高中物理 05 抛体运动、曲线运动

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一、曲线运动基础

1. 曲线运动条件

物体合外力（加速度）与初速度不在同一条直线上：

合力指向轨迹凹侧，轨迹夹在速度与合力中间；

速度方向：轨迹切线方向，曲线运动速度一定变化（方向变），一定有加速度。

2. 运动的合成与分解（平抛核心原理）

遵循平行四边形定则，分运动独立性：各分运动互不干扰、等时性（同时开始同时结束）。

1. 合运动、分运动关系：

匀速+匀速=匀速直线；

匀速+匀变速=匀变速曲线（平抛典型）；

匀变速+匀变速：共线→匀变速直线，不共线→匀变速曲线。

2. 小船渡河两类模型：

最短时间：\(t_{\min}=\dfrac{d}{v_\text{船⊥岸}}\)，船头垂直河岸；

最短位移：\(v_\text{船}>v_\text{水}\)时船头斜向上游，合位移等于河宽\(d\)。

二、平抛运动（重点）

平抛：只受重力、初速度水平，水平匀速直线+竖直自由落体，两个分运动独立。

设初速度\(v_0\)，下落高度\(h\)，运动时间\(t\)，下落竖直速度\(v_y\)。

1. 分运动公式

水平：\(x=v_0 t \quad v_x=v_0\)

竖直：\(v_y=gt \quad h=\dfrac12 g t^2\)

合速度：\(v=\sqrt{v_0^2+v_y^2}\)，速度偏角\(\theta\)：\(\tan\theta=\dfrac{v_y}{v_0}\)

合位移：\(s=\sqrt{x^2+h^2}\)，位移偏角\(\alpha\)：\(\tan\alpha=\dfrac{h}{x}\)

重要推论：\(\boldsymbol{\tan\theta=2\tan\alpha}\)；速度反向延长线平分水平位移。

2. 落地时间：由下落高度唯一决定 \(t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}\)，与初速度无关。

三、斜抛运动（拓展）

初速度斜向上/斜向下抛出，只受重力，分解：

水平：匀速 \(v_{0x}=v_0\cos\theta，x=v_0\cos\theta\cdot t\)

竖直：竖直上抛 \(v_{0y}=v_0\sin\theta\)，上升时间\(t_\text{上}=\dfrac{v_0\sin\theta}{g}\)，总飞行\(t=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g}\)

最大高度 \(H=\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}\)，水平射程 \(X=\dfrac{v_0^2\sin2\theta}{g}\)，\(\theta=45^\circ\)射程最大。

例题 重力统一取\(g=10\ \mathrm{m/s^2}\)，无特殊说明空气阻力不计。

例1：一个物体同时参与：水平向右\(v_1=3\mathrm{m/s}\)匀速、竖直向下\(v_2=4\mathrm{m/s}\)匀速，求合速度大小与运动轨迹。

解：\(v_\text{合}=\sqrt{3^2+4^2}=5\mathrm{m/s}\)，两个匀速合成匀速直线运动，轨迹直线。

例2：物体初速度水平向右，加速度竖直向下恒定，判断运动性质。

解：速度与加速度不共线，匀变速曲线运动（平抛模型）。

例3：某质点初速度沿x轴，加速度先沿+y后沿-y，全程加速度大小不变，轨迹向哪一侧弯曲？

解：加速度指向凹侧，先向y正方向弯，后向y负方向弯。

例4：两分运动：\(v_x=2\mathrm{m/s}\)匀速，竖直\(a=2\mathrm{m/s^2}\)匀加速，\(t=3\mathrm{s}\)，求水平位移、竖直位移、合位移。

解：\(x=2\times3=6\mathrm{m}\)；\(y=\frac12\times2\times9=9\mathrm{m}\)；\(s=\sqrt{6^2+9^2}=3\sqrt{13}\ \mathrm{m}\)。

例5：一物体两个匀变速分运动，\(a_1、a_2\)恒定且不共线，合运动是？

解：合加速度恒定，初速度与合加速度不共线→匀变速曲线运动。

例6：河宽\(d=100\mathrm{m}\)，水速\(v_\text{水}=3\mathrm{m/s}\)，船静水速度\(v_\text{船}=5\mathrm{m/s}\)，船头垂直河岸，求渡河时间、沿河水漂移距离。

解：\(t=\dfrac{d}{v_\text{船}}=\dfrac{100}{5}=20\mathrm{s}\)；\(x_\text{漂}=3\times20=60\mathrm{m}\)。

