高中物理 14 动量定理、动量守恒定律

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统一说明：无特殊说明取地面为参考系，矢量运算规定正方向，碰撞过程内力远大于外力、系统动量守恒。

（一）动量与冲量

1. 动量：\(\boldsymbol{p=mv}\)，矢量，方向与瞬时速度一致，单位\(\mathrm{kg\cdot m/s}\)；动量变化\(\Delta p=mv_2-mv_1\)。

2. 恒力冲量：\(\boldsymbol{I=Ft}\)，矢量，方向与恒力同向，单位\(\mathrm{N\cdot s}\)；变力冲量只能由动量定理间接求解。

（二）动量定理（单个物体）

内容：合外力的冲量等于物体动量的变化量

公式：\(\boldsymbol{I_合=\Delta p=mv_2-mv_1}\)

使用要点：

① 式中全部矢量统一正方向，与正方向相反的物理量代入负值；

② 全过程分段均可使用，不用分析中间复杂受力，优先处理冲击、碰撞问题；

③ 重力、弹力、摩擦力等全部外力的总冲量。

（三）动量守恒定律（系统）

1. 守恒条件：

① 系统合外力=0（严格守恒）；

② 某一方向合外力为0，该方向分动量守恒；

③ 碰撞/爆炸瞬间，内力≫外力，外力冲量可忽略，系统近似动量守恒。

2. 表达式：\(\boldsymbol{m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'}\)（作用前后总动量相等）

3. 三类模型：弹性碰撞（动量+动能双守恒）、完全非弹性碰撞（碰后共速，动能损失最大）、爆炸（内力爆发，动量守恒，化学能转化机械能）。

例1：\(m=2\mathrm{kg}\)物体\(v=3\mathrm{m/s}\)向右，求动量大小。

\(p=mv=2×3=6\mathrm{kg\cdot m/s}\)，方向水平向右。

例2：同上物体速度反向变为\(v'=-3\mathrm{m/s}\)（向右为正），求动量变化。

\(\Delta p=mv'-mv=2×(-3)-6=-12\mathrm{kg\cdot m/s}\)，变化量大小\(12\mathrm{kg\cdot m/s}\)。

例3：水平恒力\(F=10\mathrm N\)作用物体\(t=4\mathrm s\)，求冲量。

\(I=Ft=10×4=40\mathrm{N\cdot s}\)。

例4：\(m=1\mathrm{kg}\)小球从\(h=5\mathrm m\)自由下落落地瞬间速度\(v=10\mathrm{m/s}\)，取向下为正，求落地动量。

\(p=1×10=10\mathrm{kg\cdot m/s}\)。

例5：物体初动量\(p_1=15\mathrm{kg\cdot m/s}\)，末动量\(p_2=-5\mathrm{kg\cdot m/s}\)，求动量变化。

\(\Delta p=p_2-p_1=-20\mathrm{kg\cdot m/s}\)。

例6：\(m=2\mathrm{kg}\)物体初速度\(v_1=2\mathrm{m/s}\)，受恒力后末速度\(v_2=5\mathrm{m/s}\)，求合外力冲量。

\(I=\Delta p=2×5-2×2=6\mathrm{N\cdot s}\)。

例7：\(m=0.5\mathrm{kg}\)皮球以\(v_1=6\mathrm{m/s}\)撞墙，反弹速度\(v_2=-4\mathrm{m/s}\)（入射为正），墙对球冲量。

\(I=m(v_2-v_1)=0.5×(-4-6)=-5\mathrm{N\cdot s}\)，冲量大小\(5\mathrm{N\cdot s}\)。

例8：\(m=1\mathrm{kg}\)物体静止，\(F=5\mathrm N\)水平恒力作用\(t=2\mathrm s\)，用动量定理求末速度。

\(Ft=mv-0 \Rightarrow v=\dfrac{Ft}{m}=10\mathrm{m/s}\)。

例9：小球\(m=0.2\mathrm{kg}\)从高处下落，落地前速度\(10\mathrm{m/s}\)，地面作用\(0.1\mathrm s\)后以\(5\mathrm{m/s}\)反弹，向上为正，求地面平均作用力（不计重力短时冲量）。

