比

定义：两个数相除又叫做两个数的比。

例如，\(3\)除以\(2\)，可以表示为\(3:2\)，其中\(3\)是比的前项，\(2\)是比的后项，“\(:\)”是比号。比也可以写成分数形式，如\(\frac{3}{2}\)。

基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（\(0\)除外），比值不变。

例如，\(2:3=(2\times2):(3\times2)=4:6\)，\(4:6=(4\div2):(6\div2)=2:3\)。

化简比：根据比的基本性质，把比化成最简整数比。

最简整数比是指比的前项和后项都是整数，且这两个整数互质，即它们的最大公因数是\(1\)。

例如，\(12:18=(12\div6):(18\div6)=2:3\)。

比例

定义：表示两个比相等的式子叫做比例。

例如，\(2:3 = 4:6\)，这里\(2\)和\(3\)组成一个比，\(4\)和\(6\)组成另一个比，因为这两个比的比值相等，所以它们可以组成比例。

组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。

在\(2:3 = 4:6\)中，\(2\)和\(6\)是外项，\(3\)和\(4\)是内项。

基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这个性质是解比例方程的重要依据。

例如，在\(2:3 = 4:6\)中，\(2\times6 = 3\times4 = 12\)。

解比例：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。

求比例中的未知项，叫做解比例。例如，已知比例\(3:x = 6:9\)，根据比例的基本性质可得\(6x = 3×9\)，然后解方程可得\(x = 4.5\)。

比和比例的区别

意义不同：比表示两个数相除的关系；比例表示两个比相等的式子，是一个等式。

组成不同：比由两项组成，分别是前项和后项；比例由四项组成，包括两个外项和两个内项。

性质不同：比的性质是比的前项和后项同时乘或除以相同的数（\(0\)除外），比值不变；比例的性质是两个外项的积等于两个内项的积。

在生活中的应用

比的应用：在调配溶液、比例尺等方面经常用到比。

例如，要配制一种农药，药和水的比是\(1:1000\)，这就表示药占\(1\)份，水占\(1000\)份，按照这个比例就能配制出所需浓度的农药。

又如，地图上的比例尺\(1:50000\)，表示地图上\(1\)厘米的距离对应实际距离\(50000\)厘米，即\(500\)米，通过比例尺可以将地图上的距离与实际距离进行换算。

比例的应用：在解决工程问题、行程问题等许多实际问题中都有广泛应用。

例如，一项工程，甲单独做\(3\)天完成，乙单独做\(4\)天完成，那么甲和乙的工作效率之比是\(\frac{1}{3}:\frac{1}{4}=4:3\)，根据这个比例关系可以求出两人合作完成工程所需的时间等问题。

再如，甲、乙两人的速度比是\(3:2\)，同时从\(A\)地出发到\(B\)地，所用时间比就是\(2:3\)，利用这种比例关系可以解决行程问题中的时间、速度、路程等相关问题。

比例的性质 之 更比定理

定理内容：在一个比例里，更换第一个比的后项与第二个比的前项的位置后，仍成比例，或者更换第一个比的前项与第二个比的后项的位置后，仍成比例。即

如果\(a:b = c:d\)，那么\(a:c = b:d\)；或\(d:b = c:a\).

证明过程：

由\(a:b = c:d\)可得\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)，等式两边同时乘以\(\frac{d}{a}\)，得到\(\frac{d}{b}=\frac{c}{a}\)，即\(d:b = c:a\) 。

等式两边同时乘以\(\frac{b}{c}\)，得到\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)，即\(a:c = b:d\).

应用举例：已知\(2:3 = 4:6\)，根据更比定理可得\(2:4 = 3:6\)，以及\(6:3 = 4:2\) 。

比例的性质 之 反比定理

定理内容：如果两个比相等，那么它们的反比也相等。即

如果\(a:b = c:d\)，那么\(b:a = d:c\).

证明过程：因为\(a:b = c:d\)，即\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)，等式两边同时取倒数，可得\(\frac{b}{a}=\frac{d}{c}\)，即\(b:a = d:c\).

应用举例：若\(3:5 = 6:10\)，则其反比\(5:3 = 10:6\)也成立 。

比例的性质 之 等比定理

定理内容：若\(a:b = c:d = e:f = \cdots = m:n\)（\(b + d + f + \cdots + n\neq0\)），那么

\(\frac{a + c + e + \cdots + m}{b + d + f + \cdots + n}=\frac{a}{b}\).

证明过程：设\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\cdots=\frac{m}{n}=k\)，则\(a = bk\)，\(c = dk\)，\(e = fk\)，\(\cdots\)，\(m = nk\)。所以\(\frac{a + c + e + \cdots + m}{b + d + f + \cdots + n}=\frac{bk + dk + fk + \cdots + nk}{b + d + f + \cdots + n}=\frac{k(b + d + f + \cdots + n)}{b + d + f + \cdots + n}=k=\frac{a}{b}\).

