高中物理 06 圆周运动、向心力、向心加速度

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国物理学会 - 中国院士 - GeoGebra - 物理基础

统一取值：无特殊说明 \(g=10\mathrm{m/s^2}\)，圆周运动忽略摩擦、空气阻力。

1. 描述圆周运动物理量

1）线速度\(v\)：瞬时切线速度，\(v=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}\)，单位\(\mathrm{m/s}\)；

2）角速度\(\omega\)：单位时间转过圆心角，\(\omega=\dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}\)，单位\(\mathrm{rad/s}\)；

3）周期\(T\)：转一圈用时；频率\(f=\dfrac1T\)每秒转圈数；

4）关系式：\(\boldsymbol{v=\omega r}\)、\(\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f\)、\(v=\dfrac{2\pi r}{T}=2\pi r f\)。

2. 向心加速度\(a_\boldsymbol{n}\)

方向：始终指向圆心，只改变速度方向、不改变速度大小；

公式：

\(\)a_n=\frac{v^2}{r}=\omega^2 r=\frac{4\pi^2}{T^2}r=4\pi^2 f^2 r\(\)

3. 向心力\(F_\boldsymbol{n}\)

1）本质：效果力，不是新性质力，由重力、弹力、摩擦力或几个力的合力提供；

2）方向：和向心加速度同向，始终指向圆心；

\(\)F_n=ma_n=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2 r\(\)

3）匀速圆周运动：合外力全部充当向心力，合外力大小不变、方向时刻变；

变速圆周运动：合力分两个分量：径向分力=向心力（改变速度方向），切向分力改变速度大小。

4. 三大经典模型（高频考点）

1. 水平面圆周：静摩擦力/绳子拉力提供向心力（转盘物体、汽车转弯）；

2. 竖直圆周（绳模型）：最高点最小临界速度\(v_\min=\sqrt{gr}\)（绳无支持，重力提供向心力）；

杆模型最高点临界\(v_\min=0\)，杆可提供支持力；

3. 圆锥摆：重力与拉力合力提供向心力。

例1：小球在\(r=0.5\mathrm{m}\)圆周匀速转动，周期\(T=\pi\ \mathrm{s}\)，求角速度\(\omega\)、线速度\(v\)。

解：\(\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{\pi}=2\ \mathrm{rad/s}\)，\(v=\omega r=2\times0.5=1\mathrm{m/s}\)。

例2：物体\(m=2\mathrm{kg}\)，\(r=1\mathrm{m}\)，线速度\(v=4\mathrm{m/s}\)，求向心加速度与向心力大小。

解：\(a_n=\dfrac{v^2}{r}=\dfrac{16}{1}=16\mathrm{m/s^2}\)，\(F_n=ma_n=32\mathrm{N}\)。

例3：质点\(\omega=3\mathrm{rad/s}\)，轨道半径\(r=2\mathrm{m}\)，求\(a_n\)。

解：\(a_n=\omega^2 r=9\times2=18\mathrm{m/s^2}\)。

例4：圆周运动\(f=5\mathrm{Hz}\)，\(r=0.2\mathrm{m}\)，用周期公式求向心加速度。

\(T=\dfrac15=0.2\mathrm{s}\)，\(a_n=\dfrac{4\pi^2 r}{T^2}=\dfrac{4\pi^2\times0.2}{0.04}=20\pi^2\ \mathrm{m/s^2}\)。

例5：同一同轴转动的A、B两点，\(r_A:r_B=1:3\)，求角速度、线速度之比。

同轴\(\omega_A=\omega_B\)；\(\dfrac{v_A}{v_B}=\dfrac{\omega r_A}{\omega r_B}=\dfrac13\)。

例6：皮带传动两轮无打滑，边缘A、B线速度相等，\(r_A=2r_B\)，求角速度之比。

\(v_A=v_B,\omega_A r_A=\omega_B r_B\Rightarrow \dfrac{\omega_A}{\omega_B}=\dfrac{r_B}{r_A}=\dfrac12\)。

例7：\(m=0.5\mathrm{kg}\)物体，\(F_n=20\mathrm{N}\)、\(r=2\mathrm{m}\)，求线速度\(v\)。

由\(F=m\dfrac{v^2}{r}\)，\(v=\sqrt{\dfrac{F r}{m}}=\sqrt{\dfrac{20\times2}{0.5}}=\sqrt{80}=4\sqrt5\ \mathrm{m/s}\)。

例8：某质点向心加速度\(a_n=40\mathrm{m/s^2}\)，\(r=1.0\mathrm{m}\)，求转动频率\(f\)。

\(a_n=4\pi^2 f^2 r\Rightarrow f=\sqrt{\dfrac{a_n}{4\pi^2 r}}=\sqrt{\dfrac{40}{4\pi^2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{\pi}\ \mathrm{Hz}\)。

例9：质量\(m=1\mathrm{kg}\)物体放在水平转盘上，距转轴\(r=0.4\mathrm{m}\)，最大静摩擦力\(f_\max=10\mathrm{N}\)，求不滑动最大线速度。

静摩擦力充当向心力：\(f_\max=m\dfrac{v_\max^2}{r}\)

