三角函数二级结论

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1. 齐次式：若已知\(\tan\alpha = k\)，则：

一次齐次式：\(\frac{a\sin\alpha + b\cos\alpha}{c\sin\alpha + d\cos\alpha} = \frac{ak + b}{ck + d}\)（\(c,k\)不同时为0）；

二次齐次式：\(\frac{a\sin^2\alpha + b\sin\alpha\cos\alpha + c\cos^2\alpha}{d\sin^2\alpha + e\cos^2\alpha} = \frac{ak^2 + bk + c}{dk^2 + e}\)（\(d,e\)不同时为0）；

特殊二次齐次式：\(\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha - 2\cos^2\alpha = \frac{k^2 - k - 2}{k^2 + 1}\)（分子分母同除以\(\cos^2\alpha\)后结合\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)）。

2. \(\sin\alpha + \cos\alpha\)、\(\sin\alpha - \cos\alpha\)、\(\sin\alpha\cos\alpha\)三角关系：

设\(m = \sin\alpha + \cos\alpha\)，\(n = \sin\alpha - \cos\alpha\)，则\(m^2 + n^2 = 2\)，\(m^2 - n^2 = 4\sin\alpha\cos\alpha\)；

取值范围：\(m \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\)，\(n \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\)。

3. 倒数关系：

若\(\tan\alpha = k\)，则\(\cot\alpha = \frac{1}{k}\)，且\(\sin\alpha = \pm\frac{k}{\sqrt{1 + k^2}}\)，\(\cos\alpha = \pm\frac{1}{\sqrt{1 + k^2}}\)（符号由\(\alpha\)所在象限确定）。

4. 多角和差诱导：

\(\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha\)，\(\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha\)；

\(\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos\alpha\)，\(\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin\alpha\)；

\(\tan(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\cot\alpha\)，\(\tan(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cot\alpha\)。

5. 周期诱导：

\(\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin\alpha\)，\(\cos(\alpha + 2k\pi) = \cos\alpha\)，\(\tan(\alpha + k\pi) = \tan\alpha\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）；

\(\sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha\)，\(\cos(\alpha + \pi) = -\cos\alpha\)，\(\cot(\alpha + \pi) = \cot\alpha\)。

6. 对称点诱导关系：

关于直线\(x = \frac{\pi}{2}\)对称：\(\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha\)，\(\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha\)；

关于点\((\frac{\pi}{2}, 0)\)对称：\(\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha\)，\(\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha\)（与\(y\)轴对称结论一致，本质是对称性质的等价表达）。

7. 两角和差公式特殊形式：

\(\sin(A + B)\sin(A - B) = \sin^2A - \sin^2B\)；

\(\cos(A + B)\cos(A - B) = \cos^2A - \sin^2B\)；

\(\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}\)（反向应用可快速化简含正切差的表达式）。

8. 二倍角公式：

\(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 + \tan^2\alpha}\)（万能形式）；

\(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha = \frac{1 - \tan^2\alpha}{1 + \tan^2\alpha}\)；

\(\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}\)，\(\cot 2\alpha = \frac{\cot^2\alpha - 1}{2\cot\alpha}\)；

9. 半角公式：

\(\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}\)

\(\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}\)

\(\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}\)（符号由\(\frac{\alpha}{2}\)所在象限确定）。

10. 和差化积：

\(\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)

\(\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\)

\(\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)

\(\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\)

11.积化和差：

\(\sin A\sin B = -\frac{1}{2}[\cos(A+B) - \cos(A-B)]\)

\(\cos A\cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]\)

\(\sin A\cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]\)

12. 辅助角公式：

\(a\sin\alpha + b\cos\alpha = A\sin(\alpha + \varphi) = A\cos(\alpha - \theta)\)

其中\(A = \sqrt{a^2 + b^2}\)，\(\varphi = \arctan\frac{b}{a}\)（当\(a > 0\)时），\(\theta = \arctan\frac{a}{b}\)（当\(b > 0\)时）；

\(\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}\sin(\alpha + \frac{\pi}{4})\)

\(\sin\alpha - \cos\alpha = \sqrt{2}\sin(\alpha - \frac{\pi}{4})\)

