行程问题
1. 基本概念和公式
行程问题主要涉及路程、速度和时间三个量。它们之间的基本关系是：
路程 = 速度×时间
速度 = 路程÷时间
时间 = 路程÷速度
例如，一辆汽车以每小时60千米的速度行驶3小时，根据路程 = 速度×时间，可计算出行驶的路程为60×3 = 180千米。
2. 相遇问题
概念：两个运动物体相向运动，在途中相遇。
公式：
总路程 = （甲速度 + 乙速度）×相遇时间
相遇时间 = 总路程÷（甲速度 + 乙速度）
甲速度（或乙速度） = 总路程÷相遇时间 - 乙速度（或甲速度）
示例：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度是每小时5千米，乙的速度是每小时3千米，A、B两地相距24千米，问两人几小时后相遇？
根据相遇时间 = 总路程÷（甲速度 + 乙速度），可得相遇时间为24÷(5 + 3)=3小时。
3. 追及问题
概念：两个运动物体同向运动，一个速度快的物体追一个速度慢的物体。
公式：
追及路程 = （快速度 - 慢速度）×追及时间
追及时间 = 追及路程÷（快速度 - 慢速度）
快速度（或慢速度） = 追及路程÷追及时间 + 慢速度（或快速度）
示例：甲在乙前面10千米处，甲的速度是每小时6千米，乙的速度是每小时8千米，问乙几小时能追上甲？
根据追及时间 = 追及路程÷（快速度 - 慢速度），追及路程是10千米，可得追及时间为10÷(8 - 6)=5小时。
4. 环形跑道问题
同向而行：是追及问题的一种特殊情况。如果两人在环形跑道上同向而行，每追上一次，快者就比慢者多跑一圈。
示例：甲、乙两人在周长为400米的环形跑道上跑步，甲的速度是每分钟250米，乙的速度是每分钟200米，问甲第一次追上乙需要多长时间？
甲第一次追上乙时，甲比乙多跑了一圈，即400米。根据追及时间 = 追及路程÷（快速度 - 慢速度），可得追及时间为400÷(250 - 200)=8分钟。
相向而行：是相遇问题的一种特殊情况。两人在环形跑道上相向而行，每次相遇时，两人所跑的路程之和等于跑道的周长。
示例：甲、乙两人在周长为300米的环形跑道上跑步，甲的速度是每秒4米，乙的速度是每秒6米，问两人第一次相遇需要多长时间？
根据相遇时间 = 总路程÷（甲速度 + 乙速度），可得相遇时间为300÷(4 + 6)=30秒。
5. 流水行船问题
概念：船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和路程。
公式：
顺水速度 = 船速 + 水速
逆水速度 = 船速 - 水速
船速 = （顺水速度 + 逆水速度）÷2
水速 = （顺水速度 - 逆水速度）÷2
示例：一艘船在静水中的速度是每小时15千米，水流速度是每小时3千米，那么顺水速度是15 + 3 = 18千米/小时，逆水速度是15 - 3 = 12千米/小时。如果顺水航行一段路程需要2小时，根据路程 = 速度×时间，这段路程是18×2 = 36千米。
行程问题练习题
1. 相遇问题
题目：甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。甲的速度是每小时 6 千米，乙的速度是每小时 4 千米。两人相遇后，乙再走 2.4 小时到达 A 地。求 A、B 两地的距离。
分析：两人相遇后，乙走的路程就是相遇前甲走的路程。乙走\(2.4\)小时的路程为\(4×2.4 = 9.6\)千米，这\(9.6\)千米甲走需要的时间为\(9.6÷6 = 1.6\)小时，这个时间就是两人相遇所用的时间。
解答：那么 A、B 两地的距离为\((6 + 4)×1.6 = 16\)千米。
2. 追及问题
题目：甲、乙两人在同一条路上同向而行，甲每小时行 9 千米，乙每小时行 7 千米。甲在上午 10 点经过 A 地，乙在下午 2 点经过 A 地，问乙在离 A 地多远的地方追上甲？
分析：从上午 10 点到下午 2 点经过了\(4\)个小时，这\(4\)个小时甲走了\(9×4 = 36\)千米，即乙出发时与甲相距\(36\)千米。甲乙的速度差是\(9 - 7 = 2\)千米/小时。
