高中物理 02 匀变速直线运动、自由落体运动

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一、匀变速直线运动——速度均匀变化的直线运动

匀变速直线运动是高中物理最基础、最重要的运动模型之一，其核心特征是“加速度恒定（大小、方向均不变）”，所有公式均围绕“速度与时间的关系”“位移与时间的关系”“速度与位移的关系”推导，是解决复杂运动问题的基础。

（1）匀变速直线运动的定义与分类

定义：物体在一条直线上运动，且加速度大小和方向都不变的运动，称为匀变速直线运动。

分类：根据加速度与速度方向的关系，分为两类：

1. 匀加速直线运动：加速度方向与速度方向相同，速度随时间均匀增大（如汽车从静止开始加速、自由落体运动）；

2. 匀减速直线运动：加速度方向与速度方向相反，速度随时间均匀减小（如汽车刹车、上抛运动上升过程）。

（注：匀减速直线运动若持续，速度会先减到零，再反向做匀加速直线运动，全程仍为匀变速直线运动，因加速度始终不变）。

（2）匀变速直线运动的核心公式（5个基本公式）

所有公式均以“初速度\(v_0\)为正方向”为前提，若加速度、速度与正方向相反，需代入负值计算（矢量性的体现）。

设初速度为\(v_0\)，末速度为\(v_t\)，加速度为\(a\)，运动时间为\(t\)，位移为\(x\)，则：

1. 速度-时间公式（无位移，求速度或时间）：\(v_t = v_0 + at\)

物理意义：直接体现“速度随时间均匀变化”，加速度\(a\)是速度的变化率，每经过1s，速度变化\(a\)的大小。

例：初速度\(v_0=2m/s\)，加速度\(a=3m/s²\)，则3s末速度\(v_t=2+3×3=11m/s\)。

2. 位移-时间公式（无末速度，求位移或时间）：\(x = v_0t + \frac{1}{2}at²\)

物理意义：位移由两部分组成——\(v_0t\)（若匀速运动的位移）和\(\frac{1}{2}at²\)（因加速额外增加的位移）。

例：初速度\(v_0=0\)（从静止开始），加速度\(a=2m/s²\)，则2s内位移\(x=0×2 + \frac{1}{2}×2×2²=4m\)。

3. 位移-速度公式（无时间，求位移或速度）：\(v_t² - v_0² = 2ax\)

物理意义：直接关联速度与位移，无需计算时间，常用于“刹车问题”“往返运动”等无法直接求时间的场景。

例：初速度\(v_0=10m/s\)，加速度\(a=-2m/s²\)（减速），则速度减到6m/s时的位移\(x=\frac{6² - 10²}{2×(-2)}=\frac{36-100}{-4}=16m\)。

4. 平均速度公式（求平均速度或位移）：\(\bar{v} = \frac{v_0 + v_t}{2}\)

物理意义：仅适用于匀变速直线运动（非匀变速不成立），因速度均匀变化，平均速度等于“初末速度的算术平均值”。

结合位移公式\(x = \bar{v}t\)，可推导\(x = \frac{v_0 + v_t}{2}t\)，常用于快速计算位移（如已知初末速度和时间）。

5. 中间时刻速度公式（求某段时间中间时刻的瞬时速度）：\(v_{\frac{t}{2}} = \frac{v_0 + v_t}{2} = \bar{v}\)

物理意义：匀变速直线运动中，某段时间中间时刻的瞬时速度，等于这段时间的平均速度，也等于初末速度的平均值（此公式是匀变速运动的重要推论，常用于实验题“验证匀变速直线运动”）。

（3）匀变速直线运动的重要推论（3个常用推论）

1. 连续相等时间内的位移差恒定：在连续相等的时间间隔\(T\)内，位移差\(\Delta x = aT²\)（\(a\)为加速度）。

例：若每1s内的位移分别为\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)，则\(x_2 - x_1 = a×1²\)，\(x_3 - x_2 = a×1²\)，即\(x_3 - x_1 = 2a\)，可用于求加速度。

2. 连续相等位移内的时间比：从静止开始的匀加速直线运动，通过连续相等位移\(x\)的时间比为\(t_1:t_2:t_3:…:t_n = 1:(\sqrt{2}-1):(\sqrt{3}-\sqrt{2}):…:(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\)。

