > \vert b\vert\)，所以\(a < -b < 0 < b < -a\)。

例题9：比较\(\vert a - b\vert\)和\(\vert a\vert-\vert b\vert\)的大小（\(a\neq b\)）

解答：当\(a\)和\(b\)异号时，不妨设\(a > 0\)，\(b < 0\)，\(\vert a - b\vert=a - b\)，\(\vert a\vert-\vert b\vert=a +\vert b\vert\)，显然\(a - b > a+\vert b\vert\)，即\(\vert a - b\vert > \vert a\vert-\vert b\vert\)；当\(a\)和\(b\)同号且\(\vert a\vert > \vert b\vert\)时，不妨设\(a > b > 0\)，\(\vert a - b\vert=a - b\)，\(\vert a\vert-\vert b\vert=a - b\)，此时\(\vert a - b\vert=\vert a\vert-\vert b\vert\)。

例题10：已知\(a\)和\(b\)互为相反数，\(c\)和\(d\)互为倒数，\(m\)的绝对值是\(3\)，求\(\frac{a + b}{m}+m^{2}-cd\)的值

解答：因为\(a\)和\(b\)互为相反数，所以\(a + b = 0\)；\(c\)和\(d\)互为倒数，所以\(cd = 1\)；\(\vert m\vert = 3\)，则\(m^{2}=9\)。所以原式\(=\frac{0}{m}+9 - 1 = 8\)。

例题11：若\(\vert x - 2\vert\)与\((y + 3)^{2}\)互为相反数，求\(x + y\)的值

解答：因为互为相反数的两数和为\(0\)，所以\(\vert x - 2\vert+(y + 3)^{2}=0\)。又因为绝对值和平方数都是非负的，所以\(x - 2 = 0\)，解得\(x = 2\)；\(y + 3 = 0\)，解得\(y=-3\)。则\(x + y = 2+(-3)=-1\)。

例题12：已知\(a = -(-2)\)，\(b\)是\(a\)的相反数，\(c\)是\(b\)的绝对值，求\(a + b + c\)的值

解答：\(a = -(-2)=2\)，\(b\)是\(a\)的相反数，所以\(b=-2\)，\(c\)是\(b\)的绝对值，所以\(c=\vert -2\vert = 2\)。则\(a + b + c = 2+(-2)+2 = 2\)。

例题13：已知函数\(y=\vert x + 1\vert - \vert x - 1\vert\)，当\(x = 2\)时，求\(y\)的值

解答：当\(x = 2\)时，\(y=\vert 2 + 1\vert - \vert 2 - 1\vert=\vert 3\vert - \vert 1\vert = 3 - 1 = 2\)。

例题14：对于函数\(y=\vert x - a\vert\)，当\(a = 3\)时，求当\(x\)在区间\([1,5]\)时\(y\)的最大值和最小值

解答：当\(a = 3\)时，\(y=\vert x - 3\vert\)。当\(x = 3\)时，\(y\)取得最小值\(0\)；当\(x = 1\)或\(x = 5\)时，\(y=\vert 1 - 3\vert=\vert -2\vert = 2\)或\(y=\vert 5 - 3\vert = 2\)，所以\(y\)的最大值是\(2\)。

例题15：已知函数\(y = k\vert x\vert\)（\(k\neq0\)），当\(x = -2\)时，\(y = 6\)，求\(k\)的值

解答：把\(x = -2\)，\(y = 6\)代入函数\(y = k\vert x\vert\)得\(6 = k\vert -2\vert\)，即\(6 = 2k\)，解得\(k = 3\)。

例题16：在数轴上，点\(A\)表示的数为\(a\)，点\(B\)表示的数为\(b\)，\(\vert a - b\vert = 5\)，若\(a = -1\)，求\(b\)的值

解答：因为\(\vert a - b\vert = 5\)，\(a = -1\)，所以\(\vert -1 - b\vert = 5\)。当\(-1 - b = 5\)时，\(b=-6\)；当\(-1 - b=-5\)时，\(b = 4\)。

例题17：在数轴上，点\(P\)到原点的距离为\(\vert x\vert\)，已知\(\vert x\vert = 3\)，且点\(P\)在原点左侧，求点\(P\)表示的数

解答：因为点\(P\)在原点左侧且\(\vert x\vert = 3\)，所以点\(P\)表示的数是\(-3\)。

例题18：已知数轴上有\(A\)、\(B\)两点，\(A\)表示的数为\(a\)，\(B\)表示的数为\(b\)，\(\vert a\vert = 3\)，\(\vert b\vert = 5\)，且\(A\)、\(B\)两点在原点两侧，求\(a - b\)的值

