裂项相消法求
一、相邻两个连续整数乘积的和
1. 数列形式及示例
数列的通项公式为\(a_{n}=n(n + 1)\)，其前\(n\)项和
\(S_{n}=1×2 + 2×3 + 3×4 + \cdots + n(n + 1)\)。
2. 求和方法（裂项相消法）
把通项\(n(n + 1)\)进行裂项，可表示为
\(n(n + 1)=\frac{1}{3}[n(n + 1)(n + 2)-(n - 1)n(n + 1)]\)。
则前\(n\)项和\(S_{n}\)为：
\(S_{n}=\frac{1}{3}[(1×2×3 - 0×1×2)+(2×3×4 - 1×2×3)\)
\(+\cdots +[n(n + 1)(n + 2)-(n - 1)n(n + 1)]]\)
\(=\frac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)\)
例如，求\(1×2 + 2×3 + 3×4 + \cdots + 10×11\)的和，将\(n = 10\)代入上述公式可得：
\(S_{10}=\frac{1}{3}×10×(11)×(12)\)
\(=440\)
二、相邻三个连续整数乘积的和
1. 数列形式及示例
通项公式为\(a_{n}=n(n + 1)(n + 2)\)，前\(n\)项和
\(S_{n}=1×2×3 + 2×3×4 + 3×4×5 + \cdots + n(n + 1)(n + 2)\)。
2. 求和方法（裂项相消法）
对通项进行裂项
\(n(n + 1)(n + 2)=\frac{1}{4}[n(n + 1)(n + 2)(n + 3)-(n - 1)n(n + 1)(n + 2)]\)。
那么\(S_{n}\)可表示为：
\(S_{n}=\frac{1}{4}[(1×2×3×4 - 0×1×2×3)+(2×3×4×5 - 1×2×3×4))\)
\(+\cdots +[n(n + 1)(n + 2)(n + 3)-(n - 1)n(n + 1)(n + 2)]]\)
\(=\frac{1}{4}n(n + 1)(n + 2)(n + 3)\)
比如，求\(1×2×3 + 2×3×4 + 3×4×5 + \cdots + 5×6×7\)的和
这里\(n = 5\)，代入可得：
\(S_{5}=\frac{1}{4}×5×(6)×(7)×(8)\)
\(=420\)
三、更一般的连续整数的积的和（以\(k\)个连续整数乘积为例，\(k\geqslant2\)）
1. 数列形式及规律
通项公式可表示为\(a_{n}=n(n + 1)(n + 2)\cdots(n + k - 1)\)，其前\(n\)项和\(S_{n}\)同样可以尝试用裂项相消法来求解。
2. 求和方法（裂项相消法拓展）
通项\(n(n + 1)(n + 2)\cdots(n + k - 1)\)可裂项为：
\(\frac{1}{k + 1}[n(n + 1)(n + 2)\cdots(n + k)-(n - 1)n(n + 1)\cdots(n + k - 1)]\)
则前\(n\)项和\(S_{n}\)为：
\(S_{n}=\frac{1}{k + 1}[(1×2×3\cdots(k + 1)-0×1×2\cdots k)\)
\(+(2×3×4\cdots(k + 2)-1×2×3\cdots(k + 1)))\)
\(+\cdots +[n(n + 1)(n + 2)\cdots(n + k)-(n - 1)n(n + 1)\cdots(n + k - 1)]]\)
\(=\frac{1}{k + 1}n(n + 1)(n + 2)\cdots(n + k)\)
总之，对于连续整数的积的和这类数列求和问题，裂项相消法是一种常用且有效的方法，
关键在于合理地对通项进行裂项处理，进而实现求和化简的目的。
四、混合形式的连续整数积的和
例题：求\(1\times3 + 2\times4 + 3\times5+\cdots+ 50\times52\)的和。
解法：
先将通项\(n(n + 2)=n^2 + 2n\)。
那么原式的和\(S_{50}\)可以拆分为两部分，一部分是\(n^2\)的和，另一部分是\(2n\)的和。
根据自然数平方和公式\(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}=\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\)，以及等差数列求和公式
\(2\times(1 + 2 + 3+\cdots + n)=2\times\frac{n(n + 1)}{2}=n(n + 1)\)。
所以\(S_{50}=\frac{50\times(50 + 1)(2\times50 + 1)}{6}+50\times(50 + 1)\)
\(=\frac{50\times51\times101}{6}+50\times51\)
\(=\frac{257550}{6}+2550\)
\(=42925+2550\)
\(=45475\)
五、相邻四个连续整数乘积的和
例题一
题目：求\(1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + \cdots + 10×11×12×13\)的和。
解法：
1. 对通项进行裂项处理：
对于数列通项\(n(n + 1)(n + 2)(n + 3)\)，采用裂项相消法，将其裂项为
\(n(n + 1)(n + 2)(n + 3)\)
\(=\frac{1}{5}[n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)-(n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n + 3)]\)。