\(\sqrt{3}\sin\alpha + \cos\alpha = 2\sin(\alpha + \frac{\pi}{6})\)

13. 三倍角公式：

\(\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha\)；

\(\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha\)；

\(\tan 3\alpha = \frac{3\tan\alpha - \tan^3\alpha}{1 - 3\tan^2\alpha}\)。

14. 三角形内角恒等推论：

在\(\triangle ABC\)中，\(\sin(A + B) = \sin C\)，\(\cos(A + B) = -\cos C\)，\(\tan(A + B) = -\tan C\)；

\(\sin\frac{A+B}{2} = \cos\frac{C}{2}\)，\(\cos\frac{A+B}{2} = \sin\frac{C}{2}\)；

\(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A\sin B\sin C\)；

\(\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = -1 - 4\cos A\cos B\cos C\)。

15. 周期函数复杂形式周期判断：

\(y = A\sin(\omega x + \varphi) + B\)、\(y = A\cos(\omega x + \varphi) + B\)的最小正周期\(T = \frac{2\pi}{|\omega|}\)；

\(y = A\tan(\omega x + \varphi) + B\)、\(y = A\cot(\omega x + \varphi) + B\)的最小正周期\(T = \frac{\pi}{|\omega|}\)；

\(y = |\sin(\omega x + \varphi)|\)、\(y = |\cos(\omega x + \varphi)|\)的最小正周期\(T = \frac{\pi}{|\omega|}\)；

\(y = |\tan(\omega x + \varphi)|\)、\(y = |\cot(\omega x + \varphi)|\)的最小正周期\(T = \frac{\pi}{|\omega|}\)（与原函数周期一致，因绝对值不改变正切、余切的周期）；

复合函数周期：若\(f(x)\)的周期为\(T\)，则\(f(kx + b)\)的周期为\(\frac{T}{|k|}\)（\(k \neq 0\)）。

16. 单调区间精准求解推论：

对于\(y = A\sin(\omega x + \varphi)\)（\(A > 0\)，\(\omega > 0\)）：

增区间：\(\omega x + \varphi \in [-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi]\)（\(k \in \mathbb{Z}\)），解得\(x \in [\frac{-\frac{\pi}{2} + 2k\pi - \varphi}{\omega}, \frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi - \varphi}{\omega}]\)；

减区间：\(\omega x + \varphi \in [\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi]\)（\(k \in \mathbb{Z}\)），解得\(x \in [\frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi - \varphi}{\omega}, \frac{\frac{3\pi}{2} + 2k\pi - \varphi}{\omega}]\)；

若\(A < 0\)或\(\omega < 0\)，需先转化为\(A > 0\)、\(\omega > 0\)的形式（利用诱导公式），再求单调区间。

17. 对称轴与对称中心拓展：

\(y = A\sin(\omega x + \varphi)\)：对称轴\(x = \frac{\frac{\pi}{2} + k\pi - \varphi}{\omega}\)（\(k \in \mathbb{Z}\)），对称中心\((\frac{k\pi - \varphi}{\omega}, B)\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）；

\(y = A\cos(\omega x + \varphi)\)：对称轴\(x = \frac{k\pi - \varphi}{\omega}\)（\(k \in \mathbb{Z}\)），对称中心\((\frac{\frac{\pi}{2} + k\pi - \varphi}{\omega}, B)\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）；

\(y = A\tan(\omega x + \varphi)\)：无对称轴，对称中心\((\frac{k\pi}{2\omega} - \frac{\varphi}{\omega}, B)\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）。

18. 最值问题隐含条件推论：

对于\(y = a\sin x + b\cos x + c\)，最大值为\(c + \sqrt{a^2 + b^2}\)，最小值为\(c - \sqrt{a^2 + b^2}\)；

对于\(y = \sin^2x + \sin x + 1\)，令\(t = \sin x \in [-1, 1]\)，转化为二次函数\(y = t^2 + t + 1\)，最大值在\(t = 1\)时取得为\(3\)，最小值在\(t = -\frac{1}{2}\)时取得为\(\frac{3}{4}\)（利用二次函数在闭区间的最值性质）。

