追及问题
1. 定义与基本概念
追及问题是行程问题中的一种，主要研究两个运动物体同向运动时，后面的物体速度快，在一定时间内追上前面物体的情况。在追及问题中，关键的物理量包括追及路程、速度差和追及时间。
例如，甲、乙两人同向而行，甲的速度比乙快，开始时甲在乙后面一定距离，经过一段时间甲追上乙。这个开始时甲和乙之间的距离就是追及路程。
2. 基本公式
追及路程 = 速度差×追及时间，即\(S=(v_1 - v_2)×t\)，其中\(S\)表示追及路程，\(v_1\)表示速度快的物体的速度，\(v_2\)表示速度慢的物体的速度，\(t\)表示追及时间。
由此还可以推导出追及时间\(t=\frac{S}{v_1 - v_2}\)和速度差\(v_1 - v_2=\frac{S}{t}\)。
3. 解题思路与要点
首先要明确已知条件，确定追及路程、两个物体的速度（或速度差）以及追及时间中的两个量，然后利用公式求出第三个量。
与相遇问题类似，画出简单的示意图有助于理解。例如，画一条直线表示运动路线，在直线上标记出两个物体的初始位置、运动方向，这样可以更直观地分析追及路程等相关量。
4. 应用场景与案例
甲、乙两人在同一条路上同向跑步，甲的速度是每秒7米，乙的速度是每秒5米，开始时乙在甲前面20米。问甲经过多长时间能追上乙？
分析：已知追及路程\(S = 20\)米，甲、乙的速度差\(v_1 - v_2=7 - 5 = 2\)米/秒。
根据追及时间公式\(t=\frac{S}{v_1 - v_2}\)，可得\(t=\frac{20}{2}=10\)秒。
一辆汽车以每小时60千米的速度行驶，出发1小时后，一辆摩托车以每小时80千米的速度同向追赶。问摩托车需要多长时间才能追上汽车？
分析：汽车先出发1小时，行驶的路程为\(60×1 = 60\)千米，这60千米就是追及路程。摩托车和汽车的速度差为\(80 - 60 = 20\)千米/小时。
根据追及时间公式，可得追及时间\(t=\frac{60}{20}=3\)小时。
甲、乙两人在环形跑道上跑步，跑道周长为400米，甲的速度是每秒6米，乙的速度是每秒4米。甲在乙前面80米处，两人同时同向出发，问甲经过多长时间第一次追上乙？
分析：追及路程为\(400 - 80 = 320\)米，速度差为\(6 - 4 = 2\)米/秒。根据追及时间公式\(t=\frac{S}{v_1 - v_2}\)，可得追及时间\(t=\frac{320}{2}=160\)秒。
一辆客车和一辆货车同时从A地出发前往B地，客车速度为每小时80千米，货车速度为每小时60千米。客车在途中C地发生故障，停车修理了2小时，结果货车先到达B地，B地离A地480千米。客车修好后，以每小时100千米的速度前往B地，问客车在离B地多远处追上货车？
分析：货车到达B地所需时间为\(480÷60 = 8\)小时，客车行驶时间为\(8 - 2 = 6\)小时。客车在故障前行驶的路程为\(80×6 = 480\)千米。设客车修好后经过\(t\)小时追上货车，可列方程\(100t = 60(t + 2)\)，解得\(t = 3\)小时。此时客车行驶的路程为\(100×3 = 300\)千米，离B地的距离为\(480 - 300 = 180\)千米。
甲、乙两车分别从A、B两地同时同向出发，甲车速度为每小时70千米，乙车速度为每小时50千米，A、B两地相距240千米。经过多少小时甲、乙两车相距30千米？
分析：分两种情况。第一种情况是甲还没追上乙，两车相距30千米，此时追及路程为\(240 - 30 = 210\)千米，速度差为\(70 - 50 = 20\)千米/小时，追及时间为\(210÷20 = 10.5\)小时；第二种情况是甲超过乙30千米，追及路程为\(240 + 30 = 270\)千米，追及时间为\(270÷20 = 13.5\)小时。
甲、乙两人同时从A点出发，沿同一条路线前往B点，甲先走。甲的速度是每分钟50米，乙的速度是每分钟70米。当乙出发20分钟后，发现自己忘记带东西，返回A点取东西后再出发去B点，结果乙在离A点7000米处追上甲。问A、B两点间的距离是多少？
分析：乙返回A点再出发时，甲已经走了\(50×(20 + 20)=2000\)米。设乙追上甲用的时间为\(t\)分钟，可列方程\(70t = 50t + 2000\)，解得\(t = 100\)分钟。那么乙走的路程为\(70×100 = 7000\)米，A、B两点间的距离大于7000米，设A、B两点间距离为\(x\)米，根据时间相等可列方程\(\frac{x - 7000}{50}=\frac{x}{70}\)，解得\(x = 24500\)米。