\(Ft=mv'-m(-v)，F×0.1=0.2×5+0.2×10，F=30\mathrm N\)。

例10：竖直上抛\(m=0.1\mathrm{kg}\)，从抛出到落回抛出点用时\(t=2\mathrm s\)，重力为合外力，用动量定理求初速度。

取向上为正，落回速度\(-v_0\)，\(-mgt=-mv_0-mv_0\)，\(v_0=10\mathrm{m/s}\)。

例11：流水冲击墙面，每秒\(\Delta m=2\mathrm{kg}\)水以\(v=8\mathrm{m/s}\)撞墙后速度为0，求墙受到平均冲击力。

对\(\Delta m\)：\(-F·\Delta t=0-\Delta m·v，F=\dfrac{\Delta m}{\Delta t}·v=16\mathrm N\)。

例12：\(m_1=2\mathrm{kg},v_1=5\mathrm{m/s}\)，\(m_2=3\mathrm{kg}\)静止，水平面光滑，碰后粘在一起，求共同速度。

\(m_1v_1=(m_1+m_2)v_共\)，\(v=\dfrac{10}{5}=2\mathrm{m/s}\)。

例13：\(m_1=1\mathrm{kg}\)以\(4\mathrm{m/s}\)向右，\(m_2=2\mathrm{kg}\)以\(1\mathrm{m/s}\)向左，光滑水平面，碰后共速，向右为正，求\(v\)。

\(1×4-2×1=(1+2)v，v=\dfrac23\mathrm{m/s}\)，方向向右。

例14：静止小船\(M=20\mathrm{kg}\)，人\(m=50\mathrm{kg}\)，人相对船以\(v=2.8\mathrm{m/s}\)水平走动，水阻力不计，求人对地速度。

系统初动量0，\(mv_人-Mv_船=0，v_人+v_船=2.8\)，解得\(v_人=2\mathrm{m/s}\)。

例15：光滑水平面，\(m_1=3\mathrm{kg}\)速度\(6\mathrm{m/s}\)，\(m_2=1\mathrm{kg}\)静止，弹性正碰，\(v_1'=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1，v_2'=\dfrac{2m_1}{m_1+m_2}v_1\)，求碰后速度。

\(v_1'=3\mathrm{m/s}，v_2'=9\mathrm{m/s}\)。

例16：炮弹\(M=10\mathrm{kg}\)静止在空中炸裂，分成\(m_1=4\mathrm{kg}、v_1=30\mathrm{m/s}\)，\(m_2=6\mathrm{kg}\)，爆炸内力远大于重力，动量守恒，求\(v_2\)。

\(0=m_1v_1+m_2v_2，v_2=-20\mathrm{m/s}\)，反向。

例17：小车\(M=5\mathrm{kg}\)静止，上面\(m=1\mathrm{kg}\)物块以\(v=6\mathrm{m/s}\)滑上小车，车面粗糙，最终共速，求共同速度。

\(mv=(M+m)v_共，v_共=1\mathrm{m/s}\)。

例18：某系统水平方向不受外力，初始总动量\(12\mathrm{kg\cdot m/s}\)，作用后\(m_1v_1'=8\)，求另一物体动量。

\(p_2'=12-8=4\mathrm{kg\cdot m/s}\)。

例19：\(m_1=4\mathrm{kg}，v_0=5\mathrm{m/s}\)，\(m_2=6\mathrm{kg}\)静止，完全非弹性碰撞，求系统损失动能。

\(v_共=\dfrac{20}{10}=2\mathrm{m/s}\)，\(\Delta E_\mathrm{k}=\dfrac12m_1v_0^2-\dfrac12(m_1+m_2)v_共^2=40\mathrm J\)。

例20：弹性碰撞：\(m_A=2\mathrm{kg}，v_A=4\mathrm{m/s}\)，\(m_B=2\mathrm{kg}\)静止，求碰后速度。

等质量弹性碰撞速度交换：\(v_A'=0，v_B'=4\mathrm{m/s}\)。

解题总结

1. 动量定理步骤：选定正方向→写出初末动量→\(I_合=\Delta p\)，落地撞击类常忽略重力冲量；

2. 动量守恒三步：①判断系统是否满足守恒条件；②规定正方向；③列式\(p_前=p_后\)；

3. 完全非弹性：碰后共速、动能损耗最大；弹性碰撞：动量、动能双重守恒；

4. 人船、爆炸、滑块小车模型默认系统动量守恒。

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