应用举例：已知\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\)，求\(\frac{x + y + z}{9}\)的值。根据等比定理可得\(\frac{x + y + z}{2 + 3 + 4}=\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\)，设\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k\)，则\(x = 2k\)，\(y = 3k\)，\(z = 4k\)，所以\(\frac{x + y + z}{9}=\frac{2k + 3k + 4k}{9}=\frac{9k}{9}=k\)，又因为\(\frac{x}{2}=k\)，所以\(\frac{x + y + z}{9}=\frac{x}{2}\) 。

比例的性质 之 合比定理

定理内容：在一个比例里，第一个比的前后项的和与它的后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比。即

若\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)，则\(\frac{a + b}{b}=\frac{c + d}{d}\).

证明过程：因为\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)，所以\(ad = bc\)。

则\(\frac{a + b}{b}=\frac{a}{b}+1\)，\(\frac{c + d}{d}=\frac{c}{d}+1\)，又因为\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)，所以\(\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1\)，即\(\frac{a + b}{b}=\frac{c + d}{d}\) 。

应用举例：已知\(\frac{x}{3}=\frac{y}{5}\)，则根据合比定理可得\(\frac{x + 3}{3}=\frac{y + 5}{5}\) 。

比例的性质 之 分比定理

定理内容：在一个比例里，第一个比的前后项的差与它的后项的比，等于第二个比的前后项的差与它的后项的比。即

若\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)，则\(\frac{a - b}{b}=\frac{c - d}{d}\).

证明过程：由\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)可得\(ad = bc\)，那么\(\frac{a - b}{b}=\frac{a}{b}-1\)，\(\frac{c - d}{d}=\frac{c}{d}-1\)，因为\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)，所以\(\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1\)，即\(\frac{a - b}{b}=\frac{c - d}{d}\) 。

应用举例：若\(\frac{5}{7}=\frac{x}{y}\)，则\(\frac{5 - 7}{7}=\frac{x - y}{y}\)，即\(\frac{-2}{7}=\frac{x - y}{y}\) 。

比例的性质 之 合分比定理

定理内容：在一个比例里，第一个比的前后项的和与它们的差的比，等于第二个比的前后项的和与它们的差的比。即

若\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)（\(a\neq b\)，\(c\neq d\)），那么\(\frac{a + b}{a - b}=\frac{c + d}{c - d}\).

证明过程：

法一：设\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)，则\(a = bk\)，\(c = dk\)，所以\(\frac{a + b}{a - b}=\frac{bk + b}{bk - b}=\frac{k + 1}{k - 1}\)，\(\frac{c + d}{c - d}=\frac{dk + d}{dk - d}=\frac{k + 1}{k - 1}\)，故\(\frac{a + b}{a - b}=\frac{c + d}{c - d}\) 。

法二：由\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)可得\(ad = bc\)，则\(\frac{a + b}{a - b}=\frac{\frac{a}{b}+1}{\frac{a}{b}-1}=\frac{\frac{c}{d}+1}{\frac{c}{d}-1}=\frac{c + d}{c - d}\).

应用举例：已知\(\frac{3}{2}=\frac{x}{y}\)，求\(\frac{3 + 2}{3 - 2}\)与\(\frac{x + y}{x - y}\)的关系，根据合分比定理可得\(\frac{x + y}{x - y}=\frac{3 + 2}{3 - 2}=5\) 。

连比

连比是数学中表示三个或三个以上数量之间比例关系的一种方式。

连比的定义

连比是指三个或三个以上的数连续相比的形式，如\(a:b:c\)，它表示\(a\)、\(b\)、\(c\)这三个数之间的数量关系。

例如，\(2:3:4\)就是一个连比，表示\(2\)、\(3\)、\(4\)这三个数的相对大小关系，其中\(2\)与\(3\)的比值、\(3\)与\(4\)的比值以及\(2\)与\(4\)的比值共同构成了这个连比所描述的比例关系。

连比的性质

各项同乘或同除一个非零数，比值不变：与比的基本性质类似，连比的各项同时乘以或除以同一个非零数，连比的比值不变。

例如，\(2:3:4 = (2\times2):(3\times2):(4\times2)=4:6:8\)，\(2:3:4 = (2\div2):(3\div2):(4\div2)=1:1.5:2\)。

可化为多个简单比：连比可以转化为多个两个数之间的简单比。

例如，\(a:b:c = a:b\)且\(b:c\)，即\(a:b:c\)包含了\(a\)与\(b\)的比以及\(b\)与\(c\)的比这两个简单比，通过这两个简单比可以更清晰地了解三个数之间的相互关系。

