牛吃草问题

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1. 牛吃草问题背景与定义

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿问题。它主要涉及到在一片草地上，草在不断地生长，牛在不断地吃草，研究牛的数量、吃草时间、原有草量和草生长速度之间的关系。

2. 牛吃草问题基本公式推导

设每头牛每天吃草量为“1”份。

草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数 - 对应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数 - 吃的较少天数)。

例如，有一片草地，可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。

设草的生长速度为\(x\)份/天。

根据草地总量不变，可列出方程\(10\times20 - 20x=15\times10 - 10x\)。

解方程可得\(x = 5\)份/天，即草的生长速度是5份/天。

原有草量=牛头数×吃的天数 - 草的生长速度×吃的天数。

如在上述例子中，把\(x = 5\)代入\(10\times20 - 20x\)，可得原有草量为\(10\times20-20\times5 = 100\)份。

3. 不同类型的牛吃草问题及解法

基本类型：已知牛的数量和吃草时间，求原有草量和草生长速度。

解法：按照上述公式计算。如，一片草地，可供8头牛吃12天，可供10头牛吃8天。

首先求草的生长速度\((8\times12 - 10\times8)\div(12 - 8)=4\)份/天。

然后求原有草量\(8\times12 - 4\times12 = 48\)份。

变化类型一：牛的数量变化

例如，一片草地原有草量为100份，草每天生长5份，一开始有10头牛在吃草，过了5天，又增加了5头牛，问还能吃几天？

首先计算10头牛5天吃的草量\(10\times5 = 50\)份，同时这5天草生长的量\(5\times5 = 25\)份。

那么5天后剩余的草量\(100 + 25-50 = 75\)份。

此时牛的总数变为\(10 + 5 = 15\)头。

设还能吃\(t\)天，则\(15t=75 + 5t\)，解得\(t = 7.5\)天。

变化类型二：草地面积变化

例如，有两块草地，一块大草地面积是小草地面积的2倍。大草地可供16头牛吃6天，小草地可供10头牛吃8天。如果把两块草地合在一起，可供多少头牛吃4天？

设小草地原有草量为\(a\)份，草生长速度为\(b\)份/天。

则大草地原有草量为\(2a\)份，草生长速度为\(2b\)份/天。

根据题意可得方程组\(\begin{cases}2a+2b\times6 = 16\times6\\a + b\times8=10\times8\end{cases}\)

解方程组得\(a = 48\)，\(b = 2\)。

两块草地合在一起原有草量\(a + 2a=3a = 144\)份，草生长速度\(b+2b = 3b = 6\)份/天。

设可供\(x\)头牛吃4天，则\(144+6\times4 = 4x\)，解得\(x = 42\)头牛。

4. 牛吃草问题在实际生活中的应用场景

牛吃草问题可以类比为水池注水排水问题。比如一个水池，有进水管在不断进水（相当于草在生长），有排水管在排水（相当于牛在吃草），研究注水量、排水量、水池原有水量和注水速度之间的关系。

也可以应用在资源可持续利用方面。例如森林木材的生长和砍伐，森林每年有一定的木材生长量（如同草生长），每年进行一定量的砍伐（如同牛吃草），研究在保证森林可持续发展的情况下，合理的砍伐量等问题。

牛吃草问题练习

1. 牛吃草问题基础题型

例1：有一片匀速生长的草地，可供15头牛吃10天，或者可供10头牛吃20天。那么这片草地每天新长的草量可供几头牛吃1天？

解析：设每头牛每天吃草量为1份。草的生长速度=(10×20 - 15×10)÷(20 - 10)=5份/天，所以这片草地每天新长的草量可供5头牛吃1天。

例2：一片草地，草每天匀速生长。若24头牛6天可以把草吃完，20头牛10天可以把草吃完，那么这片草地原有草量是多少？

解析：设每头牛每天吃草量为1份。草的生长速度=(20×10 - 24×6)÷(10 - 6)=14份/天。原有草量 = 24×6 - 14×6 = 60份。

2. 牛吃草问题牛数量变化题型

例3：一片草地，可供12头牛吃15天，一开始有12头牛在吃草，5天后又增加了8头牛，那么这片草地还可以吃几天？

解析：设每头牛每天吃草量为1份。草的生长速度=(12×15 - 12×10)÷(15 - 10)=12份/天。原有草量 = 12×15 - 12×15 = 180份。12头牛吃5天的草量是12×5 = 60份，5天后剩余草量 = 180 + 12×5 - 60 = 180份。此时牛的总数是12 + 8 = 20头。设还能吃x天，可得20x = 180 + 12x，解得x = 15天。

例4：有一片草地，可供20头牛吃9天，若一开始有10头牛在吃草，4天后又增加了若干头牛，总共用了8天把草吃完，问后来增加了几头牛？

解析：设每头牛每天吃草量为1份。草的生长速度=(20×9 - 20×4)÷(9 - 4)=20份/天。原有草量 = 20×9 - 20×9 = 180份。10头牛4天吃的草量是10×4 = 40份，8天里草生长的量是20×8 = 160份，设后来增加了x头牛，可得180 + 160 - 40=(10 + x)×8，解得x = 15头牛。

3. 牛吃草问题草地面积变化题型

例5：有两块草地，大草地面积是小草地面积的3倍。大草地可供30头牛吃12天，小草地可供10头牛吃16天。如果把两块草地合在一起，可供多少头牛吃8天？

解析：设小草地原有草量为a份，草生长速度为b份/天。则大草地原有草量为3a份，草生长速度为3b份/天。根据题意可得方程组\(\begin{cases}3a + 3b×12 = 30×12\\a + b×16 = 10×16\end{cases}\)，解得\(a = 80\)，\(b = 5\)。两块草地合在一起原有草量为a + 3a = 4a = 320份，草生长速度为b + 3b = 4b = 20份/天。设可供x头牛吃8天，则320+20×8 = 8x，解得x = 60头牛。

例6：有三块草地，面积分别为5公顷、6公顷和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃几天？

解析：将三块草地面积统一。5、6、8的最小公倍数是120。第一块草地120公顷可供11×(120÷5)=264头牛吃10天；第二块草地120公顷可供12×(120÷6)=240头牛吃14天。设每头牛每天吃草量为1份。草的生长速度=(240×14 - 264×10)÷(14 - 10)=180份/天。120公顷原有草量 = 264×10 - 180×10 = 840份。8公顷原有草量为840×(8÷120)=56份，8公顷草生长速度为180×(8÷120)=12份/天。设可供19头牛吃x天，则56+12x = 19x，解得x = 8天。

4. 牛吃草问题复杂变化题型

例7：有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛24天可将草吃完。现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃2天便将草吃完。问原来有多少头牛？

解析：设每头牛每天吃草量为1份。草的生长速度=(17×30 - 19×24)÷(30 - 24)=9份/天。原有草量 = 17×30 - 9×30 = 240份。设原来有x头牛，可得240+(6 + 2)×9 = 6x+(x - 4)×2，解得x = 40头牛。

例8：一个水池，底部有一个常开的排水管，上部有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池。现在要在2小时内注满水池，至少需要打开几个进水管？

解析：把进水管看作牛，排水管看作草的消耗。设每个进水管每小时进水量为1份。排水管每小时排水量=(2×15 - 4×5)÷(15 - 5)=1份/小时。水池原有水量 = 4×5 - 1×5 = 15份。设至少需要打开x个进水管，可得15+(1×2) = 2x，解得x = 8.5，因为进水管个数为整数，所以至少需要打开9个进水管。