鸡兔同笼
鸡兔同笼问题是一个经典的数学问题，它的基本形式是：
已知鸡和兔的总头数和总脚数，求鸡和兔各有多少只。
其原理是利用鸡和兔脚的数量差异来建立等式关系求解。鸡有\(2\)只脚，兔有\(4\)只脚。
1. 假设法（假设全是鸡）
思路：假设笼子里全部是鸡，根据鸡兔的总头数算出此时的脚数，与实际脚数对比，求出脚数的差值。这个差值是因为把兔当成鸡少算的脚数，用差值除以每只兔和鸡脚数的差，就可以得到兔的数量，进而求出鸡的数量。
例如：鸡兔同笼，头共\(35\)个，脚共\(94\)只。假设全是鸡，那么脚有\(35\times2 = 70\)只。实际脚数比假设多\(94 - 70 = 24\)只。每只兔比鸡多\(4 - 2 = 2\)只脚，所以兔有\(24\div2 = 12\)只，鸡有\(35 - 12 = 23\)只。
2. 假设法（假设全是兔）
思路：假设全部是兔，算出此时的脚数，与实际脚数对比产生差值。这个差值是因为把鸡当成兔多算的脚数，用差值除以每只兔和鸡脚数的差，得到鸡的数量，再求出兔的数量。
例如：对于上述例子，假设全是兔，脚有\(35\times4 = 140\)只。实际脚数比假设少\(140 - 94 = 46\)只。每只鸡比兔少\(4 - 2 = 2\)只脚，所以鸡有\(46\div2 = 23\)只，兔有\(35 - 23 = 12\)只。
3. 方程法（一元一次方程）
思路：设鸡或兔的数量为未知数，根据头数和脚数的关系列出方程求解。
例如：设鸡有\(x\)只，则兔有\((35 - x)\)只。根据脚数可列方程\(2x+4\times(35 - x)=94\)。展开得\(2x + 140-4x = 94\)，移项得\(2x = 46\)，解得\(x = 23\)，则兔有\(35 - 23 = 12\)只。
4. 方程法（二元一次方程组）
思路：设鸡有\(x\)只，兔有\(y\)只，根据头数和脚数的两个等量关系列出方程组求解。
例如：设鸡\(x\)只，兔\(y\)只，可得方程组\(\begin{cases}x + y = 35\\2x + 4y = 94\end{cases}\)。由第一个方程得\(x = 35 - y\)，代入第二个方程得\(2(35 - y)+4y = 94\)，后续步骤同一元一次方程解法，解得\(x = 23\)，\(y = 12\)。
5. 抬腿法（一次抬一只脚）
思路：让鸡兔同时抬起一只脚，此时脚数减少头数的数量，再抬起一只脚，此时鸡一屁股坐在地上，剩下的脚都是兔的，且每只兔还剩两只脚，由此可算出兔的数量。
例如：对于头\(35\)个，脚\(94\)只的情况。第一次抬腿后，脚还剩\(94 - 35 = 59\)只；第二次抬腿后，脚还剩\(59 - 35 = 24\)只。这\(24\)只脚都是兔的，且每只兔还剩\(2\)只脚，所以兔有\(24\div2 = 12\)只，鸡有\(35 - 12 = 23\)只。
6. 抬腿法（一次抬两只脚）
思路：让鸡兔同时抬起两只脚，此时鸡没有脚着地，兔还剩两只脚着地，用剩下的脚数除以\(2\)就得到兔的数量。
例如：对于头\(35\)个，脚\(94\)只的情况。同时抬起两只脚后，剩下的脚数为\(94-35\times2 = 24\)只，这都是兔的脚，所以兔有\(24\div2 = 12\)只，鸡有\(35 - 12 = 23\)只。
7. 砍足法（类似抬腿法，假设砍脚）
思路：假设把每只鸡和兔的脚都砍去一半，此时鸡剩\(1\)只脚，兔剩\(2\)只脚，总脚数也变为原来的一半，用此时的脚数减去头数，就得到兔的数量。
例如：对于头\(35\)个，脚\(94\)只的情况。砍脚后总脚数为\(94\div2 = 47\)只，兔的数量为\(47 - 35 = 12\)只，鸡有\(35 - 12 = 23\)只。
8. 分组法（根据脚数倍数关系分组）
思路：因为兔脚是鸡脚的\(2\)倍，所以可以按照一定的组合方式分组，通过计算组数来确定鸡兔的数量。
例如：把\(1\)只兔和\(2\)只鸡分为一组，一组有\(4 + 2\times2 = 8\)只脚。总脚数\(94\)只，可分组\(94\div8 = 11\cdots\cdots6\)，余数\(6\)只脚正好是\(3\)只鸡的脚数。所以兔有\(11\times1+0 = 11\)只，鸡有\(11\times2 + 3 = 25\)只（这里计算有误，重新计算：94只脚可分组\(94\div8 = 11\cdots\cdots6\)，\(6\)只脚是\(3\)只鸡的脚，所以鸡有\(11\times2+3 = 25\)只，兔有\(11\)只）。
9. 面积法（用长方形面积表示数量关系）
思路：画两个长方形，一个长方形的长表示鸡兔的头数，宽表示鸡脚数；另一个长方形长也表示鸡兔头数，宽表示兔脚数。两个长方形面积之和表示总脚数，通过设未知数，根据面积关系列方程求解。
例如：设鸡有\(x\)只，兔有\(y\)只。长方形\(A\)（表示鸡脚）长为\(x + y\)，宽为\(2\)；长方形\(B\)（表示兔脚）长为\(x + y\)，宽为\(4\)。则\(2x+4y = 94\)，且\(x + y = 35\)，后续解法同二元一次方程组解法。
10. 列表法（穷举法）
思路：分别假设鸡有不同的数量，根据头数算出兔的数量，再计算脚数，直到找到符合实际脚数的情况。
例如：假设鸡有\(0\)只，兔有\(35\)只，脚有\(35\times4 = 140\)只；假设鸡有\(1\)只，兔有\(34\)只，脚有\(1\times2+34\times4 = 138\)只……依次列举，当鸡有\(23\)只，兔有\(12\)只时，脚有\(23\times2 + 12\times4 = 94\)只，符合条件。