解答：因为\(\vert a\vert = 3\)，所以\(a=\pm3\)；因为\(\vert b\vert = 5\)，所以\(b=\pm5\)。又因为\(A\)、\(B\)两点在原点两侧，当\(a = 3\)时，\(b=-5\)，\(a - b = 3-(-5)=8\)；当\(a=-3\)时，\(b = 5\)，\(a - b=-3 - 5=-8\)。

例题19：解不等式\(\vert 2x + 1\vert < 3\)

解答：当\(2x + 1 \geq 0\)即\(x \geq -\frac{1}{2}\)时，不等式变为\(2x + 1 < 3\)，解得\(x < 1\)，所以\(-\frac{1}{2} \leq x < 1\)；当\(2x + 1 < 0\)即\(x < -\frac{1}{2}\)时，不等式变为\(-(2x + 1) < 3\)，即\(2x + 1 > -3\)，解得\(x > -2\)，所以\(-2 < x < -\frac{1}{2}\)。综上，不等式的解集为\(-2 < x < 1\)。

例题20：已知不等式\(\vert x - a\vert \leq b\)（\(b > 0\)）的解集为\([-1,3]\)，求\(a\)和\(b\)的值

解答：当\(x - a \geq 0\)即\(x \geq a\)时，不等式变为\(x - a \leq b\)，解得\(x \leq a + b\)；当\(x - a < 0\)即\(x < a\)时，不等式变为\(-(x - a) \leq b\)，即\(x \geq a - b\)。所以不等式的解集为\([a - b,a + b]\)，又因为解集为\([-1,3]\)，所以\(\begin{cases}a - b=-1 \\ a + b = 3\end{cases}\)，两式相加得\(2a = 2\)，解得\(a = 1\)，把\(a = 1\)代入\(a - b=-1\)得\(1 - b=-1\)，解得\(b = 2\)。

三、绝对值

绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“\(\vert\) \(\vert\)”来表示。例如，对于数\(a\)，它的绝对值\(\vert a\vert\)就是这个数\(a\)对应的点与原点之间的距离。\(\vert5\vert = 5\)，因为\(5\)在数轴上对应的点到原点的距离是\(5\)个单位长度；\(\vert - 3\vert = 3\)，这是由于\(-3\)对应的点到原点的距离是\(3\)个单位长度。

1、绝对值的性质

非负性：绝对值的一个重要性质是它具有非负性，即对于任何实数\(a\)，\(\vert a\vert\geqslant0\)。这意味着绝对值的结果要么是正数，要么是\(0\)。例如，不管\(a\)是\(7\)还是\(-7\)，\(\vert a\vert\)都是\(7\)或者\(0\)（当\(a = 0\)时），不会出现负数的情况。

对称性：绝对值相等的数有两个，它们互为相反数。即若\(\vert a\vert=\vert b\vert\)，则\(a = b\)或\(a=-b\)。例如，\(\vert3\vert=\vert - 3\vert\)，这两个数到原点的距离相同，只是方向相反。

运算性质：\(\vert ab\vert=\vert a\vert\vert b\vert\)，例如\(\vert2\times(-3)\vert=\vert2\vert\times\vert - 3\vert = 6\)；\(\left\vert\frac{a}{b}\right\vert=\frac{\vert a\vert}{\vert b\vert}(b\neq0)\)，比如\(\left\vert\frac{4}{-2}\right\vert=\frac{\vert4\vert}{\vert - 2\vert}=2\)。

2、绝对值的运算

当\(a\geqslant0\)时：\(\vert a\vert=a\)。例如，\(\vert4\vert = 4\)，因为\(4\)是正数，它的绝对值就是它本身。

当\(a<0\)时：\(\vert a\vert=-a\)。例如，当\(a=-2\)时，\(\vert - 2\vert=-(-2)=2\)，此时绝对值是这个负数的相反数。

绝对值的化简与求值：在进行绝对值的化简时，需要先判断绝对值符号内的数的正负性。例如，化简\(\vert x - 3\vert\)，当\(x\geqslant3\)时，\(\vert x - 3\vert=x - 3\)；当\(x<3\)时，\(\vert x - 3\vert=-(x - 3)=3 - x\)。在求解含有绝对值的方程或不等式时，也需要根据绝对值的性质进行分类讨论。比如，解方程\(\vert x\vert=2\)，根据绝对值的定义可知\(x = 2\)或\(x=-2\)；解不等式\(\vert x - 1\vert<3\)，则需要分\(x - 1\geqslant0\)和\(x - 1<0\)两种情况来讨论，当\(x - 1\geqslant0\)即\(x\geqslant1\)时，不等式变为\(x - 1<3\)，解得\(x<4\)，综合得\(1\leqslant x<4\)，当\(x - 1<0\)即\(x<1\)时，不等式变为\(-(x - 1)<3\)，即\(x>-2\)，综合得\(-2<x<1\)，所以不等式的解集是\(-2<x<4\)。

