高中物理 04 运动与力的关系、牛一、牛二定律

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一、牛顿第一运动定律——惯性与力的本质

牛顿第一定律是研究“运动与力关系”的起点，它纠正了“力是维持运动的原因”的错误认知，明确了惯性的本质和力的作用效果。

（1）牛顿第一定律的内容与推导

内容：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。

推导逻辑：基于伽利略“理想斜面实验”的推理（实验+逻辑思维）——

1. 让小球从斜面A某高度滑下，若斜面B光滑（无阻力），小球会滑到斜面B的同一高度；

2. 逐渐减小斜面B的倾角，小球仍能滑到同一高度，但运动距离变长；

3. 若斜面B倾角为0°（水平），小球将沿水平方向永远匀速运动下去（无阻力时，运动状态不变）。

（注：理想斜面实验无法在现实中完全实现，因不存在绝对光滑的表面，但其推理结果符合客观规律，是物理学中“理想实验法”的典范。）

（2）惯性——物体的固有属性

定义：物体保持原来的匀速直线运动状态或静止状态的性质，称为惯性（牛顿第一定律也叫“惯性定律”）。

核心特点：

1. 普遍性：一切物体（固体、液体、气体，静止或运动的物体）都有惯性，惯性是物体的固有属性，与物体的运动状态、是否受力无关；

2. 唯一量度：惯性的大小仅由物体的质量决定——质量越大，惯性越大（例：货车比小汽车难启动、难刹车，因货车质量大，惯性大，运动状态更难改变）；

3. 表现形式：

静止物体的惯性：保持静止（如突然拉动桌子，桌面上的书因惯性会向后倒）；

运动物体的惯性：保持匀速直线运动（如刹车时，车内乘客因惯性会向前倾）。

（3）力的本质——改变运动状态的原因

牛顿第一定律明确：力的作用不是“维持运动”，而是“改变物体的运动状态”（运动状态的改变包括“速度大小的改变”或“速度方向的改变”，即产生加速度）。

例：水平路面上匀速行驶的汽车，牵引力与阻力平衡，合力为零，运动状态不变（惯性维持匀速）；若牵引力大于阻力，合力向前，汽车加速（力改变运动状态）；若刹车时阻力大于牵引力，合力向后，汽车减速（力改变运动状态）。

二、牛顿第二运动定律——力、质量与加速度的定量关系

牛顿第二定律是牛顿运动定律的核心，它从“定性”（牛顿第一定律）走向“定量”，建立了“合力、质量、加速度”三者的瞬时对应关系，是解决“运动与力”综合问题的关键公式。

（1）牛顿第二定律的内容与公式

内容：物体加速度的大小跟它所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。

公式：\(F_{\text{合}} = ma\)（国际单位制中，\(F_{\text{合}}\)单位为“牛顿（N）”，\(m\)为“千克（kg）”，\(a\)为“米每二次方秒（m/s²）”，1N = 1kg·m/s²）。

公式理解的3个关键：

1. 矢量性：合外力\(F_{\text{合}}\)与加速度\(a\)是矢量关系——\(a\)的方向始终与\(F_{\text{合}}\)的方向一致（若合外力方向变化，\(a\)的方向也随之变化）；

2. 瞬时性：合外力与加速度是“瞬时对应”关系——合外力产生的同时，加速度立即产生；合外力变化时，加速度也立即变化；合外力消失时，加速度也立即消失（例：弹簧拉物体，剪断弹簧的瞬间，合外力消失，加速度立即为零，物体不再加速）；

3. 独立性：若物体受多个力作用，每个力都会独立产生一个加速度，物体的总加速度是所有分加速度的矢量和（即“力的独立作用原理”，实际计算中常用“正交分解法”，将力分解到x、y轴，分别列\(F_{\text{合x}} = ma_x\)、\(F_{\text{合y}} = ma_y\)）。