2. 计算前\(n\)项和：
设该数列的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，那么对于本题求\(S_{10}\)，根据裂项后的式子可得：
\(S_{10}=\frac{1}{5}[(1×2×3×4×5 - 0×1×2×3×4)+(2×3×4×5×6 - 1×2×3×4×5)\)
\(+\cdots+(10×11×12×13×14 - 9×10×11×12×13)]\)
\(=\frac{1}{5}×(10×11×12×13×14)\)
\(=\frac{10×11×12×13×14}{5}\)
\(=43680\)
例题二
题目：计算\(3×4×5×6 + 4×5×6×7 + 5×6×7×8 + \cdots + 12×13×14×15\)的和。
解法：
1. 先进行通项裂项：
同样，通项\(n(n + 1)(n + 2)(n + 3)\)裂项为
\(n(n + 1)(n + 2)(n + 3)\)
\(=\frac{1}{5}[n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)-(n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n + 3)]\)。
2. 确定所求与前\(n\)项和的关系：
设整个数列\(n(n + 1)(n + 2)(n + 3)\)（从\(n = 1\)开始）的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，本题
要求的是\(S_{12} - S_{2}\)（因为前面\(1×2×3×4\)到\(2×3×4×5\)这\(2\)项不在所求范围内）。
3. 分别计算并相减得到结果：
\(S_{12}=\frac{1}{5}×(12×11×10×9×8)\)
\(S_{2}=\frac{1}{5}×(2×3×4×5×6)\)
\(S_{12}-S_{2}=\frac{1}{5}×(12×11×10×9×8 - 2×3×4×5×6)\)
\(=\frac{1}{5}×(95040 - 720)\)
\(=\frac{1}{5}×94320\)
\(=18864\)
例题三
题目：已知数列\(a_{n}=n(n + 1)(n + 2)(n + 3)\)，其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，
若\(S_{n}=27720\)，求\(n\)的值。
解法：
1. 根据裂项相消法得出\(S_{n}\)的表达式：
由前面裂项可知\(S_{n}=\frac{1}{5}n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)\)。
2. 列方程求解\(n\)的值：
因为\(S_{n}=27720\)，所以\(\frac{1}{5}n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)=27720\)，即
\(n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)=138600\)。
通过试值法来确定\(n\)的值，从较小的数开始尝试：
当\(n = 9\)时：9×(9 + 1)×(9 + 2)×(9 + 3)×(9 + 4)=9×10×11×12×13=154440
当\(n = 8\)时：8×(8 + 1)×(8 + 2)×(8 + 3)×(8 + 4)=8×9×10×11×12=95040
当\(n = 7\)时：7×(7 + 1)×(7 + 2)×(7 + 3)×(7 + 4)=7×8×9×10×11=55440
当\(n = 6\)时：6×(6 + 1)×(6 + 2)×(6 + 3)×(6 + 4)=6×7×8×9×10=30240
当\(n = 5\)时：5×(5 + 1)×(5 + 2)×(5 + 3)×(5 + 4)=5×6×7×8×9=15120
当\(n = 4\)时：4×(4 + 1)×(4 + 2)×(4 + 3)×(4 + 4)=4×5×6×7×8=6720
当\(n = 3\)时：3×(3 + 1)×(3 + 2)×(3 + 3)×(3 + 4)=3×4×5×6×7=2520
当\(n = 2\)时：2×(2 + 1)×(2 + 2)×(2 + 3)×(2 + 4)=2×3×4×5×6=720
当\(n = 1\)时：1×(1 + 1)×(1 + 2)×(1 + 3)×(1 + 4)=1×2×3×4×5=120
经过逐步尝试可以发现，当\(n = 8\)时，\(S_{n}\)的值最接近\(27720\)，且
满足\(S_{8}=\frac{1}{5}×(8×9×10×11×12)=27720\)，所以\(n = 8\)。
六、相邻五个连续整数乘积的和
例题一
题目：求\(1×2×3×4×5 + 2×3×4×5×6 + \cdots + 10×11×12×13×14\)的和。
解法：
1. 对通项进行裂项：
对于数列的通项\(n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)\)，采用裂项相消法，将其裂项为：
\(n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)\)
\(=\frac{1}{6}[(n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)(n + 5))-((n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4))]\)
