乘法的定义、意义、运算性质
乘法的定义
乘法是求几个相同加数的和的简便运算。相乘的两个数都叫做因数，它的得数叫作积。
例如，\(3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3×5\)，这里\(3\)是相同的加数，\(5\)表示相同加数的个数，\(3×5\)的结果就是它们的和\(15\)。
乘法的符号表示
乘法运算使用“×”或“·”符号表示，读作“乘”。
例如，\(4×6\)或\(4·6\)都表示\(4\)和\(6\)相乘，其结果为\(24\)。
在不引起混淆的情况下，数字与字母相乘或字母与字母相乘时，乘号可以用“·”表示或省略不写，如\(a×b\)可写成\(a·b\)或\(ab\)。
乘法的意义
1、相同加数求和的简便运算：这是乘法最基本的意义。当多个相同的数相加时，使用乘法可以大大简化计算过程。
例如，\(5\)个\(8\)相加，即\(8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 8×5 = 40\)，通过乘法运算能够快速得到结果。
2、倍数关系的表示：乘法还可以用于表示一个数是另一个数的几倍。
例如，\(6\)的\(3\)倍可以表示为\(6×3 = 18\)，这里的乘法体现了两个数量之间的倍数关系。
乘法的运算性质
1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
\(a×b = b×a\)
例如，\(3×5 = 5×3 = 15\)，无论因数的顺序如何变化，它们的乘积始终保持不变。
2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。
\((a×b)×c = a×(b×c)\)
例如，\((2×3)×4 = 2×(3×4) = 24\)，通过改变乘法的运算顺序，结果仍然相同，这为一些复杂的乘法运算提供了简便方法。
3、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。
\((a + b)×c = a×c + b×c\)
例如，\((2 + 3)×4 = 2×4 + 3×4 = 20\)。
乘法分配律也适用于两个数的差与一个数相乘，即\((a - b)×c = a×c - b×c\)。
例如，\((5 - 3)×4 = 5×4 - 3×4 = 8\)。
乘法的计算方法
1、表内乘法：可以根据乘法口诀直接得出积。
例如，计算\(4×7\)，根据乘法口诀“四七二十八”，可知积为\(28\)。乘法口诀是学习乘法的基础，需要熟练掌握。
2、多位数乘法：多位数相乘时，先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。
例如，计算\(23×12\)，先算\(23×2 = 46\)，再算\(23×10 = 230\)，最后将两次的结果相加，\(46 + 230 = 276\)。
乘法在生活中的应用
乘法在日常生活中有着广泛的应用，如计算物品的总价、面积、体积等。例如，购买\(5\)个单价为\(8\)元的笔记本，总价为\(5×8 = 40\)元；一个长方形的长为\(6\)厘米，宽为\(4\)厘米，它的面积为\(6×4 = 24\)平方厘米；一个正方体的棱长为\(3\)分米，它的体积为\(3×3×3 = 27\)立方分米。
整数乘法运算规则：
一位数乘一位数
直接根据乘法口诀表得出结果。例如：\(3\times4 = 12\)，\(5\times6 = 30\)等。
多位数乘一位数
竖式计算方法：
1、将多位数与一位数上下对齐，从个位开始相乘。
2、用一位数依次去乘多位数的每一位数，哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几。
3、最后将每次乘得的积相加。
示例：计算\(234\times5\)
234
× 5
------
1170
先算\(5\times4 = 20\)，在个位写\(0\)，向十位进\(2\)；再算\(5\times3 + 2 = 17\)，在十位写\(7\)，向百位进\(1\)；最后算\(5\times2 + 1 = 11\)，在百位写\(1\)，千位写\(1\)，结果为\(1170\)。
多位数乘多位数
竖式计算方法：
1、先用一个因数的个位与另一个因数的每一位依次相乘，再用这个因数的十位与另一个因数的每一位依次相乘……乘到哪一位，得数的末尾就和那一位对齐。
2、然后把几次乘得的数加起来。
示例：计算\(324\times12\)
324
× 12
------
648
324
------
3888
先算\(324\times2 = 648\)，再算\(324\times10 = 3240\)，最后将两次的结果相加\(648+3240 = 3888\)。
特殊数字的乘法规律：
1、因数末尾有\(0\)的乘法
先把\(0\)前面的数相乘，然后看因数末尾一共有几个\(0\)，就在乘得的积的末尾添上几个\(0\)。
示例：计算\(2500\times30\)
先算\(25\times3 = 75\)，因数末尾共有\(2 + 1 = 3\)个\(0\)，所以在\(75\)后面添上\(3\)个\(0\)，结果为\(75000\)。
2、25与4的乘法
规律：因为\(25\times4 = 100\)，所以在乘法运算中，当遇到\(25\)与\(4\)或其倍数相乘时，可以利用这个特殊的乘积快速得出结果。
示例：计算\(25\times16\)，可将\(16\)拆分成\(4\times4\)，则\(25\times16 = 25\times4\times4 = 100\times4 = 400\)；又如\(75\times28\)，把\(75\)看作\(25\times3\)，\(28\)看作\(4\times7\)，可得\(75\times28 = 25\times3\times4\times7 = (25\times4)\times(3\times7)= 100\times21 = 2100\)。
3、125与8的乘法
规律：\(125\times8 = 1000\)，同理，当出现\(125\)与\(8\)或其倍数相乘时，可借助这个结果简化计算。
