等差数列
等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母\(d\)表示。
例如，数列\(1,3,5,7,\cdots\)是一个等差数列，其公差\(d = 2\)。
等差数列的通项公式
对于首项为\(a_{1}\)，公差为\(d\)的等差数列\(\{a_{n}\}\)，其通项公式为\(a_{n}=a_{1}+(n - 1)d\)。
例如，在等差数列\(a_{n}=2+(n - 1)\times3\)中，首项\(a_{1}=2\)，公差\(d = 3\)，
当\(n = 5\)时，\(a_{5}=2+(5 - 1)\times3=14\)。
等差数列的前\(n\)项和公式
设等差数列\(\{a_n\}\)的首项为\(a_1\)，末项为\(a_n\)，公差为\(d\)，项数为\(n\)。
我们可以将等差数列的前\(n\)项和\(S_n=a_1 + a_2+a_3+\cdots+a_n\)表示出来。
同时，我们也可以将其倒序写为\(S_n=a_n + a_{n - 1}+a_{n - 2}+\cdots+a_1\)。
将这两个式子相加，得到
\(2S_n=(a_1 + a_n)+(a_2 + a_{n - 1})+(a_3 + a_{n - 2})+\cdots+(a_n + a_1)\)
因为
\(a_k + a_{n-(k - 1)}=a_1+(k - 1)d+a_1+(n - k)d\)
\(= 2a_1+(n - 1)d=a_1 + a_n\)（\(k = 1,2,\cdots,n\)）。
所以\(2S_n=n(a_1 + a_n)\)，则\(S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}\)。
所以等差数列的前n项和公式：\(S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}\)，即，\(S_n=\frac{项数\times(首项 +末项)}{2}\)
另外，根据等差数列通项公式\(a_n=a_1+(n - 1)d\)，我们还可以将求和公式变形为：
\(S_n=na_1+\frac{n(n - 1)}{2}d\)
等差数列的等差中项
若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等差数列，则\(b\)叫做\(a\)与\(c\)的等差中项，且\(b=\frac{a + c}{2}\)。
例如，\(2\)，\(4\)，\(6\)成等差数列，\(4\)是\(2\)和\(6\)的等差中项，\(4=\frac{2 + 6}{2}\)。
等差数列的应用：已知首项、末项和项数求求和
例：求等差数列\(1,3,5,\cdots,99\)的和。
首先，我们可以判断这是一个首项\(a_1 = 1\)，公差\(d = 2\)的等差数列。
由通项公式\(a_n=a_1+(n - 1)d\)，可得\(99 = 1+(n - 1)\times2\)，解得\(n = 50\)。
再根据求和公式\(S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}\)，可得\(S_{50}=\frac{50\times(1 + 99)}{2}=2500\)。
等差数列的应用：已知首项、公差和项数求求和
例：求等差数列\(2,5,8,\cdots\)的前\(10\)项和。
这里首项\(a_1 = 2\)，公差\(d = 3\)，项数\(n = 10\)。
根据公式\(S_n=na_1+\frac{n(n - 1)}{2}d\)，可得\(S_{10}=10\times2+\frac{10\times9}{2}\times3=20 + 135 = 155\)。
等差数列的应用：等差数列为模型的应用题
例如，有一堆钢管，最上层有\(3\)根，最下层有\(7\)根，相邻两层相差\(1\)根，求这堆钢管的总数。
我们可以将钢管的层数看作项数\(n\)，根据题意可知这是一个首项\(a_1 = 3\)，末项\(a_n = 7\)，公差\(d = 1\)的等差数列。
先求项数\(n\)，由\(a_n=a_1+(n - 1)d\)，即\(7 = 3+(n - 1)\times1\)，解得\(n = 5\)。
再根据求和公式\(S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}\)，可得\(S_5=\frac{5\times(3 + 7)}{2}=25\)，所以这堆钢管一共有\(25\)根。
等差数列的性质
通项公式相关性质
对于首项为\(a_{1}\)，公差为\(d\)的等差数列\(\{a_{n}\}\)，其通项公式为\(a_{n}=a_{1}+(n - 1)d\)，\(a_{m}=a_{1}+(m - 1)d\).
通项公式的推广：\(a_{n}=a_{m}+(n - m)d\)，其中\(n,m\in N^*\)，此式可在已知数列中某一项及公差的情况下，求出任意一项的值.
等差中项性质：若\(m,n,p,q\in N^*\)，且\(m + n = p + q\)，则\(a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}\)；特别地，若\(m + n = 2p\)，则\(a_{m}+a_{n}=2a_{p}\)，即从第二项起，每一项都是它前后两项的等差中项.
前\(n\)项和相关性质
前\(n\)项和公式的函数特征：当公差\(d\neq0\)时，等差数列的前\(n\)项和\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d=\frac{d}{2}n^{2}+(a_{1}-\frac{d}{2})n\)，是关于\(n\)的二次函数且常数项为\(0\).
片段和性质：\(S_{n}\)，\(S_{2n}-S_{n}\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)，… 也成等差数列，公差为\(n^{2}d\).
项的组合性质
常数倍性质：公差为\(d\)的等差数列，各项同乘以常数\(k\)所得数列仍是等差数列，其公差为\(kd\).
加常数性质：公差为\(d\)的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为\(d\).
子数列性质：从等差数列中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为\(kd\)（\(k\)为取出项数之差）.
特殊项组合性质：若\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)是等差数列，则\(\{pa_{n}+qb_{n}\}\)也是等差数列（\(p,q\)为常数）.
