初中数学 02 平方根、立方根、实数、无理数

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一、平方根

平方根，又叫二次方根。如果一个数\(x\)的平方等于\(a\)，即\(x^{2}=a\)，那么这个数\(x\)就叫做\(a\)的平方根。

例如，因为\((±2)^{2} = 4\)，所以\(±2\)是\(4\)的平方根。

1、平方根的表示方法

一个正数\(a\)的平方根用符号“\(\pm\sqrt{a}\)”表示，读作“正负根号\(a\)”。

其中\(\sqrt{a}\)表示\(a\)的正平方根（也叫算术平方根），\(-\sqrt{a}\)表示\(a\)的负平方根。

例如，\(9\)的平方根表示为\(\pm\sqrt{9}=\pm3\)。

2、平方根的性质

正数有两个平方根，它们互为相反数。例如\(16\)的平方根是\(\pm4\)，\(4\)和\(-4\)互为相反数。

零的平方根是零。因为\(0^{2}=0\)，所以\(0\)的平方根只有一个，就是它本身\(0\)。

负数没有平方根。

因为任何实数的平方都是非负数，所以在实数范围内，负数不能开平方。

例如，在实数范围内\(-4\)没有平方根。

3、求平方根的方法

对于一些完全平方数，可以通过记忆平方数来求平方根。

例如，要找\(25\)的平方根，因为\(5^{2}=25\)，\(( - 5)^{2}=25\)，所以\(25\)的平方根是\(\pm5\)。

对于非完全平方数，可以使用计算器等工具来近似计算平方根。

例如，求\(7\)的平方根，\(\sqrt{7}\approx2.646\)（精确到三位小数），它还有一个负平方根\(-\sqrt{7}\approx - 2.646\)。

二、立方根

立方根，也称为三次方根。如果一个数\(x\)的立方等于\(a\)，即\(x^{3}=a\)，那么这个数\(x\)就叫做\(a\)的立方根。

例如，因为\(2^{3}=8\)，所以\(2\)是\(8\)的立方根；又因为\(( - 2)^{3}=-8\)，所以\(-2\)是\(-8\)的立方根。

1、立方根的表示方法

数\(a\)的立方根用符号\(\sqrt[3]{a}\)表示，读作“三次根号\(a\)”。例如，\(27\)的立方根表示为\(\sqrt[3]{27}=3\)，\(-64\)的立方根表示为\(\sqrt[3]{-64}=-4\)。

2、立方根的性质

正数的立方根是正数。例如，\(125\)是正数，它的立方根\(\sqrt[3]{125}=5\)也是正数。

负数的立方根是负数。比如\(-216\)是负数，其立方根\(\sqrt[3]{-216}=-6\)是负数。

\(0\)的立方根是\(0\)，因为\(0^{3}=0\)。

3、求立方根的方法

对于一些特殊的完全立方数，可以通过记忆立方数来求立方根。例如，要找\(1000\)的立方根，因为\(10^{3}=1000\)，所以\(\sqrt[3]{1000}=10\)。

对于非完全立方数，可以使用计算器等工具来近似计算立方根。例如，求\(5\)的立方根，\(\sqrt[3]{5}\approx1.71\)（精确到两位小数）。

三、实数

实数是有理数和无理数的总称。

有理数是整数（正整数、\(0\)、负整数）和分数的统称。

例如，\(3\)（整数）、\(\frac{1}{2}\)（分数）等都是有理数。

无理数，也称为无限不循环小数，如\(\sqrt{2}\)、\(\pi\)等。

可以把实数想象成数轴上的点，每一个实数都对应数轴上的一个点。

反过来，数轴上的每一个点也都对应一个实数，这种一一对应的关系是实数的一个重要性质。

例如，数字\(2\)对应数轴上原点右边距离原点\(2\)个单位长度的点；\(-\frac{3}{4}\)对应原点左边，距离原点\(\frac{3}{4}\)个单位长度的点。

1、实数的分类

有理数

整数：包括正整数（如\(1\)、\(2\)、\(3\cdots\)）、\(0\)和负整数（如\(-1\)、\(-2\)、\(-3\cdots\)）。

整数在日常生活中有很多应用，比如计算人数、物品的个数等。例如，教室里有\(30\)名学生，这里的\(30\)就是正整数。

分数：分数又分为有限小数（如\(0.25=\frac{1}{4}\)）和无限循环小数（如\(0.333\cdots=\frac{1}{3}\)）。

在商业活动中经常会用到分数，比如商品打折，打八折就是按原价的\(\frac{4}{5}\)出售。

无理数

根式型无理数：像\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{3}\)、\(\sqrt[3]{5}\)等，这些数不能表示为两个整数之比。

例如，在一个直角边长为\(1\)的等腰直角三角形中，斜边的长度就是\(\sqrt{2}\)。

超越数：最典型的是\(\pi\)和\(e\)（自然对数的底数）。

\(\pi\)在与圆相关的计算中必不可少，例如计算圆的周长\(C = 2\pi r\)（\(r\)为圆的半径）和面积\(S=\pi r^{2}\)。

2、实数的运算

加法和减法：对于两个实数\(a\)和\(b\)，加法和减法的运算规则与有理数类似。

例如，\(3 + 2.5=5.5\)，\(4 - \sqrt{3}\)就等于\(4\)减去\(\sqrt{3}\)这个无理数，其结果是一个无理数。

如果是分数相加，如\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3 + 2}{6}=\frac{5}{6}\)。