示例：计算\(125\times32\)，将\(32\)拆成\(8\times4\)，则\(125\times32 = 125\times8\times4 = 1000\times4 = 4000\)；再如\(250\times48\)，把\(250\)看作\(125\times2\)，\(48\)看作\(8\times6\)，所以\(250\times48 = 125\times2\times8\times6 = (125\times8)\times(2\times6)= 1000\times12 = 12000\)。
4、接近整十、整百等数的乘法
规律：对于接近整十、整百等数的乘法，可以将其转化为整十、整百数与一个较小数的和或差的形式，再利用乘法分配律进行简便计算。
示例：计算\(98\times23\)，把\(98\)看作\((100 - 2)\)，则\(98\times23=(100 - 2)\times23 = 100\times23 - 2\times23 = 2300 - 46 = 2254\)；又如\(103\times45\)，将\(103\)看成\((100 + 3)\)，可得\(103\times45=(100 + 3)\times45 = 100\times45 + 3\times45 = 4500 + 135 = 4635\)。
5、头同尾合十
规律：两个两位数相乘，如果十位数字相同，个位数字相加为\(10\)，则先将十位数字与比它大\(1\)的数相乘，再将两个个位数字相乘，最后将两个结果组合起来就是最终答案。即积的前两位是十位数字乘以（十位数字 + 1）的结果，积的后两位是两个个位数字的乘积。
示例：计算\(34\times36\)，先算\(3\times(3 + 1)=3\times4 = 12\)，再算\(4\times6 = 24\)，所以\(34\times36 = 1224\)；同理，\(52\times58 = 5\times(5 + 1)\times100 + 2\times8 = 3000 + 16 = 3016\)。
6、尾同头合十
规律：若两个两位数的个位数字相同，十位数字相加为\(10\)，则先将两个十位数字相乘，再加上个位数字，然后将个位数字相乘，最后将两个结果组合起来。即积的前两位是十位数字相乘再加上个位数字的结果，积的后两位是个位数字的平方。
示例：计算\(43\times63\)，先算\(4\times6 + 3 = 27\)，再算\(3\times3 = 9\)，结果为\(2709\)；又如\(72\times32\)，可得\(7\times3 + 2 = 23\)，\(2\times2 = 4\)，所以\(72\times32 = 2304\)。
7、相同数字组成的多位数乘法
规律：由相同数字组成的多位数乘以一个一位数时，可以先找出这个一位数与组成多位数的数字之间的乘法规律，再根据规律得出结果。
示例：计算\(111\times3\)，因为\(1\times3 = 3\)，所以\(111\times3 = 333\)；同理，\(222\times4 = 888\)。再如\(555\times6\)，\(5\times6 = 30\)，则\(555\times6 = 3330\)。
8、两位数乘以\(11\)
规律：“两边一拉，中间相加”。即将这个两位数的十位数字和个位数字分别拉到百位和个位，然后将十位数字和个位数字相加的结果放在十位上，如果相加满十则向百位进一。
示例：计算\(23\times11\)，先将\(2\)和\(3\)拉开，即百位是\(2\)，个位是\(3\)，然后计算\(2+3=5\)，放在十位上，所以\(23\times11 = 253\)；又如\(47\times11\)，拉开\(4\)和\(7\)，\(4+7=11\)，满十向百位进一，百位变为\(4+1=5\)，十位是\(1\)，个位是\(7\)，结果是\(517\)。
9、三位数乘以\(11\)
规律：同样遵循“两边一拉，中间相加”的原则。把三位数的百位数字和个位数字分别拉到千位和个位，然后将百位数字与十位数字相加的结果放在百位上，十位数字与个位数字相加的结果放在十位上，注意相加时如果满十要向前一位进一。
示例：计算\(123\times11\)，先拉开\(1\)和\(3\)，千位是\(1\)，个位是\(3\)，接着计算\(1+2=3\)放在百位，\(2+3=5\)放在十位，所以\(123\times11 = 1353\)；再如\(345\times11\)，拉开\(3\)和\(5\)，\(3+4=7\)放在百位，\(4+5=9\)放在十位，结果是\(3795\)；若遇到相加满十的情况，如\(567\times11\)，拉开\(5\)和\(7\)，\(5+6=11\)，向千位进一，千位变为\(5+1=6\)，百位是\(1\)，\(6+7=13\)，向百位进一，百位变为\(1+1=2\)，十位是\(3\)，个位是\(7\)，结果是\(6237\)。
10、多位数乘以\(11\)
规律：从右到左，依次将每一位数字与它右边相邻的数字相加，将结果写在对应位置上，满十进一，最高位数字不变，最低位数字也不变。
示例：计算\(1234\times11\)，从右到左，\(4\)不变，\(3+4=7\)，\(2+3=5\)，\(1+2=3\)，\(1\)不变，所以\(1234\times11 = 13574\)；又如\(56789\times11\)，\(9\)不变，\(8+9=17\)，向十位进一，十位变为\(7+8+1=16\)，再向百位进一，百位变为\(6+7+1=14\)，再向千位进一，千位变为\(5+6+1=12\)，万位变为\(5+1=6\)，结果是\(624679\)。
11、任意数乘以\(11\)的简便竖式计算
以\(3456\times11\)为例，将\(3456\)与\(11\)竖向排列，然后从个位开始，依次用\(11\)的个位数字\(1\)去乘\(3456\)的每一位数字，所得结果写在对应位置下方，再用\(11\)的十位数字\(1\)去乘\(3456\)的每一位数字，所得结果错位写在下方（即十位数字乘得的结果从十位开始写），最后将对应位置上的数字相加。