例：通过第1个\(x\)用时\(t_1\)，第2个\(x\)用时\(t_2\)，则\(t_1:t_2=1:(\sqrt{2}-1)\)（约1:0.414）。

3. 速度与位移的倍数关系：从静止开始的匀加速直线运动，通过前\(x\)、前\(2x\)、前\(3x\)…前\(nx\)的速度比为\(v_1:v_2:v_3:…:v_n = 1:\sqrt{2}:\sqrt{3}:…:\sqrt{n}\)。

例：通过前\(x\)的速度为\(v\)，则通过前\(4x\)的速度为\(2v\)（因\(\sqrt{4}=2\)）。

（4）刹车问题——匀减速直线运动的特殊场景

刹车问题的核心是“速度减到零后，物体不再运动（加速度变为零）”，需先判断“刹车总时间”，再判断所求时间是否超过总时间（避免代入时间过长导致位移计算错误）：

1. 求刹车总时间\(t_停\)：当\(v_t=0\)时，由\(v_t = v_0 + at\)得\(t_停 = -\frac{v_0}{a}\)（\(a\)为负值，因刹车是减速）；

2. 若所求时间\(t ≤ t_停\)：直接用匀变速公式计算；

3. 若所求时间\(t > t_停\)：物体已停止，位移等于“刹车总位移”（用\(x = \frac{v_0²}{2|a|}\)计算，因\(v_t=0\)，代入\(v_t² - v_0²=2ax\)）。

二、自由落体运动——初速度为零的匀加速直线运动

自由落体运动是“只受重力、初速度为零”的匀加速直线运动，是匀变速直线运动的典型实例，所有公式均可由匀变速公式推导（只需将初速度\(v_0=0\)、加速度\(a=g\)代入）。

（1）自由落体运动的定义与条件

定义：物体只在重力作用下，从静止开始下落的运动，称为自由落体运动（理想化模型）。

实际条件：若空气阻力远小于重力（如石块、金属球下落），可近似视为自由落体运动；若空气阻力不可忽略（如羽毛、纸片下落），则不是自由落体运动。

（2）自由落体运动的核心物理量——重力加速度\(g\)

定义：自由落体运动的加速度称为重力加速度，用\(g\)表示，方向竖直向下（与重力方向一致）。

大小：在地球表面，\(g\)的大小随纬度升高而略有增大（赤道\(g≈9.78m/s²\)，两极\(g≈9.83m/s²\)），通常取\(g=9.8m/s²\)或\(g=10m/s²\)（题目未说明时，优先用\(9.8m/s²\)）。

矢量性：计算时通常以“向下为正方向”（因初速度为零，速度、位移均向下，无需代入负值，简化计算）。

（3）自由落体运动的公式（由匀变速公式推导）

因\(v_0=0\)、\(a=g\)，代入匀变速公式得：

1. 速度-时间公式：\(v_t = gt\)

2. 位移-时间公式：\(h = \frac{1}{2}gt²\)（\(h\)为下落高度，对应匀变速中的\(x\)）

3. 位移-速度公式：\(v_t² = 2gh\)

4. 平均速度公式：\(\bar{v} = \frac{v_t}{2}\)（因\(v_0=0\)）

（4）竖直上抛运动——自由落体运动的逆过程

竖直上抛运动是“初速度竖直向上、只受重力”的匀变速直线运动，可分为“上升过程”和“下落过程”：

上升过程：匀减速直线运动，加速度\(a=-g\)（向上为正方向），速度从\(v_0\)减到0，上升时间\(t_上 = \frac{v_0}{g}\)，上升最大高度\(H = \frac{v_0²}{2g}\)；

下落过程：自由落体运动，从最高点开始，初速度为0，加速度\(a=g\)，下落时间\(t_下 = t_上 = \frac{v_0}{g}\)，落地速度大小\(v = v_0\)（方向向下）；

