高中物理 07 万有引力与宇宙航行

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默认：万有引力常量\(G\)、地面重力加速度\(g=10\mathrm{m/s^2}\)，无特殊说明忽略天体自转、大气阻力，中心天体质量\(M\)，环绕天体质量\(m\)，轨道半径\(r\)（球心间距），天体半径\(R\)。

万有引力定律

公式：\(\boldsymbol{F=G\dfrac{Mm}{r^2}}\)

\(G=6.67\times10^{-11}\mathrm{N\cdot m^2/kg^2}\)；

\(r\)：两质点球心距离；球体之间距离取球心间距。

两大核心思路（本章全部题目来源）

思路①：黄金代换式（地面附近，万有引力≈重力）

地面物体：\(G\dfrac{Mm}{R^2}=mg\)，化简：\(\boldsymbol{GM=gR^2}\)

用处：未知\(G、M\)时，用\(g、R\)替换\(GM\)，高频必考。

思路②：环绕模型（卫星绕天体匀速圆周，万有引力全部充当向心力）

\(\)G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2 r=m\frac{4\pi^2}{T^2}r=ma_n\(\)

由此推出四个环绕量表达式：

1. 线速度：\(\boldsymbol{v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}}\)，\(r\)越大，\(v\)越小

2. 角速度：\(\boldsymbol{\omega=\sqrt{\dfrac{GM}{r^3}}}\)，\(r\)越大，\(\omega\)越小

3. 周期：\(\boldsymbol{T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}}\)，\(r\)越大，\(T\)越大

4. 向心加速度：\(\boldsymbol{a=\dfrac{GM}{r^2}}\)，\(r\)越大，\(a\)越小

口诀：高轨低速大周期

三大特殊卫星

1. 近地卫星：轨道半径\(r\approx R_\text{地}\)，\(v=\sqrt{gR}\)是地球卫星最大环绕速度（第一宇宙速度）

2. 第一宇宙速度（环绕最小发射、最大环绕）：\(v_1=\sqrt{gR}\approx7.9\mathrm{km/s}\)

3. 同步卫星（地球）：周期\(T=24\mathrm h\)、轨道在赤道正上方、轨道半径固定、角速度和地球自转角速度相同。

卫星变轨规律

加速（向后喷气）→万有引力不足所需向心力→做离心运动→变高轨道；

减速（向前喷气）→万有引力大于所需向心力→近心运动→变低轨道；

同一椭圆轨道：近地点速度＞远地点速度。

中心天体质量、密度计算

1. 由环绕天体周期轨道求质量：\(G\dfrac{Mm}{r^2}=m\dfrac{4\pi^2}{T^2}r \Rightarrow \boldsymbol{M=\dfrac{4\pi^2 r^3}{GT^2}}\)

2. 密度：\(\rho=\dfrac{M}{\dfrac43\pi R^3}\)；近地卫星\(r\approx R\)，\(\rho=\dfrac{3\pi}{GT^2}\)

例1：两质点质量\(m_1=2\mathrm{kg}，m_2=3\mathrm{kg}\)，间距\(r=1\mathrm{m}\)，\(G=6.67\times10^{-11}\)，求万有引力大小。

解：\(F=G\dfrac{m_1m_2}{r^2}=6.67\times10^{-11}\times\dfrac{2\times3}{1^2}=4.002\times10^{-10}\mathrm{N}\)。

例2：两物体间距加倍，两物体质量都变为原来2倍，万有引力变为原来几倍？

\(F\propto\dfrac{Mm}{r^2}\)，\(F'=\dfrac{G\cdot2M\cdot2m}{(2r)^2}=F\)，变为原来1倍。

例3：地球质量\(M=6\times10^{24}\mathrm{kg}\)，某人造卫星\(m=100\mathrm{kg}\)，轨道\(r=7\times10^6\mathrm{m}\)，求卫星受万有引力。

\(F=G\dfrac{Mm}{r^2}\)，代入数值即可直接列式计算引力。

例4：同一物体放在赤道与两极，两极万有引力全部等于重力，赤道万有引力一部分提供自转向心力，比较两处重力大小。

两极重力＞赤道重力。

例5：把物体放到离地高度等于地球半径处，物体受到地球引力是地面的几倍？

地面\(F_0=G\dfrac{Mm}{R^2}\)，高空\(r=2R，F=G\dfrac{Mm}{4R^2}=\dfrac14F_0\)，\(\dfrac14\)倍。

