高中物理 08 机械能守恒定律、功、功率、势能

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国物理学会 - 中国院士 - GeoGebra - 物理基础

统一取值：\(g=10\mathrm{m/s^2}\)，无说明不计空气阻力，机械能=动能+重力势能+弹性势能。

（一）功

1. 恒力做功公式：\(\boldsymbol{W=Fs\cos\alpha}\)

\(\alpha\)为力\(F\)与位移\(s\)夹角；

\(\alpha<90^\circ\)：正功；\(\alpha=90^\circ\)：不做功；\(\alpha>90^\circ\)：负功。

2. 重力做功：\(W_G=\pm mgh\)，下落\(h\)做正功，上升\(h\)做负功；

重力做功只看初末高度，与路径无关。

3. 摩擦力做功：滑动摩擦力可正功、负功、不做功；静摩擦力同样可做正/负/零功。

4. 总功算法：①各个力做功代数相加 \(W_总=W_1+W_2+\dots\)；②合外力乘以位移 \(W_总=F_合 s\cos\alpha\)。

（二）功率

1. 平均功率：\(P=\dfrac{W}{t}\)；

2. 瞬时功率：\(\boldsymbol{P=Fv\cos\alpha}\)（\(\alpha\)为力与瞬时速度夹角）；

机车启动常用：\(P=Fv\)，额定功率恒定。

机车：牵引力\(F\)、阻力\(f\)，匀速时\(F=f\)速度最大\(v_\max=\dfrac{P_额}{f}\)。

（三）势能

1. 重力势能：\(E_p=mgh\)，\(h\)相对零势能参考面；

重力做功与势能变化关系：\(\boldsymbol{W_G=-\Delta E_p=E_{p1}-E_{p2}}\)，重力做正功，重力势能减小。

2. 弹性势能：\(E_{p弹}=\dfrac12kx^2\)，\(x\)弹簧形变量；弹力做正功，弹性势能减少。

（四）动能定理（铺垫机械能守恒）

\(W_合=\Delta E_k=\dfrac12mv_2^2-\dfrac12mv_1^2\)，合外力做功=动能变化。

（五）机械能守恒定律

1. 条件：只有重力或系统内弹力做功，其他力不做功（受外力但外力不做功也满足）。

2. 表达式

①初态机械能=末态机械能：\(\boldsymbol{E_1=E_2\Rightarrow E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}}\)

②势能减少量=动能增加量：\(-\Delta E_p=\Delta E_k\)

适用：自由落体、抛体、光滑斜面、绳杆竖直圆周、弹簧系统。

例1：\(F=20\mathrm N\)水平拉力拉物体沿水平面前进\(s=5\mathrm m\)，求拉力做功。

\(\alpha=0^\circ,\cos0^\circ=1\)，\(W=Fs=20\times5=100\mathrm J\)。

例2：物体重力\(G=50\mathrm N\)，沿倾角\(37^\circ\)光滑斜面下滑位移\(s=4\mathrm m\)，求重力做功。

竖直下落高度\(h=s\sin37^\circ=4\times0.6=2.4\mathrm m\)，\(W_G=mgh=50\times2.4=120\mathrm J\)。

例3：竖直上抛小球上升高度\(h=3\mathrm m\)，\(m=2\mathrm{kg}\)，求重力做功。

重力与位移反向，\(W_G=-mgh=-2\times10\times3=-60\mathrm J\)。

例4：\(m=3\mathrm{kg}\)物体水平匀速运动，重力、支持力做功？

重力、支持力和位移夹角\(90^\circ\)，\(W_G=0、W_N=0\)。

例5：物体受\(F_1=10\mathrm N\)正功\(30\mathrm J\)、\(F_2=5\mathrm N\)负功\(10\mathrm J\)，求总功。

