分数应用题
1. 分数应用题 基本概念和类型
基本概念：分数应用题是指用分数来表示数量关系的应用题。
在这类问题中，通常把一个整体看作单位“1”，部分量与单位“1”之间的关系用分数来表示。
类型1：求一个数是另一个数的几分之几。
例如，甲有10个苹果，乙有15个苹果，求甲的苹果数是乙的几分之几，答案是\(10\div15=\frac{2}{3}\)。
类型2：求一个数的几分之几是多少。
比如，已知一本书有200页，小明读了这本书的\(\frac{1}{4}\)，求小明读了多少页，答案是\(200\times\frac{1}{4}=50\)页。
类型3：已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
例如，已知一个数的\(\frac{3}{5}\)是18，求这个数，设这个数为\(x\)，则\(\frac{3}{5}x = 18\)，解得\(x = 30\)。
2. 分数应用题 解题步骤和方法
步骤一：确定单位“1”
单位“1”是分数应用题的关键。一般来说，“是”“比”“占”后面的量就是单位“1”。
例如，“男生人数占全班人数的\(\frac{3}{5}\)”，这里全班人数就是单位“1”。
步骤二：分析数量关系
根据题目中的分数，确定部分量与单位“1”之间的关系。
已知单位“1”的量为\(a\)，分数为\(\frac{b}{c}\)，那么部分量就是\(a\times\frac{b}{c}\)；
若已知部分量为\(m\)，它是单位“1”的\(\frac{n}{p}\)，那么单位“1”的量就是\(m\div\frac{n}{p}\)。
步骤三：列式计算并检验
根据分析出的数量关系列式求解。
例如，已知苹果总数是单位“1”，为120个，卖出了\(\frac{2}{5}\)，那么卖出的苹果数就是\(120\times\frac{2}{5}=48\)个。检验时可以把求出的结果代入题目中，看是否符合题意。
3. 分数应用题中的常见错误及避免方法
错误1：单位“1”判断错误
举例：“小明比小红多\(\frac{1}{3}\)，小红有12个玩具，求小明有多少个玩具？”如果错误地把小明的玩具数当作单位“1”，就会导致解题错误。
避免方法：仔细分析题目中的关键词，如“比”“是”“占”等，确定单位“1”。在这个例子中，“比”后面是小红，所以小红的玩具数是单位“1”。
错误2：分数乘法和除法运算混淆
举例：已知一个数的\(\frac{3}{4}\)是15，求这个数。如果用乘法计算\(15\times\frac{3}{4}\)就错了。
避免方法：牢记已知单位“1”求部分量用乘法，已知部分量求单位“1”用除法。
在这个例子中，因为已知部分量15和对应的分数\(\frac{3}{4}\)，要求单位“1”，所以应该用除法\(15\div\frac{3}{4}=20\)。
4. 分数应用题的拓展和变化
复杂分数关系问题
举例：有甲、乙、丙三个数，甲数是乙数的\(\frac{2}{3}\)，乙数是丙数的\(\frac{3}{4}\)，丙数是60，求甲数。
分析：先根据乙数是丙数的\(\frac{3}{4}\)求出乙数为\(60\times\frac{3}{4}=45\)，再根据甲数是乙数的\(\frac{2}{3}\)求出甲数为\(45\times\frac{2}{3}=30\)。
分数应用题与其他知识的综合
与工程问题综合：
例如，一项工程，甲队单独做\(10\)天完成，乙队单独做\(15\)天完成，甲、乙两队合作完成这项工程的\(\frac{3}{5}\)需要多少天？
分析：把这项工程看作单位“1”，甲队每天完成\(\frac{1}{10}\)，乙队每天完成\(\frac{1}{15}\)，两队合作每天完成\(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{1}{6}\)。完成\(\frac{3}{5}\)需要的时间为
\(\frac{3}{5}\div\frac{1}{6}=\frac{18}{5}=3.6\)天。
与比例问题综合：
例如，甲、乙两人的钱数之比是\(3:4\)，甲的钱数是两人总钱数的几分之几？
分析：两人总钱数看作单位“1”，总共是\(3 + 4 = 7\)份，甲占\(3\)份，所以甲的钱数是两人总钱数的\(\frac{3}{7}\)。
分数应用题练习
1. 求一个数是另一个数的几分之几类型
题目：班级里男生有20人，女生有30人，男生人数是女生人数的几分之几？
分析：用男生人数除以女生人数即可得到男生人数是女生人数的几分之几。
解答：\(20\div30=\frac{2}{3}\)。
2. 题目：果园里苹果树有120棵，梨树有80棵，梨树的棵数是苹果树棵数的几分之几？
分析：以苹果树的棵数为单位“1”，用梨树的棵数除以苹果树的棵数。
解答：\(80\div120=\frac{2}{3}\)。
3. 求一个数的几分之几是多少类型
题目：一本书有300页，小明第一天看了全书的\(\frac{1}{5}\)，小明第一天看了多少页？
分析：全书的页数是单位“1”，用全书的页数乘以第一天看的占比，得到第一天看的页数。
解答：\(300\times\frac{1}{5}=60\)（页）。
4. 题目：一桶油重100千克，用去了\(\frac{3}{5}\)，用去了多少千克？
分析：这桶油的重量是单位“1”，用总重量乘以用去的占比求出用去的重量。