3、绝对值的应用

例1：化简\(\vert 2x - 3\vert\)，当\(x \geq \frac{3}{2}\)时，\(\vert 2x - 3\vert = 2x - 3\)；当\(x < \frac{3}{2}\)时，\(\vert 2x - 3\vert = -(2x - 3)=3 - 2x\)。

例2：化简\(\vert x^2 - 4\vert\)，因为\(x^2-4=(x + 2)(x - 2)\)。当\(x \geq 2\)或\(x \leq -2\)时，\(\vert x^2 - 4\vert = x^2 - 4\)；当\(-2 < x < 2\)时，\(\vert x^2 - 4\vert = -(x^2 - 4)=4 - x^2\)。

例3：化简\(\vert \sqrt{x}-1\vert\)（\(x\geq0\)），当\(x \geq 1\)时，\(\vert \sqrt{x}-1\vert=\sqrt{x}-1\)；当\(0\leq x < 1\)时，\(\vert \sqrt{x}-1\vert = 1-\sqrt{x}\)。

例4：化简\(\vert 3 - \frac{1}{x}\vert\)，当\(\frac{1}{x}\leq3\)即\(x \geq \frac{1}{3}\)或\(x < 0\)时，\(\vert 3 - \frac{1}{x}\vert = 3 - \frac{1}{x}\)；当\(\frac{1}{x}>3\)即\(0 < x < \frac{1}{3}\)时，\(\vert 3 - \frac{1}{x}\vert=\frac{1}{x}-3\)。

例5：化简\(\vert x - 1\vert+\vert x + 2\vert\)。

当\(x \geq 1\)时，原式\(=(x - 1)+(x + 2)=2x + 1\)。

当\(-2 < x < 1\)时，原式\(=(1 - x)+(x + 2)=3\)。

当\(x \leq -2\)时，原式\(=(1 - x)-(x + 2)=-2x - 1\)。

例6：解方程\(\vert x\vert = 5\)，解得\(x = 5\)或\(x = -5\)。

例7：解方程\(\vert 2x - 1\vert = 3\)。

当\(2x - 1 = 3\)时，\(2x = 4\)，解得\(x = 2\)。

当\(2x - 1=-3\)时，\(2x=-2\)，解得\(x=-1\)。

例8：解方程\(\vert x^2 - 1\vert = 3\)。

当\(x^2 - 1 = 3\)时，\(x^2 = 4\)，解得\(x = 2\)或\(x = -2\)。

当\(x^2 - 1=-3\)时，\(x^2=-2\)（无实数解）。

例9：解方程\(\vert x - 1\vert+\vert x - 2\vert = 3\)。

当\(x \geq 2\)时，\((x - 1)+(x - 2)=3\)，\(2x - 3 = 3\)，解得\(x = 3\)。

当\(1 < x < 2\)时，\((x - 1)+(2 - x)=3\)，\(1 = 3\)（无解）。

当\(x \leq 1\)时，\((1 - x)+(2 - x)=3\)，\(-2x + 3 = 3\)，解得\(x = 0\)。

例10：解方程\(\vert \frac{x - 1}{x + 1}\vert = 2\)。

当\(\frac{x - 1}{x + 1}=2\)时，\(x - 1 = 2(x + 1)\)，\(x - 1 = 2x + 2\)，解得\(x=-3\)。

当\(\frac{x - 1}{x + 1}=-2\)时，\(x - 1=-2(x + 1)\)，\(x - 1=-2x - 2\)，解得\(x = -\frac{1}{3}\)。

例11：解不等式\(\vert x\vert < 3\)，解得\(-3 < x < 3\)。

例12：解不等式\(\vert 2x - 1\vert \geq 5\)。

当\(2x - 1 \geq 5\)时，\(2x \geq 6\)，解得\(x \geq 3\)。

当\(2x - 1 \leq -5\)时，\(2x \leq -4\)，解得\(x \leq -2\)。

例13：解不等式\(\vert x^2 - 4\vert < 5\)。

当\(-5 < x^2 - 4 < 5\)时，先解\(x^2 - 4 > -5\)，\(x^2 > -1\)（\(x\)为全体实数）；再解\(x^2 - 4 < 5\)，\(x^2 < 9\)，解得\(-3 < x < 3\)。