（2）牛顿第二定律的适用条件

宏观物体：不适用于微观粒子（如电子、质子，需用量子力学描述）；

低速运动：不适用于高速运动（速度接近光速，需用相对论描述）；

惯性参考系：以地面、匀速运动的汽车等“惯性系”为参考系（若以加速的汽车为参考系，会出现“虚拟力”，牛顿第二定律不成立）。

（3）牛顿第二定律的解题步骤（通用流程）

1. 确定研究对象：明确分析哪个物体的运动与力（单个物体或连接体，连接体常用“整体法”或“隔离法”）；

2. 受力分析：用“重力、弹力、摩擦力”的顺序分析物体受的所有力，画出受力示意图（避免漏力或多力）；

3. 运动分析：确定物体的运动状态（匀速、加速、减速，加速度的方向和大小是否已知）；

4. 建立坐标系：通常以加速度方向为x轴正方向（或水平、竖直方向），将力正交分解到x、y轴；

5. 列方程：根据\(F_{\text{合x}} = ma_x\)、\(F_{\text{合y}} = ma_y\)列方程（若y轴无加速度，\(F_{\text{合y}} = 0\)）；

6. 求解与验证：代入数据计算，验证结果是否符合物理实际（如加速度方向是否与合外力方向一致）。

三、超重与失重——牛顿第二定律的实际应用

超重与失重是物体在竖直方向有加速度时，“视重”（弹簧测力计或台秤的示数）与“实重”（重力\(mg\)）的差异现象，本质是“支持力/拉力与重力的关系”，与物体的运动方向无关，仅与竖直方向的加速度方向有关。

（1）实重与视重的定义

实重：物体实际受到的重力，\(G = mg\)（由质量和重力加速度决定，不随运动状态变化）；

视重：物体对支持物的压力（或对悬挂物的拉力），用\(F_N\)（支持力）或\(T\)（拉力）表示，视重大小等于支持物对物体的支持力（或悬挂物对物体的拉力）（牛顿第三定律）。

（2）超重现象

定义：视重大于实重的现象（\(F_N > mg\)或\(T > mg\)）；

产生条件：物体具有竖直向上的加速度（\(a\)向上，无论物体是向上加速还是向下减速）；

原理推导：以物体为研究对象，竖直方向受力：重力\(mg\)（向下）、支持力\(F_N\)（向上）。由牛顿第二定律：\(F_N - mg = ma\) → \(F_N = mg + ma > mg\)；

实例：电梯加速上升时，人对电梯底板的压力大于重力；运动员起跳时，脚对地面的压力大于重力。

（3）失重现象

定义：视重小于实重的现象（\(F_N < mg\)或\(T < mg\)）；

产生条件：物体具有竖直向下的加速度（\(a\)向下，无论物体是向下加速还是向上减速）；

原理推导：竖直方向受力：\(mg - F_N = ma\) → \(F_N = mg - ma < mg\)；

完全失重：当竖直向下的加速度\(a = g\)时，\(F_N = mg - mg = 0\)，视重为零的现象（物体对支持物/悬挂物无作用力）；

实例：自由下落的物体（如跳楼机下落过程）、太空中的宇航员（绕地球做圆周运动，向心加速度\(a = g\)，处于完全失重状态）；

注意：完全失重时，物体的重力并未消失（仍受重力，重力提供加速度），只是视重为零。

（4）超重与失重的关键结论

超重/失重仅与竖直方向的加速度有关，水平方向的加速度不影响视重（例：水平加速的汽车中，人对座椅的压力等于重力，无超重/失重）；

物体向上运动时，可能超重（加速向上），也可能失重（减速向上）；向下运动时，可能失重（加速向下），也可能超重（减速向下）——运动方向不是判断依据，加速度方向才是。

例题1：牛顿第一定律的理解（惯性的判断） 题目：下列关于惯性的说法，正确的是（  ）

A. 速度越大的物体，惯性越大  B. 受力越大的物体，惯性越大

C. 质量越大的物体，惯性越大  D. 静止的物体没有惯性

解析：惯性是物体的固有属性，唯一量度是质量——质量越大，惯性越大，与速度、受力、运动状态无关（A、B、D错误，C正确）。

答案：C

例题2：牛顿第一定律的应用（运动状态的改变） 题目：一个在光滑水平面上匀速直线运动的物体，若突然不受任何力的作用，它将（  ）

A. 立即停止  B. 速度逐渐减小，最终停止

C. 保持匀速直线运动  D. 速度逐渐增大

解析：光滑水平面无阻力，物体不受力时，由牛顿第一定律，将保持原来的匀速直线运动状态（C正确，A、B、D错误）。

答案：C

例题3：惯性现象的解释（生活场景） 题目：汽车紧急刹车时，车内乘客会向前倾，下列说法正确的是（  ）

A. 乘客受到向前的力  B. 乘客的惯性使他保持原来的运动状态

C. 刹车时乘客不受力  D. 乘客的惯性消失

解析：刹车时，汽车减速，乘客的脚随汽车减速，但上半身因惯性保持原来的运动状态（向前运动），因此前倾——惯性不是力，乘客受重力、支持力、摩擦力（A、C错误），惯性始终存在（D错误），B正确。