解答：\(100\times\frac{3}{5}=60\)（千克）。
5. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数类型
题目：已知一个数的\(\frac{2}{3}\)是16，求这个数。
分析：设这个数为\(x\)，根据已知条件列出方程\(\frac{2}{3}x = 16\)，然后解方程。
解答：\(x = 16\div\frac{2}{3}=16\times\frac{3}{2}=24\)。
6. 题目：某班有\(\frac{3}{4}\)的同学喜欢数学，喜欢数学的同学有27人，这个班共有多少人？
分析：设班级总人数为\(x\)人，班级总人数是单位“1”，根据分数乘法的意义列出方程\(\frac{3}{4}x = 27\)，求解方程。
解答：\(x = 27\div\frac{3}{4}=27\times\frac{4}{3}=36\)（人）。
7. 复杂的分数乘法应用问题
题目：一件衣服原价200元，先提价\(\frac{1}{10}\)，再降价\(\frac{1}{10}\)，现在这件衣服的价格是多少元？
分析：先求出提价后的价格，此时原价是单位“1”；再求出降价后的价格，此时提价后的价格是单位“1”。
解答：提价后的价格为\(200\times(1 + \frac{1}{10})=200\times\frac{11}{10}=220\)（元）；降价后的价格为\(220\times(1 - \frac{1}{10})=220\times\frac{9}{10}=198\)（元）。
8. 题目：有一根绳子，第一次用去全长的\(\frac{1}{3}\)，第二次用去余下的\(\frac{1}{4}\)，还剩下6米，这根绳子原来长多少米？
分析：先求出第一次用完剩下的占比，再求出第二次用去的占比，然后用剩下的长度除以剩下的占比求出原长。
解答：第一次用完剩下全长的\(1 - \frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)；第二次用去全长的\(\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{6}\)；剩下全长的\(1 - \frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\)。所以绳子原来长\(6\div\frac{1}{2}=12\)米。
9. 分数应用题与工程问题综合类型
题目：一项工程，甲队单独做12天完成，乙队单独做18天完成，两队合作完成这项工程的\(\frac{2}{3}\)需要多少天？
分析：把这项工程看作单位“1”，先求出甲、乙两队的工作效率，然后用工作量除以工作效率和求出工作时间。
解答：甲队的工作效率是\(\frac{1}{12}\)，乙队的工作效率是\(\frac{1}{18}\)，两队合作的工作效率是\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{5}{36}\)。
完成\(\frac{2}{3}\)需要的时间是
\(\frac{2}{3}\div\frac{5}{36}=\frac{2}{3}\times\frac{36}{5}=\frac{24}{5}=4.8\)（天）。
10. 题目：修一条路，甲工程队每天修这条路的\(\frac{1}{10}\)，乙工程队每天修这条路的\(\frac{1}{15}\)，甲、乙两队合修3天后，剩下的由乙队单独修，还需要几天修完？
分析：先求出甲、乙两队合修3天完成的工作量，再求出剩下的工作量，最后用剩下的工作量除以乙队的工作效率求出还需要的天数。
解答：甲、乙两队合修3天完成的工作量为\((\frac{1}{10}+\frac{1}{15})\times3=(\frac{3}{30}+\frac{2}{30})\times3=\frac{1}{2}\)；剩下的工作量为\(1 - \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)；
乙队单独修还需要的天数为\(\frac{1}{2}\div\frac{1}{15}=\frac{1}{2}\times15 = 7.5\)（天）。
11. 分数应用题与比例问题综合类型
题目：甲、乙两人的钱数之比是\(4:5\)，甲的钱数是两人总钱数的几分之几？
分析：把两人的总钱数看作单位“1”，总份数是\(4 + 5 = 9\)份，甲占\(4\)份，用甲的份数除以总份数。
解答：甲的钱数是两人总钱数的\(\frac{4}{9}\)。
12. 题目：三个数的比是\(2:3:4\)，已知第一个数是10，求这三个数的和。
分析：先根据第一个数和它对应的份数求出一份是多少，再求出三个数的总和。
解答：一份是\(10\div2 = 5\)，三个数的总和是\((2 + 3 + 4)\times5=9\times5 = 45\)。
13. 分数应用题中的单位“1”变化问题
题目：小明看一本书，第一天看了全书的\(\frac{1}{4}\)，第二天看了余下的\(\frac{1}{3}\)，还剩下60页没看，这本书一共有多少页？
分析：第一天看完后余下的部分是单位“1”，先求出第二天看的占全书的比例，再求出剩下的占全书的比例，最后用剩下的页数除以剩下的占比求出全书的页数。