全程特征：加速度始终为\(g\)（竖直向下），是匀变速直线运动，可直接用匀变速公式计算（无需分段，注意速度、位移的正负：向上为正，向下为负）。

例题1：匀加速直线运动的速度计算 题目：一汽车以初速度\(v_0=5m/s\)做匀加速直线运动，加速度\(a=2m/s²\)，求：（1）3s末的速度；（2）速度达到15m/s时所用的时间。

解析：（1）用速度-时间公式\(v_t = v_0 + at\)，代入\(v_0=5m/s\)、\(a=2m/s²\)、\(t=3s\)，得\(v_t=5+2×3=11m/s\)；（2）由\(v_t = v_0 + at\)变形得\(t = \frac{v_t - v_0}{a}\)，代入\(v_t=15m/s\)，得\(t = \frac{15-5}{2}=5s\)。

答案：（1）11m/s；（2）5s。

例题2：匀减速直线运动的位移计算 题目：一物体以初速度\(v_0=20m/s\)做匀减速直线运动，加速度\(a=-4m/s²\)（负号表示与速度方向相反），求：（1）4s内的位移；（2）6s内的位移。

解析：先判断刹车总时间：由\(v_t=0\)得\(t_停 = \frac{0 - v_0}{a} = \frac{0-20}{-4}=5s\)（即5s后物体停止）。（1）4s＜5s，直接用位移-时间公式\(x = v_0t + \frac{1}{2}at²\)，代入得\(x=20×4 + \frac{1}{2}×(-4)×4²=80 - 32=48m\)；（2）6s＞5s，物体5s已停止，位移等于5s内的位移，用\(x = \frac{v_0²}{2|a|} = \frac{20²}{2×4}=50m\)（或代入\(t=5s\)到位移公式，结果一致）。

答案：（1）48m；（2）50m。

例题3：自由落体运动的高度计算 题目：一个苹果从树上自由下落，落地时速度为\(v=19.6m/s\)，求苹果下落的高度（\(g=9.8m/s²\)）。

解析：自由落体运动中，\(v_0=0\)，用位移-速度公式\(v²=2gh\)，变形得\(h = \frac{v²}{2g}\)，代入\(v=19.6m/s\)、\(g=9.8m/s²\)，得\(h = \frac{19.6²}{2×9.8}=19.6m\)。

答案：19.6m。

例题4：匀变速直线运动的平均速度应用 题目：一物体做匀加速直线运动，初速度\(v_0=3m/s\)，末速度\(v_t=7m/s\)，运动时间\(t=5s\)，求物体的位移。

解析：匀变速直线运动的平均速度\(\bar{v} = \frac{v_0 + v_t}{2} = \frac{3+7}{2}=5m/s\)，位移\(x = \bar{v}t=5×5=25m\)（也可用位移-时间公式计算，结果一致，但平均速度更简便）。

答案：25m。

例题5：竖直上抛运动的最大高度计算 题目：将一小球以初速度\(v_0=15m/s\)竖直上抛，求小球上升的最大高度（\(g=10m/s²\)）。

解析：上升到最大高度时，末速度\(v_t=0\)，加速度\(a=-g=-10m/s²\)，用位移-速度公式\(v_t² - v_0²=2ah\)，变形得\(h = \frac{0 - v_0²}{2(-g)} = \frac{v_0²}{2g}\)，代入得\(h = \frac{15²}{2×10}=11.25m\)。

答案：11.25m。

例题6：连续相等时间内的位移差推论应用 题目：一物体做匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔\(T=2s\)内，位移分别为\(x_1=4m\)、\(x_2=8m\)，求物体的加速度。

解析：由连续相等时间内的位移差推论\(\Delta x = aT²\)，得\(a = \frac{\Delta x}{T²} = \frac{x_2 - x_1}{T²}\)，代入\(x_2 - x_1=4m\)、\(T=2s\)，得\(a = \frac{4}{2²}=1m/s²\)。

答案：1m/s²。

例题7：自由落体运动的时间计算 题目：一石块从某高楼顶端自由下落，经\(t=3s\)落地，求高楼的高度（\(g=9.8m/s²\)）。

解析：自由落体运动中，\(v_0=0\)，用位移-时间公式\(h = \frac{1}{2}gt²\)，代入\(t=3s\)、\(g=9.8m/s²\)，得\(h = \frac{1}{2}×9.8×3²=44.1m\)。