将几个简单比化成连比，可以通过找中间量的方法来实现：

两个简单比化成连比

步骤一：找出两个比中的公共项：

例如，有两个简单比\(a:b\)和\(b:c\)，这里的\(b\)就是公共项。

步骤二：统一公共项：根据比的基本性质，将两个比中公共项的数值化为相同。比如，若\(a:b = 2:3\)，\(b:c = 4:5\)，为了统一公共项\(b\)，可将\(a:b = 2:3=(2\times4):(3\times4)=8:12\)，\(b:c = 4:5=(4\times3):(5\times3)=12:15\)。

步骤三：写出连比：此时\(b\)的数值都统一为\(12\)，则连比为\(a:b:c = 8:12:15\)。

三个及以上简单比化成连比

步骤一：先选取其中两个简单比，找出公共项并统一：

例如，有三个简单比\(a:b = 3:4\)，\(b:c = 5:6\)，\(c:d = 7:8\)。先对前两个比进行处理，将\(a:b = 3:4=(3\times5):(4\times5)=15:20\)，\(b:c = 5:6=(5\times4):(6\times4)=20:24\)，得到\(a:b:c = 15:20:24\)。

步骤二：将得到的连比与第三个比继续找公共项并统一：对于\(a:b:c = 15:20:24\)和\(c:d = 7:8\)，把\(c\)统一，\(a:b:c = 15:20:24=(15\times7):(20\times7):(24\times7)=105:140:168\)，\(c:d = 7:8=(7\times24):(8\times24)=168:192\)。

步骤三：写出最终连比：所以\(a:b:c:d = 105:140:168:192\)，可进一步化简为\(a:b:c:d = 35:46\frac{2}{3}:56:64\)，如果题目要求是最简整数连比，则为\(a:b:c:d = 105:140:168:192\)。

注意事项

在统一公共项时，要根据比的基本性质，确保比值不变。

化简连比时，要找出各项的最大公因数，将连比化为最简形式。

如果简单比中存在分数或小数，可先将其化为整数比，再按照上述方法进行连比的转化。

例如，若有\(a:b = 1.5:2\)，可先化为\(a:b = 3:4\)，再与其他比进行连比的转化。

连比的化简

找最大公因数：化简连比时，通常先找出这几个数的最大公因数，然后将各项同时除以这个最大公因数。

例如，对于连比\(12:18:24\)，先求出\(12\)、\(18\)、\(24\)的最大公因数为\(6\)，然后将各项同时除以\(6\)，得到\((12\div6):(18\div6):(24\div6)=2:3:4\)。

逐步化简：也可以通过逐步化简两个数之间的比来化简连比。

例如，对于\(12:18:24\)，先化简\(12:18=(12\div6):(18\div6)=2:3\)，再化简\(3:24=(3\div3):(24\div3)=1:8\)，此时得到\(2:3:8\)，但发现\(2\)与\(8\)还存在公因数\(2\)，继续化简\(2:8=(2\div2):(8\div2)=1:4\)，最终得到\(2:3:4\)。

连比的应用

按比例分配问题：在解决按比例分配问题时，连比可以明确各部分数量之间的比例关系，从而更方便地计算各部分的具体数量。

例如，将\(360\)元按照\(2:3:4\)的比例分配给甲、乙、丙三人，首先求出总份数\(2 + 3 + 4 = 9\)份，然后计算每份的金额为\(360\div9 = 40\)元，接着根据各自所占份数求出甲分得\(40\times2 = 80\)元，乙分得\(40\times3 = 120\)元，丙分得\(40\times4 = 160\)元。

几何图形问题：在几何图形中，连比常用于描述不同线段、角度或面积之间的比例关系。

例如，在一个三角形中，已知三个角的度数比为\(1:2:3\)，根据三角形内角和为\(180^{\circ}\)，可以求出三个角的度数分别为\(180\times\frac{1}{1 + 2 + 3}=30^{\circ}\)，\(180\times\frac{2}{1 + 2 + 3}=60^{\circ}\)，\(180\times\frac{3}{1 + 2 + 3}=90^{\circ}\)。

混合物问题：在化学或其他涉及混合物的问题中，连比可以表示不同成分之间的比例。

例如，一种合金由铜、锌、镍三种金属按\(3:2:1\)的比例混合而成，已知合金总质量为\(60\)克，则可求出铜的质量为\(60\times\frac{3}{3 + 2 + 1}=30\)克，锌的质量为\(60\times\frac{2}{3 + 2 + 1}=20\)克，镍的质量为\(60\times\frac{1}{3 + 2 + 1}=10\)克。

小学数学