答案：B

例题4：牛顿第二定律的矢量性（加速度方向） 题目：一个质量为2kg的物体，在水平方向受到3N的拉力和1N的阻力（阻力与运动方向相反），则物体的加速度方向与（  ）

A. 拉力方向相同  B. 阻力方向相同  C. 运动方向相反  D. 无法确定

解析：水平方向合外力\(F_{\text{合}} = 3N - 1N = 2N\)，方向与拉力方向一致；由牛顿第二定律，加速度方向与合外力方向相同（A正确，B、C、D错误）。

答案：A

例题5：牛顿第二定律的定量计算（基本公式应用） 题目：质量为5kg的物体，在竖直向上的拉力作用下，以2m/s²的加速度向上加速运动，求拉力的大小（\(g = 10m/s²\)）。

解析：物体受重力\(mg = 5×10 = 50N\)（向下）、拉力\(F\)（向上）；合外力\(F_{\text{合}} = F - mg = ma\)；代入数据：\(F - 50 = 5×2\) → \(F = 60N\)。

答案：60N

例题6：牛顿第二定律的瞬时性（弹簧与绳的区别） 题目：如图（示意图：天花板用绳悬挂一个弹簧，弹簧下端挂一个小球，小球静止），若突然剪断悬挂弹簧的绳，剪断瞬间小球的加速度为多少（\(g = 10m/s²\)）？

解析：剪断前，小球受重力\(mg\)和弹簧拉力\(T = mg\)（平衡）；剪断绳的瞬间，弹簧的形变无法立即消失（弹簧弹力具有“瞬时不变性”），拉力仍为\(T = mg\)；此时小球合外力\(F_{\text{合}} = mg + T = 2mg\)；由\(F_{\text{合}} = ma\)得\(a = 2g = 20m/s²\)（方向向下）。

答案：20m/s²（方向向下）

例题7：超重现象的判断（电梯场景） 题目：人站在电梯中的台秤上，台秤示数大于人的体重，下列情况可能的是（  ）

A. 电梯匀速上升  B. 电梯加速下降  C. 电梯减速上升  D. 电梯加速上升

解析：台秤示数大于体重，是超重现象，条件是“竖直向上的加速度”——

A匀速上升，\(a = 0\)，视重等于实重（错误）；

B加速下降，\(a\)向下，失重（错误）；

C减速上升，\(a\)向下，失重（错误）；

D加速上升，\(a\)向上，超重（正确）。

答案：D

例题8：失重现象的计算（自由下落） 题目：一个质量为60kg的人乘坐跳楼机，从高处自由下落（加速度\(a = g\)），此时人对座椅的压力为多少（\(g = 10m/s²\)）？

解析：自由下落时，人处于完全失重状态，竖直方向合外力\(F_{\text{合}} = mg - F_N = ma = mg\)；解得\(F_N = 0\)；由牛顿第三定律，人对座椅的压力等于座椅对人的支持力，即0。

答案：0N

例题9：牛顿第二定律的正交分解（斜面场景） 题目：质量为3kg的物体沿倾角\(\theta = 37°\)的斜面匀加速下滑，已知斜面光滑（无摩擦力），求物体的加速度大小（\(\sin37° = 0.6\)，\(\cos37° = 0.8\)，\(g = 10m/s²\)）。