2. 计算前\(n\)项和：
设该数列的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，对于本题求\(S_{10}\)，根据裂项后的式子可得：
\(S_{10}=\frac{1}{6}[(1×2×3×4×5×6 - 0×1×2×3×4×5)\)
\(+(2×3×4×5×6×7 - 1×2×3×4×5×6))\)
\(+\cdots+(10×11×12×13×14×15 - 9×10×11×12×13×14)]\)
\(=\frac{1}{6}×(10×11×12×13×14×15)\)
\(=\frac{10×11×12×13×14×15}{6}\)
\(=554400\)
例题二
题目：计算\(4×5×6×7×8 + 5×6×7×8×9 + \cdots + 15×16×17×18×19\)的和。
解法：
1. 先进行通项裂项（同例题一的裂项方式）：
通项\(n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)\)裂项为
\(\frac{1}{6}[(n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)(n + 5))-((n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4))]\)。
2. 确定所求与前\(n\)项和的关系：
设整个数列\(n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)\)（从\(n = 1\)开始）的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，本题
要求的是\(S_{15} - S_{3}\)（因为前面\(1×2×3×4×5\)到\(3×4×5×6×7\)这\(3\)项不在所求范围内）。
3. 分别计算并相减得出结果：
\(S_{15}=\frac{1}{6}×(15×16×17×18×19×20)\)
\(S_{3}=\frac{1}{6}×(3×4×5×6×7×8)\)
\(S_{15}-S_{3}=\frac{1}{6}×(15×16×17×18×19×20 - 3×4×5×6×7×8)\)
\(=\frac{1}{6}×(11628000 - 20160)\)
\(=\frac{1}{6}×11607840\)
\(=1934640\)
例题三
题目：已知数列\(a_{n}=n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)\)，其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若\(S_{n}=798300\)，求\(n\)的值。
解法：
1. 根据裂项相消法得出\(S_{n}\)的表达式：
由前面裂项可知\(S_{n}=\frac{1}{6}n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)(n + 5)\)。
2. 列方程求解\(n\)的值：
因为\(S_{n}=798300\)，所以
\(\frac{1}{6}n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)(n + 5)=798300\)，
即\(n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)(n + 5)=4789800\)。
通过试值法来确定\(n\)的值，从较小的数开始尝试：
当\(n = 10\)时：10×(10 + 1)×(10 + 2)×(10 + 3)×(10 + 4)×(10 + 5)=10×11×12×13×14×15
=3603600
当\(n = 9\)时：9×(9 + 1)×(9 + 2)×(9 + 3)×(9 + 4)×(9 + 5)=9×10×11×12×13×14=2177280
当\(n = 8\)时：8×(8 + 1)×(8 + 2)×(8 + 3)×(8 + 4)×(8 + 5)=8×9×10×11×12×13=1247400
当\(n = 7\)时：7×(7 + 1)×(7 + 2)×(7 + 3)×(7 + 4)×(7 + 5)=7×8×9×10×11×12=665280
当\(n = 6\)时：6×(6 + 1)×(6 + 2)×(6 + 3)×(6 + 4)×(6 + 5)=6×7×8×9×10×11=332640
当\(n = 5\)时：5×(5 + 1)×(5 + 2)×(5 + 3)×(5 + 4)×(5 + 5)=5×6×7×8×9×10=151200
当\(n = 4\)时：4×(4 + 1)×(4 + 2)×(4 + 3)×(4 + 4)×(4 + 5)=4×5×6×7×8×9=60480
当\(n = 3\)时：3×(3 + 1)×(3 + 2)×(3 + 3)×(3 + 4)×(3 + 5)=3×4×5×6×7×8=20160
当\(n = 2\)时：2×(2 + 1)×(2 + 2)×(2 + 3)×(2 + 4)×(2 + 5)=2×3×4×5×6×7=5040
当\(n = 1\)时：1×(1 + 1)×(1 + 2)×(1 + 3)×(1 + 4)×(1 + 5)=1×2×3×4×5×6=720
经过逐步尝试可以发现，当\(n = 8\)时，\(S_{n}\)的值最接近\(798300\)，
且\(\frac{1}{6}×(8×9×10×11×12×13)=798300\)，所以\(n = 8\)。
这些例题充分展示了此类问题的常见考查形式以及解题思路，希望能帮助你更好地掌握连续五个连续整数的积的和的计算方法。