19. 正弦定理拓展推论：

\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\)（\(R\)为外接圆半径），则：

\(a = 2R\sin A\)，\(b = 2R\sin B\)，\(c = 2R\sin C\)；

\(a\sin B = b\sin A\)，\(a\sin C = c\sin A\)，\(b\sin C = c\sin B\)；

\(\frac{a + b + c}{\sin A + \sin B + \sin C} = 2R\)（合比定理应用）。

20. 余弦定理变形与应用：

\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)，变形为\(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\)；

若\(A = 60^\circ\)，则\(a^2 = b^2 + c^2 - bc\)；若\(A = 120^\circ\)，则\(a^2 = b^2 + c^2 + bc\)；

三角形中，\(a > b \Leftrightarrow A > B \Leftrightarrow \sin A > \sin B\)（大边对大角，大角对大边的等价表达）。

21. 三角形面积公式大全：

基本公式：\(S = \frac{1}{2}ah_a = \frac{1}{2}bh_b = \frac{1}{2}ch_c\)（\(h_a, h_b, h_c\)分别为\(a, b, c\)边上的高）；

边角公式：\(S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B\)；

外接圆半径相关：\(S = \frac{abc}{4R}\)；

内切圆半径相关：\(S = r \cdot s\)（\(s = \frac{a + b + c}{2}\)为半周长）；

海伦公式：\(S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}\)；

向量公式：\(S = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|\)（平面向量叉乘的模长应用）；

坐标公式：若\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，\(C(x_3,y_3)\)，则\(S = \frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|\)。

22. 射影定理与其他推论：

射影定理：\(a = b\cos C + c\cos B\)，\(b = a\cos C + c\cos A\)，\(c = a\cos B + b\cos A\)；

角平分线定理：若\(AD\)为\(\angle BAC\)的平分线，交\(BC\)于\(D\)，则\(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\)；

中线定理：若\(AD\)为\(BC\)边上的中线，则\(AB^2 + AC^2 = 2AD^2 + 2BD^2\)；

高的公式：\(h_a = b\sin C = c\sin B = \frac{2S}{a}\)。

23. 反三角函数运算推论：

\(\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}\)（\(x \in [-1, 1]\)）；

\(\arctan x + \arccot x = \frac{\pi}{2}\)（\(x \in \mathbb{R}\)）；

\(\arctan x + \arctan y = \arctan\frac{x + y}{1 - xy}\)（当\(xy < 1\)时），\(\arctan x + \arctan y = \pi + \arctan\frac{x + y}{1 - xy}\)（当\(x > 0\)，\(y > 0\)，\(xy > 1\)时），\(\arctan x + \arctan y = -\pi + \arctan\frac{x + y}{1 - xy}\)（当\(x < 0\)，\(y < 0\)，\(xy > 1\)时）。

24. 特殊角三角函数值延伸：

\(15^\circ\)相关：\(\sin15^\circ = \cos75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\)，\(\cos15^\circ = \sin75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)，\(\tan15^\circ = 2 - \sqrt{3}\)，\(\cot15^\circ = 2 + \sqrt{3}\)；

\(22.5^\circ\)相关：\(\sin22.5^\circ = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}\)，\(\cos22.5^\circ = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}\)，\(\tan22.5^\circ = \sqrt{2} - 1\)；

\(67.5^\circ\)相关：\(\sin67.5^\circ = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}\)，\(\cos67.5^\circ = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}\)，\(\tan67.5^\circ = \sqrt{2} + 1\)；

\(105^\circ\)相关：\(\sin105^\circ = \sin75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)，\(\cos105^\circ = -\cos75^\circ = -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\)，\(\tan105^\circ = -\tan75^\circ = -(2 + \sqrt{3})\)。

25. 常见三角函数不等式：

当\(x \in (0, \frac{\pi}{2})\)时，\(\sin x < x < \tan x\)；

当\(x \in \mathbb{R}\)时，\(|\sin x| \leq 1\)，\(|\cos x| \leq 1\)；

当\(x \in [0, \frac{\pi}{2}]\)时，\(\sin x \leq x\)，\(\cos x \leq 1 - \frac{x^2}{2}\)（泰勒展开近似，可用于不等式证明）；