答案：44.1m。

例题8：匀变速直线运动的速度-位移公式应用 题目：一汽车以\(v_0=10m/s\)的速度行驶，刹车后做匀减速直线运动，加速度\(a=-2m/s²\)，求刹车后前进16m时的速度。

解析：用速度-位移公式\(v_t² - v_0²=2ax\)，变形得\(v_t = \sqrt{v_0² + 2ax}\)（因速度方向与初速度一致，取正根），代入\(v_0=10m/s\)、\(a=-2m/s²\)、\(x=16m\)，得\(v_t = \sqrt{10² + 2×(-2)×16} = \sqrt{100 - 64}=6m/s\)。

答案：6m/s。

例题9：竖直上抛运动的全程时间计算 题目：将一小球以\(v_0=20m/s\)竖直上抛，求小球从抛出到落回抛出点的总时间（\(g=10m/s²\)）。

解析：全程位移\(h=0\)（落回抛出点），用位移-时间公式\(h = v_0t - \frac{1}{2}gt²\)（向上为正，\(a=-g\)），代入\(h=0\)得\(0=20t - 5t²\)，解得\(t=0\)（抛出时刻）或\(t=4s\)（落回时刻）；也可分段计算：上升时间\(t_上=\frac{v_0}{g}=2s\)，下落时间\(t_下=t_上=2s\)，总时间\(t=4s\)。

答案：4s。

例题10：匀加速直线运动的中间时刻速度 题目：一物体做匀加速直线运动，前4s内的位移为24m，求物体在第2s末的瞬时速度。

解析：前4s的平均速度\(\bar{v} = \frac{x}{t} = \frac{24}{4}=6m/s\)；匀变速直线运动中，中间时刻（第2s末）的瞬时速度等于这段时间的平均速度，因此\(v_{2s}=6m/s\)。

答案：6m/s。

例题11：刹车问题的安全距离计算 题目：汽车在平直公路上以\(v_0=30m/s\)的速度行驶，司机发现前方有障碍物，刹车反应时间为\(t_反=0.5s\)（反应时间内汽车匀速），刹车后做匀减速直线运动，加速度\(a=-6m/s²\)，求汽车从发现障碍物到停止的总距离（安全距离）。

解析：总距离=反应距离+刹车距离。（1）反应距离：匀速运动，\(x_1 = v_0t_反=30×0.5=15m\)；（2）刹车距离：匀减速到0，用\(x_2 = \frac{v_0²}{2|a|} = \frac{30²}{2×6}=75m\)；总距离\(x=x_1+x_2=15+75=90m\)。

答案：90m。

例题12：自由落体运动的速度与时间关系 题目：一物体从高处自由下落，求：（1）第2s末的速度；（2）前2s内的平均速度（\(g=10m/s²\)）。

解析：（1）用\(v_t=gt\)，代入\(t=2s\)得\(v_2=10×2=20m/s\)；（2）前2s的平均速度\(\bar{v} = \frac{v_0 + v_2}{2} = \frac{0+20}{2}=10m/s\)（或用\(h=\frac{1}{2}gt²=20m\)，\(\bar{v}=\frac{h}{t}=10m/s\)）。

答案：（1）20m/s；（2）10m/s。

例题13：匀变速直线运动的位移差推论拓展 题目：一物体做匀加速直线运动，在第1s内的位移为2m，第3s内的位移为6m，求物体的加速度和初速度。

解析：第1s内、第2s内、第3s内的时间间隔均为\(T=1s\)，由\(\Delta x=aT²\)得：第3s内位移\(x_3 = x_1 + 2aT²\)（因\(x_2=x_1+aT²\)，\(x_3=x_2+aT²=x_1+2aT²\)），代入\(x_1=2m\)、\(x_3=6m\)、\(T=1s\)，得\(6=2+2a×1\)，解得\(a=2m/s²\)；再用第1s内的位移公式\(x_1 = v_0T + \frac{1}{2}aT²\)，代入得\(2 = v_0×1 + \frac{1}{2}×2×1²\)，解得\(v_0=1m/s\)。