解析：建立坐标系（x轴沿斜面向下，y轴垂直斜面向上）；

受力分析：重力\(mg = 3×10 = 30N\)（竖直向下），支持力\(F_N\)（垂直斜面向上）；

分解重力：\(F_{x} = mg\sin\theta = 30×0.6 = 18N\)（沿x轴），\(F_{y} = mg\cos\theta = 30×0.8 = 24N\)（沿y轴负方向）；

y轴无加速度，\(F_N = F_y = 24N\)（合外力为零）；

x轴合外力\(F_{\text{合x}} = F_x = 18N\)；由\(F_{\text{合x}} = ma\)得\(a = 18/3 = 6m/s²\)。

答案：6m/s²

例题10：牛顿第二定律与运动学公式的结合（先受力后运动） 题目：一个质量为2kg的物体，在水平拉力\(F = 10N\)作用下，从静止开始在粗糙水平面上运动，已知动摩擦因数\(\mu = 0.2\)，求物体运动5s后的速度（\(g = 10m/s²\)）。

解析：步骤1：求加速度（受力分析）；

水平方向：拉力\(F = 10N\)（向前），滑动摩擦力\(f = \mu F_N = \mu mg = 0.2×2×10 = 4N\)（向后）；

合外力\(F_{\text{合}} = F - f = 10 - 4 = 6N\)；

加速度\(a = F_{\text{合}}/m = 6/2 = 3m/s²\)（向前）。

步骤2：求5s后速度（运动学公式）；

初速度\(v_0 = 0\)，由\(v_t = v_0 + at\)得\(v_t = 0 + 3×5 = 15m/s\)。

答案：15m/s

例题11：牛顿第二定律的连接体问题（整体法） 题目：如图（示意图：水平面上有两个紧挨着的物体A（质量\(m_A = 2kg\)）和B（质量\(m_B = 3kg\)），用水平力\(F = 15N\)推A，使A、B一起匀加速运动，水平面光滑，求A对B的作用力大小。

解析：步骤1：整体法求加速度（A、B整体为研究对象）；

整体合外力\(F_{\text{合}} = F = 15N\)（光滑无摩擦）；

整体质量\(m_{\text{总}} = m_A + m_B = 5kg\)；

加速度\(a = F_{\text{合}}/m_{\text{总}} = 15/5 = 3m/s²\)。

步骤2：隔离法求A对B的作用力（B为研究对象）；

B受A的作用力\(F_{AB}\)（向前），无其他水平力；

由\(F_{AB} = m_B a\)得\(F_{AB} = 3×3 = 9N\)。

答案：9N

例题12：超重现象的计算（电梯加速上升） 题目：人站在电梯中的台秤上，人的质量\(m = 50kg\)，电梯以\(a = 2m/s²\)的加速度加速上升，求台秤的示数（\(g = 10m/s²\)）。

解析：台秤示数等于人对台秤的压力，即台秤对人的支持力\(F_N\)（牛顿第三定律）；

人受重力\(mg = 50×10 = 500N\)（向下）、支持力\(F_N\)（向上）；

加速上升，\(a\)向上，由\(F_N - mg = ma\)得\(F_N = mg + ma = 500 + 50×2 = 600N\)；

台秤示数为600N。

答案：600N

例题13：完全失重的判断（太空场景） 题目：宇航员在太空中处于完全失重状态，下列说法正确的是（  ）

A. 宇航员不受重力  B. 宇航员的重力消失  C. 宇航员对支持物无压力  D. 宇航员的质量为零

解析：完全失重的本质是“视重为零”，宇航员仍受重力（重力提供绕地球做圆周运动的向心力），质量是固有属性，不会消失——

A、B错误（重力仍存在）；

C正确（视重为零，对支持物无压力）；

D错误（质量不变）。

答案：C

例题14：牛顿第二定律的动态分析（力随时间变化） 题目：一个质量为4kg的物体，在水平方向的合外力随时间变化的规律为\(F_{\text{合}} = 4t\)（N），物体从静止开始运动，求t = 3s时物体的加速度和速度。

解析：（1）求加速度：由\(F_{\text{合}} = ma\)，t = 3s时\(F_{\text{合}} = 4×3 = 12N\)，则\(a = 12/4 = 3m/s²\)；

（2）求速度：合外力随时间线性变化，加速度也随时间线性变化（\(a = t\)），平均加速度\(\bar{a} = (0 + 3)/2 = 1.5m/s²\)；由\(v = \bar{a}t = 1.5×3 = 4.5m/s\)（或用运动学积分，高中阶段用平均加速度即可）。