对任意角\(\alpha\)，\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)，\(\sin^2\alpha \leq 1\)，\(\cos^2\alpha \leq 1\)。

26. 三角函数化简技巧结论：

切割化弦：将正切、余切、正割、余割转化为正弦、余弦，简化表达式；

异名化同名：利用诱导公式或辅助角公式，将不同三角函数名转化为同一函数名；

异角化同角：通过和差、倍半角公式，将不同角度转化为同一角度；

高次降幂：利用二倍角降幂公式，将高次三角函数转化为低次，便于化简或求值。

27. 三角函数方程求解推论：

\(\sin x = \sin\alpha\)的解为\(x = k\pi + (-1)^k\alpha\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）；

\(\cos x = \cos\alpha\)的解为\(x = 2k\pi \pm \alpha\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）；

\(\tan x = \tan\alpha\)的解为\(x = k\pi + \alpha\)（\(k \in \mathbb{Z}\)，\(x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi\)，\(n \in \mathbb{Z}\)）。

例题1：齐次式与三角恒等变换综合：已知\(\tan\alpha = 2\)，求\(\frac{\sin 2\alpha - \cos^2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}\)的值。

解析：

先将分子分母转化为齐次式或利用二倍角公式化简。分子\(\sin 2\alpha - \cos^2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha - \cos^2\alpha\)（二倍角公式），分母\(1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha\)（降幂公式）。分子分母同除以\(\cos^2\alpha\)得\(\frac{2\tan\alpha - 1}{2}\)，代入\(\tan\alpha = 2\)，得\(\frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2}\)。

例题2：三角形内角三角函数求值：在\(\triangle ABC\)中，\(\tan A = 2\)，\(\tan B = 3\)，求\(\sin C\)的值。

解析：

由三角形内角和\(A + B + C = \pi\)，得\(C = \pi - (A + B)\)，故\(\sin C = \sin(A + B)\)。先求\(\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{2 + 3}{1 - 6} = -1\)，则\(A + B = \frac{3\pi}{4}\)，故\(C = \frac{\pi}{4}\)，\(\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}\)。

例题3：辅助角公式与最值综合：求函数\(y = 3\sin x + 4\cos x - 2\)的最大值、最小值及对应的\(x\)值。

解析：

利用辅助角公式，\(3\sin x + 4\cos x = 5\sin(x + \varphi)\)，其中\(\tan\varphi = \frac{4}{3}\)。故\(y = 5\sin(x + \varphi) - 2\)。最大值为\(5 \times 1 - 2 = 3\)，此时\(x + \varphi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\)，\(x = \frac{\pi}{2} - \varphi + 2k\pi\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）；最小值为\(5 \times (-1) - 2 = -7\)，此时\(x + \varphi = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\)，\(x = \frac{3\pi}{2} - \varphi + 2k\pi\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）。

例题4：解三角形与面积公式综合：在\(\triangle ABC\)中，\(a = 2\sqrt{3}\)，\(b = 2\)，\(C = 60^\circ\)，求\(c\)及\(\triangle ABC\)的面积\(S\)，并求外接圆半径\(R\)。

解析：

由余弦定理，\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 12 + 4 - 2 \times 2\sqrt{3} \times 2 \times \frac{1}{2} = 8\)，故\(c = 2\sqrt{2}\)。面积\(S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\)。由正弦定理\(\frac{c}{\sin C} = 2R\)，得\(R = \frac{c}{2\sin C} = \frac{2\sqrt{2}}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\)。

例题5：三角函数周期与单调区间综合：求函数\(y = |\sin(2x - \frac{\pi}{3})|\)的最小正周期及单调递增区间。

解析：

\(y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})\)的周期为\(\pi\)，绝对值后周期变为\(\frac{\pi}{2}\)。令\(k\pi \leq 2x - \frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{2} + k\pi\)（\(k \in \mathbb{Z}\)），解得\(\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} \leq x \leq \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}\)（\(k \in \mathbb{Z}\)），即单调递增区间为\([\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}]\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）。