解答：追及时间为\(36÷(9 - 7)=18\)小时。乙追上甲时离 A 地的距离为\(7×18 = 126\)千米。
3. 环形跑道问题
题目：甲、乙两人在周长为 400 米的环形跑道上跑步，甲的速度是每秒 5 米，乙的速度是每秒 3 米。两人同时同地同向出发，问经过多长时间甲第一次追上乙？
分析：甲第一次追上乙时，甲比乙多跑了一圈，即 400 米。甲乙速度差是\(5 - 3 = 2\)米/秒。
解答：追及时间为\(400÷(5 - 3)=200\)秒。
4. 流水行船问题
题目：一艘船在静水中的速度是每小时 18 千米，水流速度是每小时 2 千米。这艘船从甲港逆水航行到乙港需要 15 小时，求甲、乙两港的距离。
分析：逆水速度 = 船速 - 水速，即逆水速度为\(18 - 2 = 16\)千米/小时。
解答：根据路程 = 速度×时间，甲、乙两港的距离为\(16×15 = 240\)千米。
复杂行程问题（结合多种情况）
复杂行程问题是在简单行程问题（路程 = 速度×时间）的基础上，融入了多种变化因素，如多个运动物体、往返运动、变速运动、中途停留等情况。
相遇与追及结合型：例如，甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，相遇后甲又掉头去追乙。
变速运动型：一个人在行驶过程中速度发生变化，如先以一定速度行驶一段路程，然后加速或减速继续行驶。
往返运动型：物体在两点之间往返运动，可能涉及不同的速度和路程情况，比如一个人在操场跑道上往返跑步，去程和回程速度不同。
解题思路与关键要点
明确物理量关系：不管问题多么复杂，始终要牢记路程、速度和时间的基本关系（路程 = 速度×时间），并且要清楚每个运动阶段对应的路程、速度和时间。
画出运动轨迹图：通过画图可以直观地表示出各个物体的运动方向、相遇点、追及点等信息。例如，对于相向而行的两个物体，在图上可以清晰地看到它们的出发地、相遇地点以及各自走过的路程。
分段分析：将复杂的运动过程分解为多个简单的阶段。比如对于变速运动，分别分析每个速度阶段的路程和时间；对于往返运动，分别考虑往返过程。
案例分析
例1：A、B 两地相距 60 千米，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。甲的速度是每小时 4 千米，乙的速度是每小时 6 千米。丙骑摩托车与甲同时从 A 地出发，在甲、乙两人之间来回穿梭（与乙相遇后立即返回与甲相遇，然后再与乙相遇……），丙的速度是每小时 12 千米。问当甲、乙两人相遇时，丙共行驶了多少千米？
分析：先求出甲、乙两人的相遇时间，根据相遇时间 = 总路程÷（甲速度 + 乙速度），可得相遇时间为\(60÷(4 + 6)=6\)小时。因为丙在这\(6\)小时内一直在以每小时\(12\)千米的速度行驶。
解答：丙行驶的路程为\(12×6 = 72\)千米。
例2. 相遇与追及结合
甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，速度分别为\(v_1 = 5\)米/秒和\(v_2 = 3\)米/秒，两地相距\(s = 160\)米。两人相遇后，甲立刻掉头以\(v_3 = 4\)米/秒的速度去追乙。问甲从出发到追上乙一共用了多少时间？
分析：
首先计算两人相遇所用时间\(t_1\)，根据相遇公式\(t_1=\frac{s}{v_1 + v_2}=\frac{160}{5 + 3}=20\)秒。
相遇时甲走的路程\(s_1 = v_1\times t_1 = 5\times20 = 100\)米，乙走的路程\(s_2 = v_2\times t_1 = 3\times20 = 60\)米。
相遇后甲追乙，此时两人的距离差为\(s_3 = s_1 - s_2 = 100 - 60 = 40\)米，追及速度为\(v_3 - v_2 = 4 - 3 = 1\)米/秒。
根据追及时间公式\(t_2=\frac{s_3}{v_3 - v_2}=\frac{40}{4 - 3}=40\)秒。
