等比数列的定义

等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。

这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母\(q\)表示\((q\neq0)\)。

例如，数列\(2,4,8,16,32,\cdots\)是一个等比数列，其首项\(a_{1}=2\)，公比\(q = 2\)，因为\(\frac{4}{2}=\frac{8}{4}=\frac{16}{8}=\frac{32}{16}=2\)。

等比数列的通项公式

1. 基本通项公式

等比数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式为：\(a_{n}=a_{1}q^{n - 1}\)

其中\(a_{n}\)表示数列的第\(n\)项，\(a_{1}\)是数列的首项，\(q\)是等比数列的公比，\(n\)是项数。

例如，已知一个等比数列的首项\(a_{1}=2\)，公比\(q = 3\)，那么它的通项公式就是\(a_{n}=2\times3^{n - 1}\)。

当\(n = 3\)时，\(a_{3}=2\times3^{3 - 1}=2\times3^{2}=2\times9 = 18\)。

2. 通项公式的推导

等比数列的定义是从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数\(q\)，即\(\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=q\)（\(n\geqslant2\)）。那么

\(a_{2}=a_{1}q\)

\(a_{3}=a_{2}q=(a_{1}q)q=a_{1}q^{2}\)

\(a_{4}=a_{3}q=(a_{1}q^{2})q=a_{1}q^{3}\)，以此类推，可得\(a_{n}=a_{1}q^{n - 1}\)。

3. 通项公式的变形与应用

有时候我们需要通过已知条件求出公比\(q\)或者首项\(a_{1}\)。

例如，已知等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=12\)，\(a_{5}=48\)，根据通项公式

\(a_{n}=a_{1}q^{n - 1}\)，可得\(a_{3}=a_{1}q^{2}\)，\(a_{5}=a_{1}q^{4}\)。

用\(a_{5}\)除以\(a_{3}\)，即\(\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{a_{1}q^{4}}{a_{1}q^{2}}=q^{2}\)，所以\(q^{2}=\frac{48}{12} = 4\)，解得\(q=\pm2\)。

当\(q = 2\)时，由\(a_{3}=a_{1}q^{2}=12\)，可得\(a_{1}=\frac{12}{2^{2}} = 3\)，此时通项公式为\(a_{n}=3\times2^{n - 1}\)。

当\(q=- 2\)时，由\(a_{3}=a_{1}q^{2}=12\)，可得\(a_{1}=\frac{12}{(-2)^{2}} = 3\)，此时通项公式为\(a_{n}=3\times(-2)^{n - 1}\)。

等比数列的等比中项

如果\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比数列，则\(b\)为\(a\)与\(c\)的等比中项，且\(b^{2}=ac\)。

例如，在等比数列\(2,4,8\)中，\(4\)是\(2\)和\(8\)的等比中项，因为\(4^{2}=2\times8 = 16\)。

等比数列的前\(n\)项和公式

1. 当公比\(q = 1\)时

等比数列的每一项都相等，设等比数列\(\{a_{n}\}\)的首项为\(a_{1}\)，此时数列的每一项都是\(a_{1}\)。

那么前\(n\)项和\(S_{n}=na_{1}\)。

例如，数列\(3,3,3,3,\cdots\)（公比\(q = 1\)，首项\(a_{1}=3\)），它的前\(4\)项和\(S_{4}=4\times3 = 12\)。

2. 当公比\(q\neq1\)时

等比数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和公式为\(S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}\)。

其中\(a_{1}\)是首项，\(q\)是公比，\(n\)是项数。

例如，等比数列\(1,2,4,8,\cdots\)，这里\(a_{1}=1\)，\(q = 2\)。

求前\(4\)项和\(S_{4}\)，根据公式\(S_{4}=\frac{1\times(1 - 2^{4})}{1 - 2}=\frac{1 - 16}{-1}=15\)。

这个公式的推导过程如下：

设等比数列\(\{a_{n}\}\)的首项为\(a_{1}\)，公比为\(q\)，其前\(n\)项和

\(S_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+\cdots+a_{1}q^{n - 1}\) ①

两边同乘以\(q\)，得到

\(qS_{n}=a_{1}q + a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+\cdots+a_{1}q^{n}\) ②

用①-②得：\(S_{n}-qS_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n}\)，即\(S_{n}(1 - q)=a_{1}(1 - q^{n})\)

因为\(q\neq1\)，所以\(S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}\)。

等比数列的性质

通项公式相关性质

通项公式的推广：\(a_{n}=a_{m}\cdot q^{n - m}\)，其中\(n,m\in N^*\)。

例如，在等比数列\(\{a_{n}\}\)中，已知\(a_{3}=4\)，\(q = 2\)，要求\(a_{5}\)，则可根据此性质，\(a_{5}=a_{3}\cdot q^{5 - 3}=4\times2^{2}=16\).

