流水行船问题

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1. 基本概念和公式

基本概念：流水行船问题是研究船在流动的水中航行的速度、时间和路程之间关系的问题。船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆。

公式：

顺水速度 = 船速 + 水速

逆水速度 = 船速 - 水速

船速 = （顺水速度 + 逆水速度）÷2

水速 = （顺水速度 - 逆水速度）÷2

示例：一艘船顺水速度是每小时20千米，逆水速度是每小时16千米。根据公式可得船速为\((20 + 16)÷2 = 18\)千米/小时，水速为\((20 - 16)÷2 = 2\)千米/小时。

2. 简单的流水行船路程问题

题目：一艘船在静水中的速度是每小时15千米，水流速度是每小时3千米。这艘船顺水航行60千米需要多长时间？

分析：先求出顺水速度，顺水速度 = 船速 + 水速 = \(15 + 3 = 18\)千米/小时。再根据时间 = 路程÷速度，可求出时间为\(60÷18=\frac{10}{3}\)小时。

答案：顺水航行60千米需要\(\frac{10}{3}\)小时。

3. 简单的流水行船速度问题

题目：一艘船逆水航行，经过一座桥时，船上的一个救生圈掉入水中，5分钟后发现并立即掉头去追救生圈，在离桥1000米处追上救生圈。求水流速度。

分析：以水为参照物，救生圈是静止的，船不管是逆水还是顺水相对于救生圈的速度就是船速。船逆水行驶5分钟，顺水返回追救生圈也需要5分钟。所以救生圈从掉落至被追上一共经过了\(5 + 5 = 10\)分钟，而路程是1000米，根据速度 = 路程÷时间，可得水流速度为\(1000÷(10×60)=\frac{5}{3}\)米/秒。

答案：水流速度是\(\frac{5}{3}\)米/秒。

4. 复杂的流水行船问题（往返路程不同）

题目：一条大河，河中间（主航道）的水流速度是每小时8千米，沿岸边的水流速度是每小时6千米。一艘船在河中间顺流而下，6小时行驶240千米。如果这艘船沿岸边返回出发地，需要多少小时？

分析：先求出船在河中间的顺水速度为\(240÷6 = 40\)千米/小时，根据顺水速度 = 船速 + 水速，可得船速为\(40 - 8 = 32\)千米/小时。船沿岸边逆流而上的速度为\(32 - 6 = 26\)千米/小时。返回的路程还是240千米，根据时间 = 路程÷速度，可得返回需要的时间为\(240÷26=\frac{120}{13}\)小时。

答案：沿岸边返回出发地需要\(\frac{120}{13}\)小时。

5. 流水行船问题与相遇、追及问题结合

相遇问题结合示例：甲、乙两船在相距240千米的两个码头同时相向而行，甲船顺水航行，速度是每小时20千米，乙船逆水航行，速度是每小时16千米。水流速度是每小时4千米。两船几小时相遇？

分析：甲船顺水速度是本身船速与水速之和，乙船逆水速度是本身船速与水速之差。两船的速度和为\(20 + 16 = 36\)千米/小时（这里水速相互抵消），根据相遇时间 = 路程和÷速度和，可得相遇时间为\(240÷36=\frac{20}{3}\)小时。

答案：两船\(\frac{20}{3}\)小时相遇。

追及问题结合示例：甲船在乙船后面120千米处，两船同时同向而行，甲船顺水速度是每小时30千米，乙船顺水速度是每小时20千米，水流速度是每小时5千米。甲船几小时能追上乙船？

分析：两船都是顺水航行，速度差就是两船本身船速之差，甲船与乙船的速度差为\(30 - 20 = 10\)千米/小时，根据追及时间 = 追及路程÷速度差，可得追及时间为\(120÷10 = 12\)小时。

答案：甲船12小时能追上乙船。

流水行船问题练习

1. 基础速度计算问题

题目：一艘船在静水中的速度是每小时12千米，水流速度是每小时3千米，求船的顺水速度和逆水速度。

分析：根据公式，顺水速度 = 船速 + 水速，逆水速度 = 船速 - 水速。

解答：顺水速度为\(12 + 3 = 15\)千米/小时，逆水速度为\(12 - 3 = 9\)千米/小时。

2. 路程和时间已知求速度

题目：一艘船顺水航行180千米用了6小时，水流速度是每小时4千米，求船在静水中的速度。

分析：先根据路程和时间求出顺水速度，再用顺水速度减去水流速度得到船在静水中的速度。

解答：顺水速度为\(180÷6 = 30\)千米/小时，船在静水中的速度为\(30 - 4 = 26\)千米/小时。

3. 根据往返路程和时间求水速

题目：一艘船往返于A、B两地，顺水航行需4小时，逆水航行需6小时，已知A、B两地相距120千米，求水流速度。

分析：先分别求出顺水速度和逆水速度，再根据公式求出水速。

解答：顺水速度为\(120÷4 = 30\)千米/小时，逆水速度为\(120÷6 = 20\)千米/小时，水速为\((30 - 20)÷2 = 5\)千米/小时。