\(v_\max=\sqrt{\dfrac{f_\max r}{m}}=\sqrt{4}=2\mathrm{m/s}\)。

例10：汽车在水平路面转弯，弯道半径\(r=20\mathrm{m}\)，轮胎与地面动摩擦因数\(\mu=0.5\)，最大静摩擦等于滑动摩擦，求安全最大车速。

\(\mu mg=m\dfrac{v^2}{r}\)，\(v=\sqrt{\mu g r}=\sqrt{0.5\times10\times20}=\sqrt{100}=10\mathrm{m/s}\)。

例11：细线拴\(m=2\mathrm{kg}\)小球在光滑水平面匀速转圈，绳长\(L=1\mathrm{m}\)，拉力\(F=80\mathrm{N}\)，求角速度。

\(F=m\omega^2 L,\omega=\sqrt{\dfrac{F}{mL}}=\sqrt{\dfrac{80}{2\times1}}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\ \mathrm{rad/s}\)。

例12：转盘角速度\(\omega=2\mathrm{rad/s}\)，\(r=0.5\mathrm{m}\)处物块刚好不滑动，求动摩擦因数\(\mu\)。

\(\mu mg=m\omega^2 r,\mu=\dfrac{\omega^2 r}{g}=\dfrac{4\times0.5}{10}=0.2\)。

例13：光滑水平面，绳子一端固定，\(m=0.8\mathrm{kg}\)小球以\(v=5\mathrm{m/s}\)绕圆心转动，绳拉力\(F=50\mathrm{N}\)，求圆周半径。

\(F=m\dfrac{v^2}{r}\Rightarrow r=\dfrac{mv^2}{F}=\dfrac{0.8\times25}{50}=0.4\mathrm{m}\)。

例14：水平圆盘上两物体\(m_1=1\mathrm{kg}\)、\(m_2=2\mathrm{kg}\)固定在同一根杆上，\(r_1=0.2\mathrm{m},r_2=0.4\mathrm{m}\)同轴转动，比较所需向心力大小。

\(\omega\)相同，\(\dfrac{F_1}{F_2}=\dfrac{m_1\omega^2 r_1}{m_2\omega^2 r_2}=\dfrac{1\times0.2}{2\times0.4}=\dfrac14\)。

例15：（绳模型）绳长\(L=0.8\mathrm{m}\)，\(m=1\mathrm{kg}\)小球竖直圆周，求最高点刚好不落临界速度，以及此时绳子拉力。

临界重力提供向心力：\(mg=m\dfrac{v^2}{L}\)，\(v=\sqrt{gL}=\sqrt{8}=2\sqrt2\ \mathrm{m/s}\)，拉力\(T=0\)。

例16：同上绳模型，小球在最低点速度\(v=6\mathrm{m/s}\)，求绳的拉力。

最低点：\(T-mg=m\dfrac{v^2}{L}\)

\(T=mg+m\dfrac{v^2}{L}=10+\dfrac{36}{0.8}=10+45=55\mathrm{N}\)。

例17：（轻杆模型）杆长\(L=1\mathrm{m}\)，\(m=2\mathrm{kg}\)小球竖直圆周，最高点\(v=0\)，求杆的弹力大小与方向。

\(F-mg=0,F=mg=20\mathrm{N}\)，杆向上支持小球。

例18：杆模型\(L=0.9\mathrm{m}\)，最高点\(v=3\mathrm{m/s}\)，求杆受力。

\(mg-F_N=m\dfrac{v^2}{L}\)，\(20-F_N=2\times\dfrac9{0.9}=20\)，\(F_N=0\)，杆无弹力。

例19：圆锥摆摆长\(L=1\mathrm{m}\)，摆线与竖直夹角\(\theta=37^\circ(\sin37^\circ=0.6,\cos37^\circ=0.8)\)，小球\(m=0.5\mathrm{kg}\)，求圆周半径\(r\)、周期\(T\)。

\(r=L\sin\theta=0.6\mathrm{m}\)；竖直平衡\(T_\text{拉}\cos\theta=mg\)，水平\(T_\text{拉}\sin\theta=m\dfrac{4\pi^2}{T^2}r\)

两式相除：\(\tan\theta=\dfrac{4\pi^2 r}{gT^2}\)，代入\(\tan37^\circ=\dfrac34\)，解得\(T=\dfrac{2\pi\sqrt{L\cos\theta}}{\sqrt g}=0.8\pi\ \mathrm{s}\)。

例20：圆锥摆周期\(T=\dfrac{\pi}{\sqrt5}\ \mathrm{s}\)，\(\cos\theta=0.5\)，求摆长\(L\)。

圆锥摆周期通式\(T=2\pi\sqrt{\dfrac{L\cos\theta}{g}}\)，代入数据解得\(L=0.5\mathrm{m}\)。

解题总结

1. 同轴转动\(\omega\)相等，皮带/齿轮传动边缘\(v\)相等；

2. 水平面圆周：摩擦力、绳子拉力、支持力的合力提供向心力；

3. 竖直绳模型最高点最小\(v=\sqrt{gr}\)，杆模型最高点速度可以为0；

4. 圆锥摆：竖直方向受力平衡，水平合力做向心力，优先分解拉力。

物理基础