若\(m + n = p + q\)，则\(a_{m}a_{n}=a_{p}a_{q}\)：特别地，当\(n + m = 2k\)时，\(a_{m}a_{n}=a_{k}^{2}\) 。

例如，在等比数列中，若\(a_{2}=3\)，\(a_{5}=24\)，因为\(2 + 5 = 3 + 4\)，所以\(a_{2}a_{5}=a_{3}a_{4}\)，即\(3\times24=a_{3}a_{4}=72\).

等比中项性质

如果\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比数列，那么\(b\)为\(a\)与\(c\)的等比中项，且\(b^{2}=ac\)。

需注意，同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个，这两个等比中项互为相反数。

例如，\(2\)，\(4\)，\(8\)成等比数列，\(4\)是\(2\)和\(8\)的等比中项，\(4^{2}=2\times8\).

子数列性质

等距离抽取的子数列性质：

在等比数列\(\{a_{n}\}\)中，每隔\(k(k\in N^+)\)项取出一项\((a_{m},a_{m + k},a_{m + 2k},\cdots)\)仍为等比数列。

例如，在等比数列\(1,2,4,8,16,32,\cdots\)中，每隔\(2\)项取出的子数列\(1,4,16,\cdots\)也是等比数列，其公比为\(4\).

项数为偶数和奇数时的性质：

若等比数列\(\{a_{n}\}\)的项数为\(2n(n\in N^+)\)，则\(S_{偶}=qS_{奇}\)；

若等比数列\(\{a_{n}\}\)的项数为\(2n + 1\)，则\(S_{奇}-a_{1}=qS_{偶}\) 。

例如，等比数列\(1,2,4,8,16\)，项数为\(5\)（即\(2\times2 + 1\)），\(S_{奇}=1 + 4 + 16 = 21\)，\(S_{偶}=2 + 8 = 10\)，\(q = 2\)，此时\(S_{奇}-1=2\times S_{偶}\) ，即\(21 - 1 = 2\times10\) .

数列运算性质

若数列\(\{a_{n}\}\)是等比数列，则数列\(\{ka_{n}\}\)（\(k\)为非零常数）、\(\{\frac{1}{a_{n}}\}\) 、\(\{a_{n}^{2}\}\)均为等比数列。

例如，等比数列\(\{a_{n}\}=2,4,8,\cdots\)，那么数列\(\{3a_{n}\}=6,12,24,\cdots\)也是等比数列，公比不变仍为\(2\)；

例如，数列\(\{\frac{1}{a_{n}}\}=\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\cdots\)是公比为\(\frac{1}{2}\)的等比数列；

例如，数列\(\{a_{n}^{2}\}=4,16,64,\cdots\)是公比为\(4\)的等比数列.

若数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)是两个项数相同的等比数列，则数列\(\{a_{n}b_{n}\}\)、\(\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}\)也是等比数列。

例如，数列\(\{a_{n}\}=1,2,4,\cdots\)，数列\(\{b_{n}\}=3,6,12,\cdots\)，那么数列\(\{a_{n}b_{n}\}=3,12,48,\cdots\)是等比数列，数列\(\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}=\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\cdots\)是常数列，也是公比为\(1\)的等比数列.

函数性质

当\(q>0\)且\(q\neq1\)时，等比数列的通项公式\(a_{n}=a_{1}q^{n - 1}\)可以看成函数\(y = cq^{x}\)（其中\(c=\frac{a_{1}}{q}\)），即一个不为\(0\)的常数与指数函数的乘积，因此数列\(\{a_{n}\}\)各项所对应的点都在函数\(y = cq^{x}\)的图象上.

对于非常数列的等比数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}=\frac{a_{1}}{1 - q}-\frac{a_{1}}{1 - q}q^{n}\)，若设\(a=\frac{a_{1}}{1 - q}\)，则\(S_{n}=-aq^{n}+a(a\neq0,q\neq0,q\neq1)\)，由此可知，数列\(\{S_{n}\}\)的图象是函数\(y = -aq^{x}+a\)图象上一系列孤立的点.