答案：加速度2m/s²，初速度1m/s。

例题14：竖直上抛运动的落地速度计算 题目：将一小球从地面以\(v_0=15m/s\)竖直上抛，落回地面时的速度大小为多少？（\(g=10m/s²\)，不计空气阻力）

解析：全程位移\(h=0\)，用\(v_t² - v_0²=2gh\)得\(v_t²=v_0²\)，因此\(v_t=-15m/s\)（负号表示方向向下），速度大小为15m/s；也可由对称性分析：上升和下落过程对称，落地速度大小等于初速度大小。

答案：15m/s。

例题15：匀减速直线运动的时间判断 题目：一物体以\(v_0=8m/s\)做匀减速直线运动，加速度\(a=-2m/s²\)，求物体在第5s内的位移（第4s末到第5s末的位移）。

解析：先求刹车总时间\(t_停 = \frac{0 - 8}{-2}=4s\)（4s末物体已停止），因此第5s内物体静止，位移为0。

答案：0m。

例题16：自由落体运动的多物体对比 题目：同时从同一高度释放两个物体A和B，A是铁球，B是纸片，不计空气阻力时，哪个先落地？若考虑空气阻力，哪个先落地？

解析：不计空气阻力时，A和B均做自由落体运动，下落高度相同，由\(h=\frac{1}{2}gt²\)得\(t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\)，时间相同，同时落地；考虑空气阻力时，纸片的空气阻力与重力比值较大，加速度小于\(g\)，而铁球加速度接近\(g\)，因此铁球先落地。

答案：不计空气阻力时同时落地；考虑空气阻力时铁球先落地。

例题17：匀变速直线运动的综合计算 题目：一物体从静止开始做匀加速直线运动，第3s内的位移为10m，求：（1）物体的加速度；（2）前5s内的总位移。

解析：（1）第3s内的位移=前3s位移-前2s位移，由\(x = \frac{1}{2}at²\)得\(x_3' = \frac{1}{2}a×3² - \frac{1}{2}a×2² = \frac{9a}{2} - 2a = \frac{5a}{2}\)，代入\(x_3'=10m\)，解得\(a=4m/s²\)；（2）前5s位移\(x_5 = \frac{1}{2}×4×5²=50m\)。

答案：（1）4m/s²；（2）50m。

例题18：竖直上抛运动的分段位移计算 题目：将小球以\(v_0=20m/s\)竖直上抛，求：（1）上升到15m高度时的速度；（2）下落回15m高度时的速度（\(g=10m/s²\)）。

解析：（1）上升到15m时，\(v_t² - v_0²=2(-g)h\)，代入得\(v_t²=20² - 2×10×15=400-300=100\)，\(v_t=10m/s\)（向上，取正）；（2）下落回15m时，位移仍为15m，同理\(v_t²=20² - 2×10×15=100\)，\(v_t=-10m/s\)（向下，取负），速度大小为10m/s。

答案：（1）10m/s（向上）；（2）10m/s（向下）。

例题19：匀变速直线运动的速度图像应用（间接考查公式） 题目：一物体的速度-时间图像（v-t图）是一条倾斜直线，初速度对应t=0时的v=2m/s，t=3s时v=8m/s，求物体在0~3s内的位移。

解析：v-t图的斜率为加速度\(a = \frac{8-2}{3}=2m/s²\)，位移为图线与时间轴围成的面积，即梯形面积\(x = \frac{(2+8)×3}{2}=15m\)（也可用位移公式计算，结果一致）。

答案：15m。

例题20：自由落体运动的相遇问题 题目：从高楼顶端每隔1s释放一个小球，第一个小球释放后经4s落地，求第一个小球落地时，第二个小球和第三个小球之间的距离（\(g=10m/s²\)）。

解析：第一个小球落地时，释放时间\(t_1=4s\)，则第二个小球释放时间\(t_2=4-1=3s\)，第三个小球释放时间\(t_3=4-2=2s\)；第二个小球下落高度\(h_2 = \frac{1}{2}gt_2² = \frac{1}{2}×10×3²=45m\)；第三个小球下落高度\(h_3 = \frac{1}{2}×10×2²=20m\)；距离\(\Delta h = h_2 - h_3=25m\)。

答案：25m。

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