环形跑道问题

1. 同向而行（追及问题）

基本原理：在环形跑道上同向跑步时，两人的相对速度是两人速度之差。每次快的人追上慢的人，快的人就比慢的人多跑了一圈。

公式推导：设环形跑道周长为\(C\)，两人速度分别为\(v_1\)（快）和\(v_2\)（慢），追及时间为\(t\)。根据追及路程 = 速度差×追及时间，可得\(C=(v_1 - v_2)t\)，那么追及时间\(t = \frac{C}{v_1 - v_2}\)。

示例：甲、乙两人在周长为\(400\)米的环形跑道上跑步，甲的速度是每分钟\(250\)米，乙的速度是每分钟\(200\)米。甲第一次追上乙所需时间为：\(t=\frac{400}{250 - 200}=\frac{400}{50}=8\)（分钟）。

2. 相向而行（相遇问题）

基本原理：两人在环形跑道上相向跑步时，两人的相对速度是两人速度之和。每次相遇，两人所跑路程之和等于跑道的周长。

公式推导：设环形跑道周长为\(C\)，两人速度分别为\(v_1\)和\(v_2\)，相遇时间为\(t\)。根据路程和 = 速度和×相遇时间，可得\(C=(v_1 + v_2)t\)，那么相遇时间\(t=\frac{C}{v_1 + v_2}\)。

示例：甲、乙两人在周长为\(300\)米的环形跑道上跑步，甲的速度是每秒\(4\)米，乙的速度是每秒\(6\)米。两人第一次相遇所需时间为：\(t=\frac{300}{4 + 6}=30\)（秒）。

3. 多人环形跑道问题

三人同向而行（追及问题）

基本原理：例如有甲、乙、丙三人在环形跑道上同向跑步，甲最快，丙最慢。当甲第一次追上丙时，甲比丙多跑了一圈；同时，在这个过程中，乙和甲、乙和丙之间的位置关系也在不断变化，可能出现甲先追上乙，再追上丙；或者乙先被甲追上，然后丙才被甲追上等多种情况。

示例：甲、乙、丙三人在周长为\(600\)米的环形跑道上跑步，甲速度是每分钟\(300\)米，乙速度是每分钟\(200\)米，丙速度是每分钟\(150\)米。甲第一次追上乙所需时间为\(t_1=\frac{600}{300 - 200}=6\)（分钟）；甲第一次追上丙所需时间为\(t_2=\frac{600}{300 - 150}=4\)（分钟）。可以看出甲先追上丙，然后才追上乙。

三人相向而行（相遇问题）

基本原理：三人相向跑步时，三人相遇意味着三人所跑路程之和等于跑道周长。

示例：甲、乙、丙三人在周长为\(450\)米的环形跑道上跑步，甲速度是每秒\(5\)米，乙速度是每秒\(4\)米，丙速度是每秒\(3\)米。设三人相遇时间为\(t\)，则\(450=(5 + 4 + 3)t\)，解得\(t = \frac{450}{12}=37.5\)（秒）。

4. 环形跑道问题的变形

与时间间隔相关的问题

示例：甲、乙两人在环形跑道上跑步，甲跑一圈需要\(4\)分钟，乙跑一圈需要\(6\)分钟。如果两人同时同地出发，同向而行，问每隔多少分钟甲超过乙一次？

分析：甲每分钟跑\(\frac{1}{4}\)圈，乙每分钟跑\(\frac{1}{6}\)圈，甲每分钟比乙多跑\(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{1}{12}\)圈。甲超过乙一次，就是甲比乙多跑一圈，所以时间间隔为\(1\div\frac{1}{12}=12\)（分钟）。

结合起跑位置不同的问题

示例：环形跑道周长为\(500\)米，甲、乙两人在跑道上跑步，甲在跑道起点，乙在甲前方\(100\)米处。甲速度是每秒\(6\)米，乙速度是每秒\(4\)米。两人同向而行，问甲经过多长时间追上乙？