例题6：反三角函数运算：计算\(\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3\)的值。

解析：

设\(\arctan 2 = \alpha\)，\(\arctan 3 = \beta\)，则\(\tan\alpha = 2\)，\(\tan\beta = 3\)，且\(\alpha, \beta \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})\)，故\(\alpha + \beta \in (\frac{\pi}{2}, \pi)\)。\(\tan(\alpha + \beta) = \frac{2 + 3}{1 - 6} = -1\)，故\(\alpha + \beta = \frac{3\pi}{4}\)。又\(\arctan 1 = \frac{\pi}{4}\)，故原式\(= \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \pi\)。

例题7：三角恒等变换与不等式证明：当\(x \in (0, \frac{\pi}{2})\)时，\(\sin x + \cos x > 1\)。

解析：

将左边平方得\((\sin x + \cos x)^2 = \sin^2x + 2\sin x\cos x + \cos^2x = 1 + \sin 2x\)。因\(x \in (0, \frac{\pi}{2})\)，故\(2x \in (0, \pi)\)，\(\sin 2x > 0\)，则\((\sin x + \cos x)^2 > 1\)。又\(\sin x + \cos x > 0\)，故\(\sin x + \cos x > 1\)。

例题8：三角函数方程求解：解方程\(\sin 2x = \cos x\)。

解析：

利用二倍角公式转化为\(2\sin x\cos x - \cos x = 0\)，提取公因式得\(\cos x(2\sin x - 1) = 0\)。则\(\cos x = 0\)或\(2\sin x - 1 = 0\)。\(\cos x = 0\)的解为\(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）；\(2\sin x - 1 = 0\)即\(\sin x = \frac{1}{2}\)，解为\(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\)或\(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）。综上，方程的解为\(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\)或\(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\)或\(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）。

例题9：三角形边角关系与最值综合：在\(\triangle ABC\)中，角\(A, B, C\)所对的边分别为\(a, b, c\)，且\(a = 1\)，\(B = 45^\circ\)，\(\triangle ABC\)的面积为\(2\)，求\(b\)的值。

解析：

由面积公式\(S = \frac{1}{2}ac\sin B = 2\)，代入\(a = 1\)，\(B = 45^\circ\)，得\(\frac{1}{2} \times 1 \times c \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\)，解得\(c = 4\sqrt{2}\)。由余弦定理，\(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B = 1 + 32 - 2 \times 1 \times 4\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 33 - 8 = 25\)，故\(b = 5\)。

例题10：三角函数图像平移与性质综合：将函数\(y = \sin 2x\)的图像向左平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位，得到函数\(y = f(x)\)的图像，求\(f(x)\)的解析式及对称轴方程。

解析：

平移后\(f(x) = \sin[2(x + \frac{\pi}{6})] = \sin(2x + \frac{\pi}{3})\)。对称轴方程满足\(2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi\)（\(k \in \mathbb{Z}\)），解得\(x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）。

例题11：三倍角公式应用：求\(\sin 18^\circ \cos 36^\circ\)的值。

解析：

利用倍角公式和三倍角公式变形。原式\(= \frac{2\sin 18^\circ \cos 18^\circ \cos 36^\circ}{2\cos 18^\circ} = \frac{\sin 36^\circ \cos 36^\circ}{2\cos 18^\circ} = \frac{\sin 72^\circ}{4\cos 18^\circ}\)。因\(\sin 72^\circ = \cos 18^\circ\)，故原式\(= \frac{\cos 18^\circ}{4\cos 18^\circ} = \frac{1}{4}\)。

例题12：三角函数复合函数最值：求函数\(y = \sin^2x - 2\sin x + 3\)的最大值和最小值。

解析：

令\(t = \sin x\)，则\(t \in [-1, 1]\)，函数转化为\(y = t^2 - 2t + 3\)。这是开口向上的二次函数，对称轴为\(t = 1\)。当\(t = 1\)时，\(y_{\min} = 1 - 2 + 3 = 2\)；当\(t = -1\)时，\(y_{\max} = 1 + 2 + 3 = 6\)。

例题13：解三角形与角平分线定理综合：在\(\triangle ABC\)中，\(AB = 3\)，\(AC = 4\)，\(\angle BAC = 60^\circ\)，\(AD\)为\(\angle BAC\)的角平分线，求\(AD\)的长度。