解答：第一天看完余下全书的\(1 - \frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)；第二天看了全书的\(\frac{3}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{4}\)；
剩下全书的\(1 - \frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)。所以这本书一共有\(60\div\frac{1}{2}=120\)页。
14. 题目：有一批货物，第一次运走总数的\(\frac{1}{5}\)，第二次运走余下的\(\frac{1}{4}\)，第三次运走余下的\(\frac{1}{3}\)，还剩下36吨，这批货物原来有多少吨？
分析：每次运走后余下的部分是单位“1”，逐步求出每次运走后剩下的占总数的比例，最后用剩下的吨数除以剩下的占比求出原来的吨数。
解答：
第一次运走后余下总数的\(1 - \frac{1}{5}=\frac{4}{5}\)；
第二次运走后余下总数的\(\frac{4}{5}\times(1 - \frac{1}{4})=\frac{4}{5}\times\frac{3}{4}=\frac{3}{5}\)；
第三次运走后余下总数的\(\frac{3}{5}\times(1 - \frac{1}{3})=\frac{3}{5}\times\frac{2}{3}=\frac{2}{5}\)。
所以这批货物原来有\(36\div\frac{2}{5}=36\times\frac{5}{2}=90\)吨。
15. 分数应用题中的比较问题
题目：甲、乙两个仓库，甲仓库存粮是乙仓库的\(\frac{3}{4}\)，从乙仓库运出\(10\)吨后，甲仓库存粮是乙仓库的\(\frac{5}{6}\)，甲仓库原来存粮多少吨？
分析：设乙仓库原来存粮\(x\)吨，则甲仓库原来存粮\(\frac{3}{4}x\)吨，根据运粮后的关系列出方程求解。
解答：设乙仓库原来存粮\(x\)吨，\(\frac{3}{4}x=(x - 10)\times\frac{5}{6}\)，解方程得\(x = 100\)吨。甲仓库原来存粮\(\frac{3}{4}\times100 = 75\)吨。
16. 题目：小明的邮票数比小红多\(\frac{1}{5}\)，小红比小明少6张邮票，小红有多少张邮票？
分析：把小红的邮票数看作单位“1”，小明的邮票数是\((1 + \frac{1}{5})\)，用少的张数除以对应的分率求出小红的邮票数。
解答：小红有邮票\(6\div\frac{1}{5}=30\)张。
17. 分数应用题中的混合运算问题
题目：某工厂有三个车间，第一车间人数占全厂人数的\(\frac{1}{3}\)，第二车间人数是第三车间人数的\(\frac{3}{4}\)，第二车间比第一车间少40人，三个车间一共有多少人？
分析：设全厂人数为\(x\)人，先求出第二车间和第三车间人数占全厂人数的比例，再根据人数差列出方程求解。
解答：设全厂人数为\(x\)人，第二车间和第三车间人数占全厂人数的\(1 - \frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)，
第三车间人数占全厂人数的\(\frac{2}{3}\div(1 + \frac{3}{4})=\frac{2}{3}\div\frac{7}{4}=\frac{8}{21}\)，
第二车间人数占全厂人数的\(\frac{8}{21}\times\frac{3}{4}=\frac{2}{7}\)。
由\(\frac{1}{3}x-\frac{2}{7}x = 40\)，解方程得\(x = 840\)人。
18. 题目：学校图书馆有科技书、文艺书和故事书，科技书占总数的\(\frac{1}{3}\)，文艺书与故事书的比是\(2:3\)，文艺书比科技书少20本，图书馆一共有多少本书？
分析：设图书馆一共有\(x\)本书，先求出文艺书占总数的比例，再根据数量关系列出方程求解。
解答：文艺书和故事书占总数的\(1 - \frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)，文艺书占总数的\(\frac{2}{3}\times\frac{2}{5}=\frac{4}{15}\)。
由\(\frac{1}{3}x-\frac{4}{15}x = 20\)，解方程得\(x = 300\)本。
19. 分数应用题中的逆向思维问题
题目：一个数加上它的\(\frac{1}{3}\)后是40，这个数是多少？
分析：设这个数为\(x\)，根据题意列出方程\(x+\frac{1}{3}x = 40\)，然后解方程。
解答：\(\frac{4}{3}x = 40\)，解得\(x = 30\)。
20. 题目：某数的\(\frac{3}{5}\)减去它的\(\frac{1}{4}\)后是7，这个数是多少？
分析：设这个数为\(x\)，根据题意列出方程\(\frac{3}{5}x-\frac{1}{4}x = 7\)，然后解方程。
解答：通分得到\(\frac{12}{20}x-\frac{5}{20}x = 7\)，即\(\frac{7}{20}x = 7\)，解得\(x = 20\)。