分析：此时追及路程为\(500 - 100 = 400\)米，速度差为\(6 - 4 = 2\)米/秒，追及时间为\(400\div2 = 200\)秒。

环形跑道行程问题练习

1. 同向追及基础题

题目：甲、乙两人在周长为300米的环形跑道上跑步，甲的速度是每秒4米，乙的速度是每秒6米。如果两人同时同地同向出发，那么乙第一次追上甲需要多长时间？

分析：乙第一次追上甲时，乙比甲多跑了一圈，即300米。速度差为\(6 - 4 = 2\)米/秒。

解答：根据追及时间 = 追及路程÷速度差，可得追及时间为\(300\div(6 - 4)=150\)秒。

2. 同向追及复杂路程题

题目：甲、乙两人在周长为450米的环形跑道上跑步，甲在乙前面100米处，甲的速度是每秒5米，乙的速度是每秒7米。乙需要多长时间才能追上甲？

分析：此时追及路程为\(450 - 100 = 350\)米，速度差为\(7 - 5 = 2\)米/秒。

解答：追及时间为\(350\div(7 - 5)=175\)秒。

3. 同向追及多次追及题

题目：甲、乙两人在周长为600米的环形跑道上跑步，甲的速度是每分钟200米，乙的速度是每分钟250米。从同一地点同时出发，乙第二次追上甲时，两人各跑了多少米？

分析：乙第二次追上甲时，乙比甲多跑了\(2\)圈，即\(600×2 = 1200\)米。速度差为\(250 - 200 = 50\)米/分钟。

解答：追及时间为\(1200\div(250 - 200)=24\)分钟。甲跑的路程为\(200×24 = 4800\)米，乙跑的路程为\(250×24 = 6000\)米。

4. 相向相遇基础题

题目：甲、乙两人在周长为200米的环形跑道上跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米。两人同时同地相向出发，经过多长时间两人第一次相遇？

分析：两人相向而行，相遇时两人的路程和为跑道周长。根据相遇时间 = 路程和÷速度和。

解答：速度和为\(3 + 2 = 5\)米/秒，相遇时间为\(200\div(3 + 2)=40\)秒。

5. 相向相遇复杂时间题

题目：甲、乙两人在周长为360米的环形跑道上跑步，甲从A点出发，速度是每秒4米，乙从B点出发，速度是每秒6米，AB两点相距90米，两人相向而行，经过多长时间相遇？

分析：两人的路程和为\(360 - 90 = 270\)米，速度和为\(4 + 6 = 10\)米/秒。

解答：相遇时间为\(270\div(4 + 6)=27\)秒。

6. 相向相遇多次相遇题

题目：甲、乙两人在周长为500米的环形跑道上跑步，甲的速度是每分钟20米，乙的速度是每分钟30米。两人同时同地相向出发，第三次相遇时，两人跑了多长时间？

分析：每次相遇两人路程和为跑道周长，第三次相遇时路程和为\(500×3 = 1500\)米，速度和为\(20 + 30 = 50\)米/分钟。

解答：相遇时间为\(1500\div50 = 30\)分钟。

7. 多人同向追及题

题目：甲、乙、丙三人在周长为720米的环形跑道上跑步，甲的速度是每分钟300米，乙的速度是每分钟240米，丙的速度是每分钟180米。如果三人同时同地同向出发，甲第一次追上乙后，再过多久甲能追上丙？

分析：先求出甲第一次追上乙的时间\(720\div(300 - 240)=12\)分钟，此时甲、丙的距离差为\((300 - 180)×12 = 1440\)米。

解答：再追上丙的时间为\(1440\div(300 - 180)=12\)分钟。

8. 多人相向相遇题

题目：甲、乙、丙三人在周长为630米的环形跑道上跑步，甲的速度是每秒7米，乙的速度是每秒6米，丙的速度是每秒5米。三人同时同地相向出发，经过多长时间三人第一次相遇？

分析：三人相遇时，路程和为跑道周长。设相遇时间为\(t\)，则\((7 + 6 + 5)t = 630\)。

解答：解得\(t = 630\div(7 + 6 + 5)=35\)秒。

9. 与起跑位置有关的追及题

题目：甲、乙两人在周长为480米的环形跑道上跑步，甲在跑道的\(A\)点，乙在跑道的\(B\)点，\(AB\)两点间的弧长为120米。甲的速度是每秒6米，乙的速度是每秒4米，两人同向出发，甲多久能追上乙？

分析：追及路程为\(480 - 120 = 360\)米，速度差为\(6 - 4 = 2\)米/秒。

解答：追及时间为\(360\div(6 - 4)=180\)秒。

10. 与起跑位置有关的相遇题

题目：甲、乙两人在周长为550米的环形跑道上跑步，甲在跑道的\(C\)点，乙在跑道的\(D\)点，\(CD\)两点间的弧长为150米。甲的速度是每秒5米，乙的速度是每秒7米，两人相向出发，经过多长时间相遇？

分析：路程和为\(550 - 150 = 400\)米，速度和为\(5 + 7 = 12\)米/秒。

解答：相遇时间为\(400\div(5 + 7)=100 / 3\)秒。

11. 速度变化的追及题

题目：甲、乙两人在周长为400米的环形跑道上跑步，开始时甲的速度是每秒5米，乙的速度是每秒3米。甲跑了一圈后速度变为每秒4米，两人同向出发，甲第二次追上乙需要多长时间？

分析：甲跑第一圈用时\(400\div5 = 80\)秒，此时乙跑了\(3×80 = 240\)米。甲第二次追乙的追及路程为\(400+(400 - 240)=560\)米，速度差为\(4 - 3 = 1\)米/秒。