有一个周长为300米的圆形池塘，甲、乙两人从同一点同时出发，绕池塘同向而行。甲的速度是每秒4米，乙的速度是每秒6米。问乙第三次追上甲时，甲离出发点多远？
分析：每次乙追上甲，乙比甲多跑一圈，第三次追上甲时，乙比甲多跑了\(3×300 = 900\)米。速度差为\(6 - 4 = 2\)米/秒，追及时间为\(900÷2 = 450\)秒。甲跑的路程为\(4×450 = 1800\)米，\(1800÷300 = 6\)圈，说明甲正好跑了6圈回到出发点。
甲、乙两人骑自行车从A地到B地，甲每小时行12千米，乙每小时行9千米。甲在途中停留4小时，结果比乙迟到1小时。A、B两地相距多少千米？
分析：设乙用\(t\)小时到达B地，则甲用\(t + 1 - 4=t - 3\)小时。根据路程相等可列方程\(12(t - 3)=9t\)，解得\(t = 12\)小时。A、B两地相距\(9×12 = 108\)千米。
甲、乙两车同时从A地出发前往B地，甲车速度为每小时60千米，乙车速度为每小时40千米。途中甲车因故障停车修理了一段时间，结果乙车先出发2小时后，甲车才出发，甲车在行驶了3小时后追上乙车。问甲车停车修理了多长时间？
分析：乙车先出发2小时行驶的路程为\(40×2 = 80\)千米，甲车3小时行驶的路程为\(60×3 = 180\)千米，在这3小时内乙车又行驶了\(40×3 = 120\)千米。那么乙车一共行驶了\(80 + 120 = 200\)千米，说明在甲车正常行驶前，乙车多行驶的时间就是甲车停车修理的时间，乙车多行驶的路程为\(200 - 180 = 20\)千米，乙车速度为40千米/小时，所以甲车停车修理时间为\(20÷40 = 0.5\)小时。
快、慢两车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。快车每小时行24千米，慢车每小时行20千米。快车用了4小时追上骑车人，慢车追上骑车人比快车多用了1小时。骑车人每小时行多少千米？
分析：快车4小时行驶的路程为\(24×4 = 96\)千米，慢车追上骑车人用了\(4 + 1 = 5\)小时，慢车行驶的路程为\(20×5 = 100\)千米。在这\(4\)小时到\(5\)小时之间，骑车人又走了\(100 - 96 = 4\)千米，所以骑车人速度为\(4÷1 = 4\)千米/小时。
甲、乙两人在一条长2000米的公路上跑步，甲在乙后面，甲的速度是每秒5米，乙的速度是每秒3米。甲先跑了400米后，乙才开始跑，问甲从开始跑经过多长时间追上乙？
分析：追及路程为\(2000 - 400 = 1600\)米，速度差为\(5 - 3 = 2\)米/秒。追及时间为\(1600÷2 = 800\)秒，甲先跑的400米所用时间为\(400÷5 = 80\)秒，所以甲从开始跑经过\(800 + 80 = 880\)秒追上乙。
甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，同向而行，乙车在前，甲车在后。A、B两地相距300千米，甲车速度为每小时70千米，乙车速度为每小时50千米。甲车在途中C地停留了2小时，结果甲车还是追上了乙车，问C地离A地多远？
分析：设甲车行驶时间为\(t\)小时，乙车行驶时间为\(t + 2\)小时。根据追及路程相等可列方程\(70t = 50(t + 2)+300\)，解得\(t = 20\)小时。甲车行驶的路程为\(70×20 = 1400\)千米，C地离A地的距离小于1400千米。设C地离A地\(x\)千米，乙车行驶的路程为\(1400 - 300 - x = 1100 - x\)千米，乙车行驶时间为\(\frac{1100 - x}{50}\)小时，甲车行驶时间为\(\frac{x}{70}\)小时，且甲车停留2小时，所以\(\frac{x}{70}+2=\frac{1100 - x}{50}\)，解得\(x = 700\)千米。
甲、乙两人同时从A地出发前往B地，甲的速度是乙的速度的1.5倍。甲在途中C地休息了1小时，结果乙比甲先到达B地30分钟。已知A、B两地相距360千米，问甲、乙两人的速度各是多少？
