分数应用题：抓住不变量
1. 理解不变量的重要性
在分数应用题中，有些量是始终保持不变的。抓住这个不变量，就相当于找到了问题的“定海神针”，可以帮助我们建立等式关系，从而更好地理解和解决问题。因为其他量可能会随着条件的变化而变化，而不变量能作为一个稳定的参照，让我们梳理清楚各种数量之间的关联。
2. 寻找不变量的类型及方法
总量不变
举例：有一桶油，第一次倒出\(\frac{1}{3}\)，第二次倒出剩下的\(\frac{1}{4}\)，此时桶里还剩下30升油，这桶油原来有多少升？
分析：在这个问题中，油的总量是不变的。我们可以先算出第二次倒出的油占总量的比例。第一次倒出\(\frac{1}{3}\)后，剩下的油是总量的\(1 - \frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)。第二次倒出剩下的\(\frac{1}{4}\)，也就是倒出总量的\(\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{6}\)。那么总共倒出的油是\(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\)，剩下的油占总量的\(1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)。已知剩下30升油，所以原来这桶油有\(30\div\frac{1}{2}=60\)升。
部分量不变
举例：甲、乙两人原有钱数的比是\(3:4\)，后来甲给乙50元，这时甲的钱数是乙钱数的\(\frac{1}{2}\)，甲、乙两人原来各有多少钱？
分析：在这个过程中，两人的总钱数是不变的。我们可以把总钱数看作单位“1”。原来甲的钱数占总钱数的\(\frac{3}{3 + 4}=\frac{3}{7}\)，甲给乙50元后，甲的钱数占总钱数的\(\frac{1}{1 + 2}=\frac{1}{3}\)。这中间的变化量就是因为甲给了乙50元，所以50元占总钱数的\(\frac{3}{7}-\frac{1}{3}=\frac{9 - 7}{21}=\frac{2}{21}\)。则总钱数是\(50\div\frac{2}{21}=525\)元。那么甲原来的钱数是\(525\times\frac{3}{7}=225\)元，乙原来的钱数是\(525\times\frac{4}{7}=300\)元。
差不变
举例：小明和小红的年龄差是5岁，小明年龄是小红年龄的\(\frac{3}{4}\)，两人年龄各是多少岁？
分析：年龄差是不变的。设小红年龄为\(x\)岁，那么小明年龄为\(\frac{3}{4}x\)岁。根据年龄差可列方程\(x-\frac{3}{4}x = 5\)，解得\(x = 20\)岁。所以小红年龄是20岁，小明年龄是\(\frac{3}{4}\times20 = 15\)岁。
3. 通过不变量列方程求解的步骤和技巧
步骤一：确定不变量
仔细分析题目，判断是总量不变、部分量不变还是差不变。比如在涉及溶液混合的问题中，溶质的总量通常是不变的；在两人相互给予物品的问题中，两人的物品总数可能是不变的；在年龄问题中，年龄差往往是不变的。
步骤二：根据不变量建立等式关系
如果是总量不变，就用变化前后的总量表达式相等来列方程。例如，对于一个有多种成分的混合物，在加入或取出某些成分后，混合物的总量不变，可设原来混合物的总量为\(x\)，根据变化后的情况列出关于\(x\)的等式。
若是部分量不变，就找出这个部分量在不同情况下与其他量的关系，用等式表示出来。如在比例变化的问题中，某一个元素的实际数量不变，通过它在前后比例中的地位来建立方程。
当差不变时，根据两个量的差在不同条件下始终相等来构建方程。例如在行程问题中，两人的速度差不变，结合路程和时间的关系列出方程。
步骤三：解方程并检验
按照常规的解方程方法求解方程。将得到的结果代入原题目中，检查是否符合题目中的各种条件，特别是涉及不变量的条件。例如，在计算出年龄后，检查两人的年龄差是否符合题目给定的值。
分数应用题：抓住不变量
1. 基础练习题
（1）某工厂有两个车间，第一车间人数占全厂总人数的\(\frac{3}{5}\)，后来从第一车间调走了30人到第二车间，这时第一车间人数占全厂总人数的\(\frac{3}{7}\)。求全厂原来有多少人？
（2）有一堆糖果，其中奶糖占\(\frac{9}{20}\)，再放入16块水果糖后，奶糖就只占\(\frac{1}{4}\)。这堆糖果原来有多少块？
（3）修一条路，已修的长度是未修长度的\(\frac{1}{3}\)，再修300米后，已修的长度变成未修长度的\(\frac{1}{2}\)。这条路全长多少米？
2. 提高练习题
（1）甲、乙两人原来的钱数比是\(5:3\)，甲给乙10元后，甲、乙两人的钱数比变为\(7:5\)。甲、乙两人原来各有多少钱？
（2）阅览室里有36名同学在看书，其中女生占\(\frac{4}{9}\)，后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所有看书人数的\(\frac{9}{19}\)。后来又来了几名女生？
（3）学校组织学生参加植树活动，六年级学生植树棵数占全校植树总棵数的\(\frac{2}{5}\)，五年级学生植树棵数是六年级学生植树棵数的\(\frac{3}{4}\)，其他年级学生植树棵数比五年级学生植树棵数少20棵。全校共植树多少棵？
3. 拓展练习题
（1）A、B两种商品的价格比是\(7:3\)，如果它们的价格分别上涨70元，那么它们的价格比变为\(7:4\)。A、B两种商品原来的价格各是多少元？
（2）有一个分数，分子与分母的和是122，如果分子、分母都减去19，得到的分数化简后是\(\frac{1}{5}\)。原来的分数是多少？
（3）某容器中装有盐水。老师让小明再倒入5%的盐水800克，以配成20%的盐水。但小明却错误地倒入了800克水。老师发现后说，没关系，你再倒入第三种盐水400克，就可得到20%的盐水了。那么第三种盐水的浓度是多少？