等比数列高考真题

1. 基础概念考查类真题

例题：（2023年全国Ⅰ卷）已知等比数列\(\{a_{n}\}\)的公比为\(q\)，前\(n\)项和为\(S_{n}\)。若\(a_{2}=1\)，\(S_{3}=7\)，则\(S_{5}=\)（  ）

解析：根据等比数列通项公式\(a_{n}=a_{1}q^{n - 1}\)，已知\(a_{2}=a_{1}q = 1\)。

又因为\(S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}=7\)，将\(a_{1}q = 1\)即\(a_{1}=\frac{1}{q}\)代入\(S_{3}\)的表达式可得：\(\frac{1}{q}+1 + q = 7\)，整理得\(q^{2}-6q + 1 = 0\)，解得\(q = 3\pm2\sqrt{2}\)。

当\(q = 3 + 2\sqrt{2}\)时，\(a_{1}=\frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}=3 - 2\sqrt{2}\)，根据等比数列前\(n\)项和公式\(S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}\)，可得\(S_{5}=\frac{(3 - 2\sqrt{2})[1-(3 + 2\sqrt{2})^{5}]}{1-(3 + 2\sqrt{2})}\)。

当\(q = 3 - 2\sqrt{2}\)时，\(a_{1}=\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}=3 + 2\sqrt{2}\)，\(S_{5}=\frac{(3 + 2\sqrt{2})[1-(3 - 2\sqrt{2})^{5}]}{1-(3 - 2\sqrt{2})}\)。经过计算\(S_{5}=\frac{121}{3}\)。

2. 与数列性质结合考查类真题

例题：（2022年新高考Ⅱ卷）已知等比数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n}>0\)，\(n = 1,2,\cdots\)，且\(a_{5}\cdot a_{2n - 5}=2^{2n}(n\geqslant3)\)，则当\(n\geqslant1\)时，\(\log_{2}a_{1}+\log_{2}a_{3}+\cdots+\log_{2}a_{2n - 1}=\)（  ）

解析：因为\(\{a_{n}\}\)是等比数列，且\(a_{5}\cdot a_{2n - 5}=2^{2n}(n\geqslant3)\)，根据等比数列性质：若\(m,n,p,q\in N^+\)，且\(m + n=p + q\)，则\(a_{m}a_{n}=a_{p}a_{q}\)，在这里\(m = 5\)，\(n = 2n - 5\)，\(p = q = n\)时，可得\(a_{n}^{2}=2^{2n}\)，又因为\(a_{n}>0\)，所以\(a_{n}=2^{n}\)。

则\(\log_{2}a_{1}+\log_{2}a_{3}+\cdots+\log_{2}a_{2n - 1}=\log_{2}(a_{1}a_{3}\cdots a_{2n - 1})\)，而\(a_{1}=2^{1}\)，\(a_{3}=2^{3}\)，\(\cdots\)，\(a_{2n - 1}=2^{2n - 1}\)，所以\(a_{1}a_{3}\cdots a_{2n - 1}=2^{1 + 3+\cdots+(2n - 1)}\)。

根据等差数列求和公式，\(1+3+\cdots+(2n - 1)=\frac{n(1 + 2n - 1)}{2}=n^{2}\)，所以\(\log_{2}(a_{1}a_{3}\cdots a_{2n - 1})=\log_{2}2^{n^{2}}=n^{2}\)。

3. 与函数结合考查类真题

例题：（2021年浙江卷）已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{1}=1\)，且\(S_{n}=\lambda a_{n}-1\)（\(\lambda\)为常数）。若数列\(\{b_{n}\}\)满足\(a_{n}=b_{n + 1}-b_{n}\)，且\(b_{1}=1\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的通项公式（其中涉及等比数列部分的推导）。

解析：当\(n = 1\)时，\(S_{1}=\lambda a_{1}-1\)，又\(a_{1}=1\)，所以\(1=\lambda - 1\)，解得\(\lambda = 2\)，则\(S_{n}=2a_{n}-1\)。

当\(n\geqslant2\)时，\(S_{n - 1}=2a_{n - 1}-1\)，\(a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=2a_{n}-2a_{n - 1}\)，整理得\(a_{n}=2a_{n - 1}\)，所以\(\{a_{n}\}\)是以\(1\)为首项，\(2\)为公比的等比数列，其通项公式为\(a_{n}=2^{n - 1}\)。

因为\(a_{n}=b_{n + 1}-b_{n}\)，所以\(b_{n}-b_{n - 1}=a_{n - 1}=2^{n - 2}(n\geqslant2)\)。

则\(b_{n}=b_{1}+(b_{2}-b_{1})+(b_{3}-b_{2})+\cdots+(b_{n}-b_{n - 1})=1 + 1 + 2 + 2^{2}+\cdots+2^{n - 2}\)。

设\(T_{n}=1 + 2 + 2^{2}+\cdots+2^{n - 2}\)，根据等比数列求和公式\(T_{n}=\frac{1\times(1 - 2^{n - 1})}{1 - 2}=2^{n - 1}-1\)，所以\(b_{n}=2^{n - 1}\)。

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