4. 复杂路程和速度关系问题

题目：一条河的水流速度是每小时2千米，一艘船从A地顺流而下，8小时到达B地，然后逆流返回A地，用了12小时。求A、B两地的距离。

分析：设船在静水中的速度为\(x\)千米/小时，根据顺水路程等于逆水路程列出方程求解，再求出两地距离。

解答：根据题意可得\((x + 2)×8=(x - 2)×12\)，解方程得\(x = 10\)。所以两地距离为\((10 + 2)×8 = 96\)千米。

5. 两船相遇问题

题目：甲、乙两船在静水中的速度分别是每小时22千米和每小时18千米，两船同时从相距240千米的两个码头相向而行，水流速度是每小时4千米，两船几小时相遇？

分析：两船相向而行，速度和为两船实际速度之和，与水速无关。

解答：速度和为\(22 + 18 = 40\)千米/小时，相遇时间为\(240÷40 = 6\)小时。

6. 两船追及问题

题目：甲船在静水中的速度是每小时20千米，乙船在静水中的速度是每小时16千米，两船同时同向出发，甲船在乙船后面，水流速度是每小时2千米，甲船几小时能追上乙船？

分析：两船同向而行，追及速度为两船在静水中的速度差，与水速无关。

解答：速度差为\(20 - 16 = 4\)千米/小时，追及时间取决于开始时两船的距离，假设距离为\(d\)千米，追及时间为\(d÷4\)小时。

7. 多段路程不同水速问题

题目：一艘船从A港口出发，先顺水航行一段距离，水速是每小时3千米，行驶了5小时后进入另一段水域，水速变为每小时2千米，又行驶了4小时到达B港口。已知船在静水中的速度是每小时15千米，求A、B两港口的距离。

分析：分别计算两段路程，再相加得到总路程。

解答：第一段路程为\((15 + 3)×5 = 90\)千米，第二段路程为\((15 + 2)×4 = 68\)千米，A、B两港口的距离为\(90 + 68 = 158\)千米。

8. 漂流问题（船速为0）

题目：有一个木筏，从河流的上游漂流而下，已知河流的水速是每小时4千米，经过10小时到达下游，求上游到下游的距离。

分析：木筏漂流的速度就是水速，根据路程 = 速度×时间求解。

解答：距离为\(4×10 = 40\)千米。

9. 速度变化问题

题目：一艘船在静水中的速度是每小时18千米，开始顺水航行，水速是每小时3千米，航行一段时间后，水速变为每小时2千米，这时船的航行速度是多少？

分析：根据变化后的水速和船在静水中的速度求出新的顺水速度。

解答：船的航行速度为\(18 + 2 = 20\)千米/小时。

10. 逆水行船与时间问题

题目：一艘船逆水航行，速度是每小时12千米，水流速度是每小时3千米，航行120千米需要多少小时？

分析：先求出逆水速度，再根据时间 = 路程÷速度求解。

解答：逆水速度为\(12\)千米/小时，所需时间为\(120÷12 = 10\)小时。

11. 结合休息时间的问题

题目：一艘船顺水航行，速度是每小时20千米，每航行2小时休息1小时，水流速度是每小时4千米，航行120千米需要多长时间？

分析：先求出实际航行时间，再考虑休息时间。

解答：船的顺水速度为\(20\)千米/小时，不休息航行时间为\(120÷20 = 6\)小时，\(6÷2 = 3\)，即休息了\(3 - 1 = 2\)次，总共需要时间为\(6 + 2×1 = 8\)小时。

12. 相对速度问题（两船在静水中同向）

题目：甲、乙两船在静水中的速度分别是每小时15千米和每小时10千米，水流速度是每小时3千米，两船同向而行，甲船在乙船后面，甲船几小时能比乙船多行驶30千米？

分析：两船的相对速度为两船在静水中的速度差，与水速无关。

解答：相对速度为\(15 - 10 = 5\)千米/小时，时间为\(30÷5 = 6\)小时。

13. 相对速度问题（两船在静水中相向）

题目：甲、乙两船在静水中的速度分别是每小时14千米和每小时16千米，水流速度是每小时2千米，两船相向而行，从相距100千米的两地出发，几小时相遇？

分析：两船相向而行，相对速度为两船在静水中的速度之和，与水速无关。

解答：相对速度为\(14 + 16 = 30\)千米/小时，相遇时间为\(100÷30=\frac{10}{3}\)小时。

14. 环形河道问题（类似环形跑道）

题目：在一个环形河道中，水流速度是每小时3千米，甲船在静水中的速度是每小时10千米，乙船在静水中的速度是每小时8千米，两船同时同地同向出发，甲船第一次追上乙船需要多长时间？（假设环形河道周长为\(C\)千米）

分析：甲船第一次追上乙船时，甲船比乙船多行驶一圈，相对速度为两船在静水中的速度差。

解答：相对速度为\(10 - 8 = 2\)千米/小时，追及时间为\(C÷2\)小时。

15. 不同船速和水速组合问题

题目：有A、B、C三艘船，A船在静水中的速度是每小时12千米，B船在静水中的速度是每小时10千米，C船在静水中的速度是每小时8千米，水流速度是每小时3千米。三艘船同时从同一地点出发，顺水航行，2小时后三艘船相距多远？

分析：分别求出三艘船顺水航行的路程，再计算两两之间的距离差。

解答：A船顺水航行路程为\((12 + 3)×2 = 30\)千米，B船顺水航行路程为\((10 + 3)×2 = 26\)千米，C船顺水航行路程为\((8 + 3)×2 = 22\)千米。A船与B船相距\(30 - 26 = 4\)千米，A船与C船相距\(30 - 22 = 8\)千米，B船与C船相距\(26 - 22 = 4\)千米。