例14：解不等式\(\vert x - 1\vert+\vert x - 2\vert < 4\)。

当\(x \geq 2\)时，\((x - 1)+(x - 2)<4\)，\(2x - 3 < 4\)，\(2x < 7\)，解得\(x < \frac{7}{2}\)，所以\(2\leq x < \frac{7}{2}\)。

当\(1 < x < 2\)时，\((x - 1)+(2 - x)<4\)，\(1 < 4\)（恒成立），所以\(1 < x < 2\)。

当\(x \leq 1\)时，\((1 - x)+(2 - x)<4\)，\(-2x + 3 < 4\)，\(-2x < 1\)，解得\(x > -\frac{1}{2}\)，所以\(-\frac{1}{2} < x \leq 1\)。

例15：解不等式\(\vert \frac{1}{x}\vert > 2\)。

当\(\frac{1}{x}>2\)时，\(0 < x < \frac{1}{2}\)；当\(\frac{1}{x}<-2\)时，\(x < -\frac{1}{2}\)且\(x\neq0\)。

例16：已知函数\(y=\vert x + 1\vert - \vert x - 1\vert\)，求函数的值域。

当\(x \geq 1\)时，\(y=(x + 1)-(x - 1)=2\)。

当\(-1 < x < 1\)时，\(y=(x + 1)-(1 - x)=2x\)，此时\(-2 < y < 2\)。

当\(x \leq -1\)时，\(y=-(x + 1)-(1 - x)=-2\)。所以函数的值域是\([-2,2]\)。

例17：画出函数\(y = \vert x^2 - 2x - 3\vert\)的图象。

先求\(y = x^2 - 2x - 3=(x - 3)(x + 1)\)的零点为\(x = -1\)和\(x = 3\)。

当\(x \leq -1\)或\(x \geq 3\)时，\(y = x^2 - 2x - 3\)；当\(-1 < x < 3\)时，\(y = -(x^2 - 2x - 3)=-x^2 + 2x + 3\)。然后分别画出这两段函数的图象。

例18：已知函数\(y = \vert x - a\vert\)（\(a\)为常数），若函数在区间\([1,3]\)上的最小值为\(1\)，求\(a\)的值。

当\(a \leq 1\)时，\(y = x - a\)在\([1,3]\)上单调递增，最小值为\(y(1)=\vert 1 - a\vert = 1 - a\)，由\(1 - a = 1\)，解得\(a = 0\)。

当\(a \geq 3\)时，\(y = a - x\)在\([1,3]\)上单调递减，最小值为\(y(3)=\vert 3 - a\vert = a - 3\)，由\(a - 3 = 1\)，解得\(a = 4\)。

当\(1 < a < 3\)时，\(y\)在\(x = a\)处取得最小值\(0\)（不符合题意）。

例19：在数轴上，点\(A\)对应的数为\(x\)，点\(B\)对应的数为\(3\)，已知\(\vert x - 3\vert = 5\)，求\(x\)的值。根据数轴上两点间距离公式，\(\vert x - 3\vert\)表示\(A\)、\(B\)两点间的距离，所以\(x - 3 = 5\)或\(x - 3=-5\)，解得\(x = 8\)或\(x=-2\)。

例20：在平面直角坐标系中，点\(P(x,y)\)，已知\(\vert x - 1\vert+\vert y - 2\vert\)表示点\(P\)到点\(A(1,2)\)的“折线距离”，若\(\vert x - 1\vert+\vert y - 2\vert = 4\)，求点\(P\)的轨迹方程。

当\(x \geq 1\)，\(y \geq 2\)时，\((x - 1)+(y - 2)=4\)，即\(x + y - 7 = 0\)（\(x \geq 1\)，\(y \geq 2\)）。

当\(x \geq 1\)，\(y < 2\)时，\((x - 1)+(2 - y)=4\)，即\(x - y - 3 = 0\)（\(x \geq 1\)，\(y < 2\)）。

当\(x < 1\)，\(y \geq 2\)时，\((1 - x)+(y - 2)=4\)，即\(-x + y - 5 = 0\)（\(x < 1\)，\(y \geq 2\)）。

当\(x < 1\)，\(y < 2\)时，\((1 - x)+(2 - y)=4\)，即\(-x - y - 1 = 0\)（\(x < 1\)，\(y < 2\)）。

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