答案：加速度3m/s²，速度4.5m/s

例题15：牛顿第一定律的辨析（错误观点纠正） 题目：下列说法中，符合牛顿第一定律的是（  ）

A. 物体不受力，一定静止  B. 物体受力越大，运动越快  C. 物体的运动状态改变，一定受力  D. 物体受力，运动状态一定改变

解析：A错误（不受力可能匀速直线运动）；B错误（受力大，加速度大，运动快慢由速度决定，与受力大小无直接关系）；C正确（力是改变运动状态的原因，运动状态改变必受力）；D错误（受力平衡时，合外力为零，运动状态不变）。

答案：C

例题16：牛顿第二定律的连接体问题（隔离法） 题目：如图（示意图：天花板用绳悬挂一个物体A（质量\(m_A = 1kg\)），A下方用另一根绳悬挂物体B（质量\(m_B = 2kg\)），A、B一起加速上升，加速度\(a = 1m/s²\)，求两根绳的拉力大小（\(g = 10m/s²\)）。

解析：设上方绳拉力为\(T_1\)，下方绳拉力为\(T_2\)；

隔离B：B受重力\(m_B g = 2×10 = 20N\)（向下）、\(T_2\)（向上）；由\(T_2 - m_B g = m_B a\)得\(T_2 = 20 + 2×1 = 22N\)；

隔离A：A受重力\(m_A g = 1×10 = 10N\)（向下）、\(T_1\)（向上）、\(T_2\)（向下，B对A的拉力，与\(T_2\)是反作用力）；由\(T_1 - m_A g - T_2 = m_A a\)得\(T_1 = 10 + 22 + 1×1 = 33N\)。

答案：上方绳拉力33N，下方绳拉力22N

例题17：超重与失重的综合判断（多场景） 题目：下列场景中，物体处于超重状态的是（  ）

A. 平抛运动的小球  B. 减速下降的电梯  C. 匀速圆周运动的卫星（竖直方向）  D. 加速下滑的斜面物体

解析：A平抛运动，竖直方向加速度\(a = g\)向下，完全失重（错误）；B减速下降，\(a\)向上，超重（正确）；C卫星竖直方向加速度\(a = g\)向下，完全失重（错误）；D加速下滑，竖直方向分加速度向下，失重（错误）。

答案：B

例题18：牛顿第二定律与摩擦力的结合（临界状态） 题目：质量为5kg的物体放在水平面上，动摩擦因数\(\mu = 0.3\)，用水平力F拉物体，当F多大时，物体刚好开始滑动（最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，\(g = 10m/s²\)）？若F = 20N，物体的加速度为多少？

解析：（1）刚好滑动时，拉力等于最大静摩擦力\(f_{\text{max}} ≈ \mu F_N = \mu mg = 0.3×5×10 = 15N\)，因此F = 15N；

（2）F = 20N > 15N，物体滑动，滑动摩擦力\(f = 15N\)；合外力\(F_{\text{合}} = 20 - 15 = 5N\)；加速度\(a = 5/5 = 1m/s²\)。

答案：刚好滑动时F = 15N；F = 20N时加速度1m/s²

例题19：牛顿第一定律的理想实验推理 题目：伽利略的理想斜面实验中，若斜面B的倾角逐渐增大，小球滑上斜面B的最大高度将（  ）

A. 增大  B. 减小  C. 不变  D. 无法确定

解析：理想斜面实验中，无阻力时，小球滑上斜面B的最大高度始终等于在斜面A的释放高度（机械能守恒），与斜面B的倾角无关（倾角增大，小球运动距离变短，但高度不变）。

答案：C

例题20：超重与失重的定量计算（电梯减速下降） 题目：电梯载着质量为40kg的货物，以\(a = 3m/s²\)的加速度减速下降，求钢绳对电梯的拉力（电梯质量不计，\(g = 10m/s²\)）。

解析：减速下降时，加速度\(a\)向上，货物处于超重状态；

货物受重力\(mg = 40×10 = 400N\)（向下）、钢绳拉力\(T\)（向上）；

由\(T - mg = ma\)得\(T = 400 + 40×3 = 520N\)；

电梯质量不计，钢绳对电梯的拉力等于对货物的拉力，即520N。

答案：520N

物理基础