例6：两球心相距\(4\mathrm m\)，球体半径各\(1\mathrm m\)，质量\(M、m\)，计算引力时\(r\)取多少？

\(r=4\mathrm m\)（球心间距直接作为公式距离）。

例7：两颗地球卫星轨道半径\(r_1:r_2=1:4\)，求线速度之比\(v_1:v_2\)。

\(v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}，\dfrac{v_1}{v_2}=\sqrt{\dfrac{r_2}{r_1}}=\sqrt{\dfrac41}=2:1\)。

例8：同上轨道比\(1:4\)，求周期之比\(T_1:T_2\)。

\(T\propto\sqrt{r^3}，\dfrac{T_1}{T_2}=\sqrt{\dfrac1{64}}=1:8\)。

例9：两颗卫星，\(r_A>r_B\)，比较\(v、\omega、T、a\)大小。

\(v_A<v_B，\omega_A<\omega_B，T_A>T_B，a_A<a_B\)。

例10：已知卫星绕行星周期\(T\)、轨道半径\(r\)，推导行星质量\(M\)。

\(G\dfrac{Mm}{r^2}=m\dfrac{4\pi^2}{T^2}r \Rightarrow M=\dfrac{4\pi^2 r^3}{GT^2}\)。

例11：某卫星环绕地球\(r=4R\)（\(R\)地球半径），近地卫星周期\(T_0\)，求该卫星周期\(T\)。

\(\dfrac{T}{T_0}=\sqrt{\dfrac{(4R)^3}{R^3}}=\sqrt{64}=8，T=8T_0\)。

例12：地球半径\(R=6.4\times10^6\mathrm m\)，\(g=10\)，用黄金代换求\(GM\)数值。

\(GM=gR^2=10\times(6.4\times10^6)^2=4.096\times10^{14}\mathrm{m^3/s^2}\)。

例13：离地\(h=R\)高处重力加速度\(g'\)为地面几倍？

高空\(G\dfrac{Mm}{(2R)^2}=mg'\)，地面\(GM=gR^2\)，\(g'=\dfrac g4\)，\(\dfrac14\)倍。

例14：近地卫星第一宇宙速度\(v=\sqrt{gR}\)，\(g=10，R=6.4\times10^6\mathrm m\)，代入估算数值。

\(v=\sqrt{10\times6.4\times10^6}=8\times10^3\mathrm{m/s}=8\mathrm{km/s}\)。

例15：某星球半径\(R'=\dfrac12R_\text{地}\)，星球表面\(g'=2g_\text{地}\)，求\(\dfrac{M'}{M_\text{地}}\)。

\(GM=gR^2\Rightarrow M=\dfrac{gR^2}{G}\)，\(\dfrac{M'}{M}=\dfrac{g'R'^2}{gR^2}=\dfrac{2g\cdot (\frac12R)^2}{gR^2}=\dfrac12\)。

例16：同步卫星和近地卫星对比：周期、轨道半径、线速度大小。

同步：\(T=24\mathrm h\)、\(r\)远大于地球半径、\(v\)小于第一宇宙速度；近地：\(T\)约84分钟、\(r≈R\)、\(v=7.9\mathrm{km/s}\)。

例17：同步卫星相对地面静止，问同步卫星角速度与地球自转角速度关系？

大小相等，同轴转动\(\omega\)相同。

例18：近地卫星周期\(T\)，天体半径\(R\)，求天体密度\(\rho\)。

\(M=\dfrac{4\pi^2R^3}{GT^2}，\rho=\dfrac{M}{\frac43\pi R^3}=\dfrac{3\pi}{GT^2}\)。

例19：卫星轨道\(r=2R\)，周期\(T\)，天体半径\(R\)，求中心天体密度。

\(M=\dfrac{4\pi^2(2R)^3}{GT^2}，\rho=\dfrac{M}{\frac43\pi R^3}=\dfrac{24\pi}{GT^2}\)。

例20：卫星从低圆轨道加速进入椭圆轨道，再在远地点加速进入高圆轨道，分析两次加速原因与各轨道速度：

低轨加速：所需向心力变大，离心变椭圆；远地点再次加速补足向心力做高轨圆周；速度：近地点＞低圆轨道＞高圆轨道＞远地点。

通用解题总结

1. 求地面重力、高空重力加速度优先用黄金代换\(GM=gR^2\)；

2. 卫星环绕全用万有引力充当向心力，牢记高轨低速大周期；

3. 求中心天体质量：已知环绕\(T、r\)；求密度再加球体体积公式；

4. 变轨：加速离心升轨、减速近心降轨。

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