高中物理 17 安培力、洛伦兹力

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默认：磁感应强度\(B\)、电流\(I\)、导线长度\(L\)两两垂直；带电粒子不计重力（无特殊标注），\(q\)为粒子电荷量。

（一）磁感应强度与安培力

1. 磁感应强度定义：\(B=\dfrac{F}{IL}\)，单位特斯拉\(\mathrm{T}\)，磁场本身属性，与\(F、I、L\)无关。

2. 安培力（通电导线在磁场受力）

公式：\(\boldsymbol{F_安=BIL}\)（\(B\perp I\)）；若夹角\(\theta\)：\(F=BIL\sin\theta\)，\(\theta\)是\(B\)与电流夹角。

方向：左手定则：磁感线穿掌心，四指指向电流方向，大拇指指向安培力方向；安培力永远垂直\(B\)和\(I\)组成的平面。

电流平行磁场：\(\theta=0^\circ，\sin\theta=0，F_安=0\)，不受安培力。

（二）洛伦兹力（运动电荷在磁场受力）

1. 公式：\(\boldsymbol{F_洛=qvB}\)（\(v\perp B\)）；\(v\)与\(B\)夹角\(\theta\)：\(F=qvB\sin\theta\)。

方向：左手定则：磁感线穿掌心，正电荷四指沿运动方向，负电荷四指与运动反向，大拇指为洛伦兹力方向。

2. 重要特点：

① \(v\parallel B\)：\(F_洛=0\)，粒子匀速直线；

② \(v\perp B\)：洛伦兹力充当向心力，匀速圆周运动：

\(\)qvB=m\dfrac{v^2}{r}\Rightarrow \boldsymbol{r=\dfrac{mv}{qB}},\quad T=\boldsymbol{\dfrac{2\pi m}{qB}}\(\)

周期\(T\)与速率\(v\)无关；

③ 洛伦兹力始终与速度垂直，永不做功，只改变速度方向，不改变速率与动能。

（三）常用结论

1. 通电导线平行磁场不受安培力，垂直受力最大；

2. 带电粒子平行磁场匀速直线，垂直磁场匀速圆周；

3. 负电荷左手定则四指反向。

例1：\(B=0.4\mathrm T\)，导线\(L=0.5\mathrm m\)，电流\(I=2\mathrm A\)，\(B\perp I\)，求安培力。

\(F=BIL=0.4×0.5×2=0.4\mathrm N\)。

例2：导线与磁场平行放置，其余条件同上，安培力大小？

\(\theta=0^\circ，F=0\)。

例3：\(B=0.5\mathrm T，L=1\mathrm m，I=4\mathrm A\)，导线和磁场夹角\(30^\circ\)，求安培力。

\(F=BIL\sin30^\circ=0.5×1×4×0.5=1\mathrm N\)。

例4：导线\(I=5\mathrm A、L=0.2\mathrm m\)，受安培力\(F=0.3\mathrm N\)，\(B\perp I\)，求\(B\)。

\(B=\dfrac{F}{IL}=\dfrac{0.3}{5×0.2}=0.3\mathrm T\)。

例5：竖直向下磁场，导线电流水平向右，左手定则判断安培力方向。

掌心向上，四指向右，安培力垂直纸面向里。

例6：同一导线，电流加倍、\(B\)减半、长度不变，安培力变为原来几倍。

\(F\propto BIL\)，\(F'=\dfrac12B·2IL=F\)，大小不变。

例7：\(B=2\mathrm T\)，折线导线总长\(L_1=0.3\mathrm m、L_2=0.4\mathrm m\)，两段垂直，电流从一端到另一端，有效切割长度\(0.5\mathrm m\)，求安培力。

\(F=BI·L_{有效}=2×I×0.5\)，设\(I=1\mathrm A\)，\(F=1\mathrm N\)。

例8：水平导轨上金属棒\(L=0.4\mathrm m\)，\(B=0.25\mathrm T\)，\(I=3\mathrm A\)，摩擦力\(f=0.2\mathrm N\)，匀速运动，验证受力平衡：\(F=0.3\mathrm N>f\)。

例9：匀强磁场中矩形线框四边，上下边平行磁场不受力，左右边受力等大反向，线框合力=0。

例10：\(B\)水平向右，电流竖直向上，安培力方向垂直纸面向外。

例11：\(q=2×10^{-6}\mathrm C\)，\(v=5×10^3\mathrm{m/s}\)，\(B=0.2\mathrm T，v\perp B\)，求洛伦兹力。

\(F=qvB=2×10^{-6}×5×10^3×0.2=2×10^{-3}\mathrm N\)。

例12：粒子速度平行磁场，\(v=10^4\mathrm{m/s}\)，洛伦兹力？

\(F=0\)，匀速直线运动。

例13：电子\(q=e=-1.6×10^{-19}\mathrm C\)向右运动，\(B\)垂直纸面向里，判断洛伦兹力方向。

负电荷四指向左，大拇指向上，受力竖直向上。

例14：质子\(m=1.67×10^{-27}\mathrm{kg}\)，\(v=2×10^6\mathrm{m/s}\)，\(B=0.1\mathrm T\)，做匀速圆周，求轨道半径。

\(r=\dfrac{mv}{qB}=\dfrac{1.67×10^{-27}×2×10^6}{1.6×10^{-19}×0.1}≈0.209\mathrm m\)。

例15：带电粒子在同一磁场，\(m、q\)不变，速度加倍，轨道半径变为几倍？

\(r\propto v\)，半径2倍。

例16：两粒子\(m、q\)相同，同一磁场做圆周，周期大小关系？

\(T=\dfrac{2\pi m}{qB}\)，周期相等，与速度无关。

例17：\(\alpha\)粒子（\(2e，4m\)）与质子（\(e，m\)）同速同磁场，半径之比。

\(r=\dfrac{mv}{qB}\)，\(r_\alpha:r_p=\dfrac42:1=2:1\)。

例18：带电粒子只受洛伦兹力，速度变大，动能是否改变？

洛伦兹力不做功，动能不变。

例19：\(B=0.5\mathrm T\)，\(q=1×10^{-8}\mathrm C，m=2×10^{-12}\mathrm{kg}\)，求圆周周期。

\(T=\dfrac{2\pi m}{qB}=\dfrac{2\pi×2×10^{-12}}{1×10^{-8}×0.5}=8\pi×10^{-4}\mathrm s\)。

例20：负电荷向左飞入垂直纸面向外磁场，洛伦兹力方向？

四指朝右，大拇指竖直向下。

解题总结

1. 安培力：平行\(B\)受力为0，垂直最大；方向左手定则，\(F\perp B、F\perp I\)；

2. 洛伦兹力：平行\(B\)匀速直线；垂直\(B\)匀速圆周，\(r=\dfrac{mv}{qB}、T=\dfrac{2\pi m}{qB}\)；

3. 负电荷左手定则四指与运动反向；洛伦兹力永远不做功。

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