所以甲从出发到追上乙一共用的时间\(T=t_1 + t_2 = 20 + 40 = 60\)秒。
例3. 变速运动
一辆汽车从A地开往B地，先以\(v_1 = 60\)千米/小时的速度行驶了\(t_1 = 2\)小时，然后因为道路施工减速为\(v_2 = 40\)千米/小时行驶了\(t_2 = 3\)小时到达B地。求A、B两地的距离。
分析：
汽车行驶的过程分为两个阶段。
第一阶段行驶的路程\(s_1 = v_1\times t_1 = 60\times2 = 120\)千米。
第二阶段行驶的路程\(s_2 = v_2\times t_2 = 40\times3 = 120\)千米。
A、B两地的距离\(s = s_1 + s_2 = 120 + 120 = 240\)千米。
例4. 往返运动
小明在一条长\(400\)米的跑道上跑步，去程速度\(v_1 = 5\)米/秒，回程速度\(v_2 = 4\)米/秒。求小明往返一次的平均速度。
分析：
先计算去程时间\(t_1=\frac{400}{5}=80\)秒。
回程时间\(t_2=\frac{400}{4}=100\)秒。
往返总路程\(s = 400\times2 = 800\)米，总时间\(T=t_1 + t_2 = 80 + 100 = 180\)秒。
根据平均速度公式\(v=\frac{s}{T}=\frac{800}{180}=\frac{40}{9}\approx4.44\)米/秒。
例5. 多人相遇追及问题
例：甲、乙、丙三人在一条直线公路上行走，甲的速度是每分钟60米，乙的速度是每分钟50米，丙的速度是每分钟40米。开始时甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了10分钟又和丙相遇。求A、B两地的距离。
分析：设甲和乙经过\(t\)分钟相遇。那么甲和乙相遇时，所走路程之和就是A、B两地的距离，即\((60 + 50)t\)。甲和丙相遇时，所走路程之和也是A、B两地的距离，此时所用时间是\((t + 10)\)分钟，所以A、B两地的距离又可表示为\((60+40)(t + 10)\)。
由此可得方程\((60 + 50)t=(60 + 40)(t + 10)\)。
展开式子得到\(110t = 100t+1000\)。
移项可得\(110t-100t = 1000\)，即\(10t = 1000\)，解得\(t = 100\)分钟。
所以A、B两地的距离为\((60 + 50)×100 = 11000\)米。
例6. 环形跑道问题
例：甲、乙两人在周长为400米的环形跑道上跑步，甲的速度是每秒6米，乙的速度是每秒4米。如果两人同时同地同向出发，问甲第一次追上乙需要多长时间？
分析：甲第一次追上乙时，甲比乙多跑了一圈，即400米。甲每秒比乙多跑\(6 - 4 = 2\)米。
根据追及时间 = 路程差÷速度差，可得追及时间为\(400÷(6 - 4)=200\)秒。
例7. 流水行船问题（复杂版）
例：一艘船在河流中航行，顺流速度是每小时20千米，逆流速度是每小时12千米。船从A码头顺流而下到B码头，再逆流而上返回A码头，共用了10小时。求A、B两码头之间的距离。
分析：设A、B两码头之间的距离为\(x\)千米。根据时间 = 路程÷速度，顺流时间为\(x÷20\)，逆流时间为\(x÷12\)。
已知共用了10小时，可列方程\(\frac{x}{20}+\frac{x}{12}=10\)。
通分得到\(\frac{3x + 5x}{60}=10\)，即\(\frac{8x}{60}=10\)。
解得\(x = 75\)千米。
例8 火车过桥（隧道）问题结合相遇追及
例：一列长200米的火车以每秒20米的速度行驶，迎面开来一列长300米的火车，速度是每秒15米。两列火车从车头相遇到车尾相离需要多长时间？
分析：从车头相遇到车尾相离，两列火车所行的路程就是两列火车的车身长度之和，即\(200 + 300 = 500\)米。两列火车的速度和是\(20 + 15 = 35\)米/秒。
根据时间 = 路程÷速度，可得所需时间为\(500÷35=\frac{100}{7}\)秒。