解析：

由角平分线定理，\(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}\)。设\(BD = 3k\)，\(DC = 4k\)，则\(BC = 7k\)。由余弦定理，\(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos 60^\circ = 9 + 16 - 12 = 13\)，故\(BC = \sqrt{13}\)，\(k = \frac{\sqrt{13}}{7}\)。再由角平分线长度公式（推导：\(S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD} = S_{\triangle ABC}\)），\(\frac{1}{2}AB \cdot AD \sin 30^\circ + \frac{1}{2}AC \cdot AD \sin 30^\circ = \frac{1}{2}AB \cdot AC \sin 60^\circ\)，代入得\(\frac{1}{2} \times 3 \times AD \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times 4 \times AD \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\)，解得\(AD = \frac{12\sqrt{3}}{7}\)。

例题14：三角函数诱导公式与化简综合：化简：\(\frac{\sin(\pi - \alpha)\cos(2\pi - \alpha)\tan(-\alpha + \pi)}{-\tan(-\alpha - \pi)\sin(-\pi - \alpha)}\)。

解析：

利用诱导公式逐步化简。\(\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha\)，\(\cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha\)，\(\tan(-\alpha + \pi) = -\tan\alpha\)，\(-\tan(-\alpha - \pi) = \tan(\alpha + \pi) = \tan\alpha\)，\(\sin(-\pi - \alpha) = \sin\alpha\)。代入原式得\(\frac{\sin\alpha \cdot \cos\alpha \cdot (-\tan\alpha)}{\tan\alpha \cdot \sin\alpha} = -\cos\alpha\)。

例题15：三角函数不等式求解：求不等式\(\sin x \geq \frac{1}{2}\)的解集。

解析：

结合正弦函数图像，\(\sin x = \frac{1}{2}\)的解为\(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\)或\(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）。故不等式的解集为\([\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi]\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）。

例题16：三角形外接圆与内切圆半径综合：在\(\triangle ABC\)中，\(a = 5\)，\(b = 12\)，\(c = 13\)，求外接圆半径\(R\)和内切圆半径\(r\)。

解析：

先判断三角形形状，\(5^2 + 12^2 = 13^2\)，故\(\triangle ABC\)为直角三角形，直角在\(C\)点。外接圆半径\(R = \frac{c}{2} = \frac{13}{2}\)（直角三角形外接圆直径为斜边）。半周长\(s = \frac{5 + 12 + 13}{2} = 15\)，面积\(S = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30\)。由\(S = r \cdot s\)，得\(r = \frac{S}{s} = \frac{30}{15} = 2\)。

例题17：辅助角公式与三角函数图像综合：已知函数\(y = A\sin(\omega x + \varphi)\)（\(A > 0\)，\(\omega > 0\)，\(|\varphi| < \frac{\pi}{2}\)）的部分图像经过点\((0, 1)\)，且在\(x = \frac{\pi}{3}\)时取得最大值\(2\)，求函数解析式。

解析：

由最大值为\(2\)得\(A = 2\)。将点\((0, 1)\)代入得\(2\sin\varphi = 1\)，即\(\sin\varphi = \frac{1}{2}\)。因\(|\varphi| < \frac{\pi}{2}\)，故\(\varphi = \frac{\pi}{6}\)。当\(x = \frac{\pi}{3}\)时，\(\omega \times \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\)（\(k \in \mathbb{Z}\)），解得\(\omega = 1 + 6k\)。取\(k = 0\)（\(\omega > 0\)，最小正周期通常取最小\(\omega\)），故\(\omega = 1\)。函数解析式为\(y = 2\sin(x + \frac{\pi}{6})\)。

例题18：三角恒等变换与求值综合：已知\(\cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{3}\)，\(\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)\)，求\(\cos\alpha\)的值。

解析：

将\(\alpha\)拆分为\((\alpha - \frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{6}\)，利用两角和的余弦公式。\(\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)\)，故\(\alpha - \frac{\pi}{6} \in (\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6})\)，\(\sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha - \frac{\pi}{6})} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)。\(\cos\alpha = \cos[(\alpha - \frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{6}] = \cos(\alpha - \frac{\pi}{6})\cos\frac{\pi}{6} - \sin(\alpha - \frac{\pi}{6})\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3} \times \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{6}\)。