例7：同上条件，要最短位移过河，求船头与上游河岸夹角余弦值。

解：合速度垂直河岸，\(\cos\theta=\dfrac{v_\text{水}}{v_\text{船}}=\dfrac35\)。

例8：河宽\(200\mathrm{m}\)，水速\(4\mathrm{m/s}\)，船静水速度\(3\mathrm{m/s}<v_\text{水}\)，能否垂直渡河？

解：船速小于水速，无法抵消水流，不能垂直抵达正对岸。

例9：小球\(h=5\mathrm{m}\)高处水平抛出，\(v_0=2\mathrm{m/s}\)，求落地时间、水平射程。

解：\(h=\frac12gt^2 \Rightarrow t=\sqrt{\frac{2\times5}{10}}=1\mathrm{s}\)；\(x=2\times1=2\mathrm{m}\)。

例10：平抛落地竖直速度\(v_y=20\mathrm{m/s}\)，\(v_0=15\mathrm{m/s}\)，求下落高度、合速度。

解：\(t=\dfrac{v_y}{g}=2\mathrm{s},h=\frac12\times10\times4=20\mathrm{m}\)；\(v=\sqrt{15^2+20^2}=25\mathrm{m/s}\)。

例11：平抛物体位移偏角\(\alpha\)满足\(\tan\alpha=\dfrac12\)，\(v_0=10\mathrm{m/s}\)，求速度偏角正切。

解：推论\(\tan\theta=2\tan\alpha=1\)。

例12：从高\(45\mathrm{m}\)平台平抛，水平射程\(30\mathrm{m}\)，求初速度。

解：\(t=\sqrt{\dfrac{2\times45}{10}}=3\mathrm{s}\)，\(v_0=\dfrac{30}{3}=10\mathrm{m/s}\)。

例13：同一高度先后平抛两球，\(v_{01}=5\mathrm{m/s},v_{02}=10\mathrm{m/s}\)，落地时间关系？

解：落地只由高度决定，下落时间相等，同时落地。

例14：平抛某时刻水平位移等于竖直位移，\(v_0=10\mathrm{m/s}\)，求运动时间。

\(v_0 t=\frac12 g t^2 \Rightarrow t=\dfrac{2v_0}{g}=2\mathrm{s}\)。

例15：小球从桌面边缘飞出，桌高\(h=1.25\mathrm{m}\)，落地水平距离\(x=2\mathrm{m}\)，求初速度。

\(t=\sqrt{\dfrac{2\times1.25}{10}}=0.5\mathrm{s}\)，\(v_0=\dfrac{2}{0.5}=4\mathrm{m/s}\)。

例16：平抛，\(t_1=1\mathrm{s}\)、\(t_2=2\mathrm{s}\)，两段时间竖直位移差。

\(y_1=\frac12\times10\times1=5\mathrm{m},y_2=\frac12\times10\times4=20\mathrm{m}\)，第二段竖直位移\(\Delta y=15\mathrm{m}\)。

例17：墙壁前平抛，撞墙时竖直下落\(h=1.8\mathrm{m}\)，水平前进\(x=3\mathrm{m}\)，求\(v_0\)。

\(t=\sqrt{\dfrac{2\times1.8}{10}}=0.6\mathrm{s},v_0=\dfrac{3}{0.6}=5\mathrm{m/s}\)。

例18：平抛落地时速度与水平成\(53^\circ(\sin53^\circ=0.8,\cos53^\circ=0.6)\)，落地速度\(v=50\mathrm{m/s}\)，求\(v_0\)和下落高度。

\(v_0=v\cos53^\circ=30\mathrm{m/s},v_y=40\mathrm{m/s},t=4\mathrm{s},h=\frac12\times10\times16=80\mathrm{m}\)。

例19：斜抛初速度\(v_0=20\mathrm{m/s}\)，抛射角\(\theta=30^\circ\)，求上升最大高度与总飞行时间。

\(v_{0y}=20\sin30^\circ=10\mathrm{m/s}\)，\(t_\text{上}=\dfrac{10}{10}=1\mathrm{s}\)，总时间\(t=2\mathrm{s}\)；\(H=\dfrac{10^2}{20}=5\mathrm{m}\)。

例20：\(\theta=45^\circ\)抛出，\(v_0=10\sqrt2\ \mathrm{m/s}\)，求水平射程。

\(X=\dfrac{v_0^2\sin90^\circ}{g}=\dfrac{200\times1}{10}=20\mathrm{m}\)。

解题通用技巧总结

1. 平抛解题永远拆分水平匀速、竖直自由落体，先由竖直求时间，再代水平求位移速度；

2. 出现位移角、速度角优先用\(\tan\theta=2\tan\alpha\)推论；

3. 渡河：最短时间永远船头垂直河岸，最短位移分船速大于/小于水速两种情况；

4. 斜抛对称：上升下落时间相等，同一高度速度大小相等。

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