分析：设乙的速度为\(v\)千米/小时，则甲的速度为\(1.5v\)千米/小时。乙到达B地时间为\(t\)小时，则甲到达B地时间为\(t + 0.5 - 1=t - 0.5\)小时。根据路程相等可列方程\(vt = 1.5v(t - 0.5)\)，解得\(t = 1.5\)小时。乙的速度为\(360÷1.5 = 240\)千米/小时，甲的速度为\(1.5×240 = 360\)千米/小时。
甲、乙两车在一条笔直的公路上同向行驶，甲车在前，乙车在后。甲车速度为每小时40千米，乙车速度为每小时60千米。两车相距100千米时，甲车司机发现前方有情况，开始减速，甲车速度变为每小时30千米。问乙车经过多长时间追上甲车？
分析：追及路程为\(100\)千米，速度差为\(60 - 30 = 30\)千米/小时。追及时间为\(100÷30=\frac{10}{3}\)小时。
甲、乙两人在环形跑道上跑步，甲的速度是每秒4米，乙的速度是每秒6米。跑道周长为400米，甲先跑了100米后乙才开始跑，问乙跑几圈后第一次追上甲？
分析：追及路程为\(400 - 100 = 300\)米，速度差为\(6 - 4 = 2\)米/秒。追及时间为\(300÷2 = 150\)秒。乙跑的路程为\(6×150 = 900\)米，\(900÷400 = 2.25\)圈。
甲、乙两人从A地出发前往B地，甲先走1小时，速度为每小时5千米。乙的速度为每小时7千米。当乙出发后，甲在途中C地休息了半小时，结果乙在离A地35千米处追上甲。问A、C两地相距多少千米？
分析：设乙追上甲用的时间为\(t\)小时，可列方程\(7t = 5(t + 1 - 0.5)\)，解得\(t = 1.25\)小时。乙走的路程为\(7×1.25 = 8.75\)千米，这与题目中乙在离A地35千米处追上甲矛盾，说明甲在休息前就被乙追上了。设甲走了\(x\)小时被乙追上，可列方程\(7x = 5(x + 1)\)，解得\(x = 2.5\)小时。A、C两地相距\(5×(2.5 - 0.5)=10\)千米。
甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，同向而行。甲车速度为每小时60千米，乙车速度为每小时40千米。A、B两地相距200千米，甲车在B地停留了一段时间后返回A地，在途中与乙车相遇，此时乙车离A地还有80千米。问甲车在B地停留了多长时间？
分析：乙车行驶的路程为\(200 - 80 = 120\)千米，乙车行驶时间为\(120÷40 = 3\)小时。甲、乙两车相遇时，甲车行驶的路程为\(200 + (200 - 80)=320\)千米，甲车行驶时间为\(320÷60=\frac{16}{3}\)小时。甲车在B地停留的时间为\(\frac{16}{3}-3=\frac{7}{3}\)小时。
甲、乙两人在一条长1200米的路上同向而行，甲在乙后面，甲的速度是每秒8米，乙的速度是每秒6米。甲带着一只狗，狗的速度是每秒12米。狗先追上乙，然后返回找甲，遇到甲后又去追乙，如此反复，直到甲追上乙。问狗跑了多少米？
分析：追及路程为1200米，速度差为\(8 - 6 = 2\)米/秒。追及时间为\(1200÷2 = 600\)秒。狗的速度为每秒12米，狗跑的路程为\(12×600 = 7200\)米。
甲、乙两车从同一地点同时出发，同向而行。甲车的速度是乙车速度的\(1.2\)倍。乙车行驶了2小时后，甲车开始出发，经过3小时甲车追上乙车。问乙车的速度是多少？
分析：设乙车速度为\(v\)千米/小时，则甲车速度为\(1.2v\)千米/小时。乙车先行驶2小时的路程为\(2v\)千米，甲车3小时行驶的路程为\(1.2v×3 = 3.6v\)千米。根据追及路程相等可列方程\(3.6v = 2v + 3v\)，解得\(v = 50\)千米/小时。
甲、乙两人在环形跑道上跑步，跑道周长为600米，甲的速度是每秒7米，乙的速度是每秒5米。甲在乙前面100米处，两人同时同向出发，问甲第二次追上乙时，甲跑了多少米？
分析：第一次追及路程为\(600 - 100 = 500\)米，速度差为\(7 - 5 = 2\)米/秒。第一次追及时间为\(500÷2 = 250\)秒。甲跑的路程为\(7×250 = 1750\)米。第二次追及路程为600米，追及时间为\(600÷2 = 300\)秒。甲又跑了\(7×300 = 2100\)米。甲一共跑了\(1750 + 2100 = 3850\)米。