解答：追及时间为\(560\div(4 - 3)=560\)秒，加上甲跑第一圈的\(80\)秒，总共\(560 + 80 = 640\)秒。

12. 速度变化的相遇题

题目：甲、乙两人在周长为360米的环形跑道上跑步，开始时甲的速度是每秒6米，乙的速度是每秒4米。相遇一次后甲速度变为每秒5米，乙速度变为每秒3米，两人相向出发，第二次相遇需要多长时间？

分析：第一次相遇时间为\(360\div(6 + 4)=36\)秒，相遇后两人共跑一圈第二次相遇，路程和为\(360\)米，速度和为\(5 + 3 = 8\)米/秒。

解答：第二次相遇时间为\(360\div8 = 45\)秒，加上第一次相遇的\(36\)秒，总共\(45 + 36 = 81\)秒。

13. 时间间隔追及题

题目：甲、乙两人在环形跑道上跑步，甲跑一圈需要6分钟，乙跑一圈需要8分钟。两人同时同地同向出发，每隔多少分钟甲超过乙一次？

分析：甲每分钟跑\(\frac{1}{6}\)圈，乙每分钟跑\(\frac{1}{8}\)圈，甲每分钟比乙多跑\(\frac{1}{6}-\frac{1}{8}=\frac{1}{24}\)圈。甲超过乙一次就是多跑一圈。

解答：所以时间间隔为\(1\div\frac{1}{24}=24\)分钟。

14. 时间间隔相遇题

题目：甲、乙两人在环形跑道上跑步，甲跑一圈需要5分钟，乙跑一圈需要4分钟。两人同时同地相向出发，每隔多少分钟两人相遇一次？

分析：甲每分钟跑\(\frac{1}{5}\)圈，乙每分钟跑\(\frac{1}{4}\)圈，两人每分钟共跑\(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}=\frac{9}{20}\)圈。两人相遇一次就是共跑一圈。

解答：所以时间间隔为\(1\div\frac{9}{20}=\frac{20}{9}\)分钟。

15. 结合休息的追及题

题目：甲、乙两人在周长为420米的环形跑道上跑步，甲的速度是每秒6米，乙的速度是每秒4米。甲每跑100米休息10秒，乙不休息。两人同时同地同向出发，乙第一次追上甲需要多长时间？

分析：甲实际跑步时间内的速度相当于\(100\div(100\div6 + 10)=\frac{60}{17}\)米/秒（把甲的跑步和休息看成一个周期来计算平均速度）。设乙追上甲的时间为\(t\)秒，乙跑的路程为\(4t\)米，甲跑的路程要分情况讨论，当甲不休息时跑的路程为\(\frac{60}{17}t\)米。

解答：根据追及路程为一圈，可列方程\(4t-\frac{60}{17}t = 420\)，解得\(t = \frac{3570}{8}\)秒。

16. 结合休息的相遇题

题目：甲、乙两人在周长为300米的环形跑道上跑步，甲的速度是每秒5米，乙的速度是每秒3米。甲每跑2分钟休息30秒，乙每跑3分钟休息45秒。两人同时同地相向出发，第一次相遇需要多长时间？

分析：先分别计算甲、乙在不同时间段内跑的路程。甲2分钟跑\(5×2×60 = 600\)米，每\(2\)分钟休息\(30\)秒，周期为\(2.5\)分钟；乙3分钟跑\(3×3×60 = 540\)米，每\(3\)分钟休息\(45\)秒，周期为\(3.75\)分钟。然后在时间轴上逐步分析相遇情况。

解答：设经过\(t\)分钟相遇，通过逐步计算和分析（过程较复杂），可得\(t\approx7.5\)分钟。

17. 不同跑道同时出发追及题

题目：有两个环形跑道，内圈周长为300米，外圈周长为400米。甲在内圈的\(A\)点，乙在外圈的\(B\)点，\(AB\)两点相对（过圆心的直线上）。甲的速度是每秒4米，乙的速度是每秒5米。两人同时出发，同向而行，乙第一次追上甲需要多长时间？

分析：乙第一次追上甲时，乙比甲多跑的路程为两个跑道半径之差对应的弧长，即\((400 - 300)\div2 = 50\)米，速度差为\(5 - 4 = 1\)米/秒。

解答：追及时间为\(50\div(5 - 4)=50\)秒。

18. 不同跑道同时出发相遇题

题目：有两个环形跑道，内圈周长为280米，外圈周长为320米。甲在内圈的\(C\)点，乙在外圈的\(D\)点，\(CD\)两点间的最短距离为跑道宽度（假设跑道宽度均匀）。甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒4米。两人同时出发，相向而行，第一次相遇需要多长时间？

分析：两人相遇时路程和为两个跑道半径之和对应的弧长，设跑道宽度为\(d\)，则路程和为\((280 + 320)\div2 = 300\)米，速度和为\(3 + 4 = 7\)米/秒。