\(W_总=30-10=20\mathrm J\)。

例6：力做功\(W=200\mathrm J\)，用时\(t=5\mathrm s\)，求平均功率。

\(P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{200}{5}=40\mathrm W\)。

例7：\(F=30\mathrm N\)恒力，物体瞬时速度\(v=2\mathrm{m/s}\)，力与速度同向，求瞬时功率。

\(P=Fv=30\times2=60\mathrm W\)。

例8：汽车额定功率\(P=60\mathrm{kW}\)，阻力\(f=3000\mathrm N\)，匀速最大车速。

匀速\(F=f\)，\(v_\max=\dfrac{P}{f}=\dfrac{60000}{3000}=20\mathrm{m/s}\)。

例9：\(m=5\mathrm{kg}\)物体从静止自由下落\(t=2\mathrm s\)，重力瞬时功率。

\(v=gt=20\mathrm{m/s}\)，\(P=mgv=5\times10\times20=1000\mathrm W\)。

例10：物体下落\(h=20\mathrm m\)用时\(t=2\mathrm s\)，求重力平均功率。

\(W_G=mgh\)，\(m\)默认\(5\mathrm{kg}\)，\(W=1000\mathrm J\)，\(\overline P=\dfrac{1000}{2}=500\mathrm W\)。

例11：\(m=4\mathrm{kg}\)物体距地面\(h=2\mathrm m\)，取地面零势能面，求重力势能。

\(E_p=mgh=4\times10\times2=80\mathrm J\)。

例12：物体从\(h_1=5\mathrm m\)落到\(h_2=2\mathrm m\)，重力势能变化量。

\(\Delta E_p=mg(h_2-h_1)=4\times10\times(2-5)=-120\mathrm J\)，势能减少120J。

例13：弹簧劲度系数\(k=200\mathrm{N/m}\)，压缩形变量\(x=0.1\mathrm m\)，求弹性势能。

\(E_p=\dfrac12kx^2=\dfrac12\times200\times0.01=1\mathrm J\)。

例14：\(m=2\mathrm{kg}\)物体初速度\(v_1=2\mathrm{m/s}\)，末速度\(v_2=4\mathrm{m/s}\)，合外力做功。

\(W=\dfrac12m{v_2}^2-\dfrac12m{v_1}^2=\dfrac12\times2\times(16-4)=12\mathrm J\)。

例15：\(m=1\mathrm{kg}\)物体受合外力做功\(-50\mathrm J\)，初动能\(30\mathrm J\)，求末动能。

\(W=E_{k2}-E_{k1}\Rightarrow E_{k2}=30-50=-20\mathrm J\)（无物理意义，题目仅公式练习）。

例16：物体沿粗糙水平面滑行，摩擦力\(f=10\mathrm N\)位移\(s=3\mathrm m\)，初速度\(4\mathrm{m/s}\)，\(m=2\mathrm{kg}\)，由动能定理求末速度。

\(-fs=\dfrac12mv^2-\dfrac12mv_0^2\)，\(-30=\dfrac12\times2(v^2-16)\)，\(v=\sqrt{-14}\)（减速到停下，实际提前静止，计算练公式）。

例17：\(m=1\mathrm{kg}\)小球从\(h=5\mathrm m\)高处静止自由下落，落地速度，地面为零势能面。

\(E_{p1}+E_{k1}=E_{p2}+E_{k2},mgh=\dfrac12mv^2\)，\(v=\sqrt{2gh}=\sqrt{100}=10\mathrm{m/s}\)。

例18：光滑斜面高\(h=1.8\mathrm m\)，\(m=2\mathrm{kg}\)物体顶端静止下滑，求底端速度。

只有重力做功机械能守恒：\(mgh=\dfrac12mv^2\)，\(v=\sqrt{2\times10\times1.8}=6\mathrm{m/s}\)。

例19：竖直上抛\(v_0=20\mathrm{m/s}\)，\(m=0.5\mathrm{kg}\)，求上升最大高度。

动能全部转化重力势能：\(\dfrac12mv_0^2=mgh\)，\(h=\dfrac{v_0^2}{2g}=\dfrac{400}{20}=20\mathrm m\)。

例20：绳长\(L=0.8\mathrm m\)小球水平拉至与悬点等高静止释放，下摆到最低点速度。

下落高度\(L\)，\(mgL=\dfrac12mv^2\)，\(v=\sqrt{2gL}=\sqrt{16}=4\mathrm{m/s}\)。

解题总结

1. 求功先判断力和位移夹角；求功率分清平均/瞬时，瞬时必用\(P=Fv\)；

2. 重力势能变化永远与重力做功符号相反；

3. 机械能守恒先判条件：只有重力、弹簧弹力做功，优先选地面或最低点为零势能面简化计算；

4. 无法判断守恒立刻改用动能定理。

物理基础