乘法和除法：同样遵循基本的运算规则。

例如，\(2\times3 = 6\)，\(\frac{4}{5}\div\frac{2}{3}=\frac{4}{5}\times\frac{3}{2}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}\)。

对于无理数的乘法，如\(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{2\times3}=\sqrt{6}\)。

在做除法时，要注意除数不能为\(0\)，例如\(5\div0\)是没有意义的。

乘方和开方：乘方是一个数自乘若干次，如\(2^{3}=2\times2\times2 = 8\)。

开方是乘方的逆运算，对于非负数\(a\)，\(\sqrt{a}\)表示\(a\)的算术平方根。

例如，\(\sqrt{9}=3\)，因为\(3^{2}=9\)。对于立方根，如\(\sqrt[3]{8}=2\)，因为\(2^{3}=8\)。

3、实数的性质

有序性：实数是有序的，即对于任意两个实数\(a\)和\(b\)，要么\(a < b\)，要么\(a = b\)，要么\(a>b\)。例如，\(3>2\)，\(-1 < 0\)。

传递性：如果\(a < b\)且\(b < c\)，那么\(a < c\)。比如，\(2 < 3\)，\(3 < 4\)，所以\(2 < 4\)。

稠密性：任意两个不相等的实数之间必有另一个实数。

例如，在\(1\)和\(2\)之间有\(1.5\)，在\(\frac{1}{2}\)和\(\frac{2}{3}\)之间有\(\frac{7}{12}\)等。

阿基米德性质：对于任意实数\(a\)、\(b\)（\(a>0\)），存在正整数\(n\)，使得\(na>b\)。

简单地说，不管一个正数多么小，另一个正数多么大，只要把小的正数不断地累加，总会超过大的正数。

例如，\(a = 0.1\)，\(b = 10\)，当\(n = 101\)时，\(101\times0.1 = 10.1>10\)。

四、无理数

无理数是无限不循环小数。

简单来说，无理数不能表示为两个整数之比，即不能写成\(\frac{m}{n}\)（\(m,n\)是整数，\(n\neq0\)）的形式。

例如，\(\sqrt{2}\)、\(\pi\)、\(e\)等都是无理数。

\(\sqrt{2}\approx1.414213562373095\cdots\)，它的小数部分是无限且不循环的；

\(\pi\approx3.141592653589793\cdots\)也具有同样的特点。

1、无理数的常见类型

开方开不尽的数

对于非完全平方数开平方得到的数是无理数。

例如，因为\(2\)不是完全平方数，所以\(\sqrt{2}\)是无理数。

同样，对于非完全立方数开立方，如\(\sqrt[3]{5}\)也是无理数。

证明\(\sqrt{2}\)是无理数可以用反证法：

假设\(\sqrt{2}\)是有理数，那么它可以写成\(\frac{m}{n}\)（\(m,n\)互质）的形式，即\(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\)，两边平方可得\(2=\frac{m^{2}}{n^{2}}\)，也就是\(m^{2}=2n^{2}\)。

由此可知\(m^{2}\)是偶数，那么\(m\)也是偶数，设\(m = 2k\)（\(k\)是整数），则\((2k)^{2}=2n^{2}\)，化简得\(2k^{2}=n^{2}\)，这又说明\(n^{2}\)是偶数，进而\(n\)也是偶数，这与\(m,n\)互质矛盾，所以\(\sqrt{2}\)是无理数。

与圆周率\(\pi\)相关的数

\(\pi\)本身是无理数，而且像\(\frac{\pi}{2}\)、\(2\pi\)等与\(\pi\)有关的数也是无理数。

因为如果假设\(\frac{\pi}{2}\)是有理数，设\(\frac{\pi}{2}=\frac{a}{b}\)（\(a,b\)是整数，\(b\neq0\)），那么\(\pi=\frac{2a}{b}\)，这与\(\pi\)是无理数矛盾。

自然对数的底数\(e\)相关的数

\(e\approx2.718281828459045\cdots\)是无理数，以\(e\)为底的对数函数\(y = \ln x\)在很多数学和科学领域有重要应用。与\(e\)有关的表达式如\(e^{2}\)、\(\ln2\)（\(\ln2\approx0.693147180559945\cdots\)）等也是无理数。

2、无理数的性质

无理数的运算性质

加法和减法：无理数相加或相减，结果可能是无理数。

例如，\(\sqrt{2}+ \sqrt{3}\)是无理数。

证明如下：假设\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)是有理数，设\(\sqrt{2}+\sqrt{3}=a\)（\(a\)是有理数），则\(\sqrt{3}=a - \sqrt{2}\)，两边平方可得\(3=a^{2}-2a\sqrt{2}+2\)，进一步得到\(\sqrt{2}=\frac{a^{2}-1}{2a}\)，这与\(\sqrt{2}\)是无理数矛盾。不过，也有特殊情况，如\(\sqrt{2}+(-\sqrt{2}) = 0\)，结果是有理数。

乘法和除法：无理数相乘或相除，结果可能是无理数。

例如，\(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\)是无理数；\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1\)是有理数。对于\(\sqrt{6}\)是无理数的证明，可以采用类似证明\(\sqrt{2}\)是无理数的反证法。假设\(\sqrt{6}\)是有理数，设\(\sqrt{6}=\frac{m}{n}\)（\(m,n\)互质），则\(6=\frac{m^{2}}{n^{2}}\)，即\(m^{2}=6n^{2}\)，后续可推出矛盾。