高中物理 10 静电场中的能量、电势、电容

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默认条件：无特殊说明，真空，不计电荷重力；\(e=1.6×10^{-19}\mathrm{C}\)。

电势与电势能

1）电势\(\boldsymbol{\varphi}\)

定义式：\(\boldsymbol{\varphi=\dfrac{E_p}{q}}\)，单位\(\mathrm V\)；人为选定零电势点（常取无穷远/接地处\(\varphi=0\)），电势由场源电场决定，与试探电荷无关。

正电荷周围电势为正，负电荷周围电势为负；沿电场线方向电势逐渐降低（必考结论）。

2）电势能\(E_p\)：电荷在电场中具有的势能，\(\boldsymbol{E_p=q\varphi}\)

\(q\)正，\(\varphi>0\)则\(E_p>0\)；\(q\)负，\(\varphi>0\)则\(E_p<0\)；

电场力做功与电势能变化：\(\boldsymbol{W_{AB}=E_{pA}-E_{pB}=-\Delta E_p}\)

电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加。

电势差\(U_{AB}\)

\(U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B\)，A到B电势差；

匀强电场电势差与场强：\(\boldsymbol{U=Ed}\)，\(d\)为沿电场线方向两点间距，非垂直距离。

电场力做功推论：\(\boldsymbol{W_{AB}=qU_{AB}}\)（全章万能公式，非匀强电场同样适用）。

电容器与电容

1）电容定义：\(\boldsymbol{C=\dfrac Q U}\)，\(Q\)极板带电量，\(U\)两极电势差，单位法拉\(\mathrm F\)，常用\(\mu\mathrm F、\mathrm{pF}\)；

\(C\)是电容器本身属性，和\(Q、U\)无关。

2）平行板电容器决定式：\(\boldsymbol{C=\dfrac{\varepsilon_r S}{4\pi k d}}\)

\(\varepsilon_r\)介电常数，\(S\)极板正对面积，\(d\)板间距。

3）两类动态变化：

① 电容器始终接电源：\(U\)不变；

② 电容器充电后断开电源：\(Q\)不变。

例1：某点电势\(\varphi=20\mathrm V\)，放入\(q=+2×10^{-6}\mathrm C\)电荷，求电势能。

\(E_p=q\varphi=2×10^{-6}×20=4×10^{-5}\mathrm J\)。

例2：同一点\(\varphi=20\mathrm V\)，\(q=-3×10^{-6}\mathrm C\)，求电势能。

\(E_p=-3×10^{-6}×20=-6×10^{-5}\mathrm J\)。

例3：电荷\(q=5×10^{-7}\mathrm C\)在A点\(E_{pA}=1×10^{-5}\mathrm J\)，求A点电势。

\(\varphi_A=\dfrac{E_{pA}}{q}=\dfrac{1×10^{-5}}{5×10^{-7}}=20\mathrm V\)。

例4：电场中B点\(\varphi_B=-10\mathrm V\)，\(q=-2×10^{-6}\mathrm C\)从无穷远（\(\varphi_\infty=0\)）移到B，求电势能变化。

\(E_{pB}=q\varphi_B=(-2×10^{-6})×(-10)=2×10^{-5}\mathrm J\)，\(E_{p\infty}=0\)，电势能增加\(2×10^{-5}\mathrm J\)。

例5：沿电场线由M到N，判断\(\varphi_M、\varphi_N\)大小。

沿电场线电势降低：\(\varphi_M>\varphi_N\)。

例6：负点电荷附近两点C、D，C离电荷更近，比较\(\varphi_C、\varphi_D\)。

负电荷周围全为负电势，越近电势越低：\(\varphi_C<\varphi_D<0\)。

例7：\(\varphi_A=15\mathrm V，\varphi_B=5\mathrm V\)，求\(U_{AB}\)与\(U_{BA}\)。

\(U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B=10\mathrm V\)；\(U_{BA}=\varphi_B-\varphi_A=-10\mathrm V\)。

例8：\(U_{AB}=20\mathrm V\)，\(q=+4×10^{-6}\mathrm C\)从A移到B，电场力做功。

\(W_{AB}=qU_{AB}=4×10^{-6}×20=8×10^{-5}\mathrm J\)（正功，电势能减少）。

例9：\(U_{AB}=-15\mathrm V\)，\(q=-2×10^{-6}\mathrm C\)由A→B，求电场力做功。

\(W=qU_{AB}=(-2×10^{-6})×(-15)=3×10^{-5}\mathrm J\)。

例10：\(q=+1×10^{-5}\mathrm C\)从A到B电场力做功\(W=-2×10^{-4}\mathrm J\)，求\(U_{AB}\)。

\(U_{AB}=\dfrac{W_{AB}}{q}=\dfrac{-2×10^{-4}}{1×10^{-5}}=-20\mathrm V\)。

例11：正电荷从高电势移向低电势，电场力做功正负？

\(U>0，q>0，W=qU>0\)，电场力做正功。

例12：负电荷从低电势移到高电势，电场力做功正负？

\(U=\varphi_\text{高}-\varphi_\text{低}>0，q<0，W<0\)，电场力负功。

例13：\(q=-5×10^{-6}\mathrm C\)，\(U_{MN}=30\mathrm V\)，电荷M→N，电势能变化量。

\(W=qU_{MN}=-1.5×10^{-4}\mathrm J\)，\(W=-\Delta E_p \Rightarrow \Delta E_p=1.5×10^{-4}\mathrm J\)，电势能增加。

例14：匀强电场\(E=200\mathrm{N/C}\)，沿电场线方向两点间距\(d=0.05\mathrm m\)，求电势差。

\(U=Ed=200×0.05=10\mathrm V\)。

例15：两点间距\(0.1\mathrm m\)，连线垂直电场线，电势差？

垂直电场线\(d=0\)，\(U=0\)（等势面）。

例16：匀强电场\(U_{AB}=24\mathrm V\)，AB沿电场线距离\(d=0.12\mathrm m\)，求场强。

\(E=\dfrac U d=\dfrac{24}{0.12}=200\mathrm{N/C}\)。

第四组：电容器电容计算+动态分析（例17：~例20：）

例17：电容器带电量\(Q=4×10^{-4}\mathrm C\)，两极电压\(U=200\mathrm V\)，求电容。

\(C=\dfrac Q U=\dfrac{4×10^{-4}}{200}=2×10^{-6}\mathrm F=2\mu\mathrm F\)。

例18：电容\(C=5\mu\mathrm F\)，充电后\(U=100\mathrm V\)，求极板电荷量。

\(Q=CU=5×10^{-6}×100=5×10^{-4}\mathrm C\)。

例19：平行板电容器保持和电源相连（\(U\)不变），增大极板间距\(d\)，分析\(C、Q\)变化。

由\(C\propto \dfrac1d\)，\(d↑→C↓\)；\(Q=CU，U\)不变，\(Q↓\)。

例20：电容器充电后断开电源（\(Q\)不变），减小正对面积\(S\)，\(C、U\)变化。

\(C\propto S\)，\(S↓→C↓\)；\(U=\dfrac Q C，Q\)不变，\(C↓→U↑\)。

解题总结

1. 电势高低：沿电场线电势一定降低；电势、电势能正负要看零势能面；

2. 做功万能式\(W_{AB}=qU_{AB}\)，优先用此式，正负直接代入符号运算；

3. \(U=Ed\)仅限匀强电场，\(d\)必须是沿电场线投影距离；

4. 电容\(C=\dfrac QU\)为定义式，\(C\)不由\(Q、U\)决定；动态问题先分清：接电源U不变，断电Q不变。

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