项数为偶数或奇数时的性质
项数为偶数\(2n\)时：\(S_{2n}=n(a_{1}+a_{2n})=n(a_{n}+a_{n + 1})\)；\(S_{偶}-S_{奇}=nd\)；\(\frac{S_{偶}}{S_{奇}}=\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\).
项数为奇数\(2n - 1\)时：\(S_{2n-1}=(2n - 1)a_{n}\)；\(S_{奇}-S_{偶}=a_{n}\)；\(\frac{S_{偶}}{S_{奇}}=\frac{n - 1}{n}\).
最值性质
对于首项\(a_{1}\gt0\)，公差\(d\lt0\)的递减等差数列，前\(n\)项和\(S_{n}\)的最大值是所有非负项之和，即当\(a_{m}\geq0\)且\(a_{m + 1}\leq0\)时，\(S_{m}\)为最大值.
对于首项\(a_{1}\lt0\)，公差\(d\gt0\)的递增等差数列，前\(n\)项和\(S_{n}\)的最小值是所有非正项之和，即当\(a_{m}\leq0\)且\(a_{m + 1}\geq0\)时，\(S_{m}\)为最小值.
等差数列的性质在数学竞赛中的应用
通项公式性质的应用
求数列中的特定项：在数学竞赛中，经常会遇到给定一些数列项之间的关系，要求求出特定项的值。
例如，已知等差数列\(\{a_n\}\)中\(a_{m}=p\)，\(a_{n}=q\)（\(m\neq n\)），根据等差数列通项公式\(a_n=a_m+(n - m)d\)，可以推导出公差\(d=\frac{q - p}{n - m}\)，进而求出数列的通项公式\(a_k=a_m+(k - m)\frac{q - p}{n - m}\)，这样就能求出任意项\(a_k\)的值。
证明数列项的关系：若要证明数列中的某些项满足特定关系，也会用到通项公式的性质。
比如，已知\(m + n = p + q\)，要证明\(a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}\)。由通项公式\(a_m=a_1+(m - 1)d\)，\(a_n=a_1+(n - 1)d\)，\(a_p=a_1+(p - 1)d\)，\(a_q=a_1+(q - 1)d\)，将\(a_{m}+a_{n}\)与\(a_{p}+a_{q}\)展开后可以发现它们相等，这一性质在解决一些复杂的数列证明题时非常有用。
前\(n\)项和性质的应用
求和公式变形的应用：在竞赛题目中，对于等差数列的前\(n\)项和\(S_n=na_1+\frac{n(n - 1)}{2}d\)的变形应用较多。
例如，已知\(S_n\)和\(S_{n - 1}\)的值，要求公差\(d\)，可以通过\(S_n - S_{n - 1}=a_n\)，再结合通项公式求出公差。或者，当\(S_n\)是关于\(n\)的二次函数\(S_n = An^2 + Bn\)（其中\(A=\frac{d}{2}\)，\(B=a_1-\frac{d}{2}\)）时，根据二次函数的性质来分析数列的最值、项数等问题。
片段和性质的应用：\(S_{n}\)，\(S_{2n}-S_{n}\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)成等差数列这一性质在竞赛中也经常出现。
例如，已知\(S_n\)、\(S_{2n}\)的值，要求\(S_{3n}\)，可以利用这一性质建立等式求解。或者，在证明一些与数列和有关的不等式时，通过将数列和拆分成多个片段和，利用其等差性质进行放缩，从而完成证明。
项的组合性质的应用
构造新数列解题：如果题目中涉及多个等差数列的组合，利用项的组合性质可以构造新的等差数列来简化问题。
例如，已知\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)是等差数列，要求数列\(\{c_n=a_n + b_n\}\)的性质，根据等差数列项的组合性质可知\(\{c_n\}\)也是等差数列，进而可以利用等差数列的基本性质来研究\(\{c_n\}\)的通项公式、前\(n\)项和等问题。
子数列性质的应用：从原等差数列中取出等距离的项构成新数列的性质，在竞赛中可用于解决一些规律探索和数列变换的问题。
比如，从等差数列\(\{a_n\}\)中每隔\(k\)项取出一项构成新数列\(\{b_n\}\)，根据子数列性质可知\(\{b_n\}\)也是等差数列，且公差为\(kd\)。通过研究子数列与原数列的关系，可以找到解决问题的突破口。
项数为偶数或奇数时的性质应用
分组求和与比较：当项数为偶数或奇数时的性质在处理一些分组求和问题中很有帮助。
例如，项数为\(2n\)时，\(S_{偶}-S_{奇}=nd\)这一性质可以用于快速计算偶数项和与奇数项和的差值。在竞赛中，可能会遇到将数列按照奇偶项分组，然后比较两组和的大小、求两组和的比值或者根据两组和的关系求出数列的其他参数等问题，这些性质就能发挥作用。
最值问题的特殊解法：在求等差数列前\(n\)项和的最值问题上，项数为奇数或偶数时的特殊性质提供了不同的思路。
例如，项数为\(2n - 1\)时，\(S_{2n - 1}=(2n - 1)a_{n}\)，如果要使\(S_{2n - 1}\)最大，就需要找到\(a_{n}\)最大的情况。这种利用特殊项数下求和公式的性质来求最值的方法，在竞赛解题中可以简化计算过程，提高解题效率。
不同阶段的经典数学竞赛真题：
小学阶段
把一根14厘米长的吸管剪成等差的三段，用线串成一个三角形。可剪成（ ）厘米、（ ）厘米、（ ）厘米.
本题考查等差数列以及三角形三边关系的知识点，我们可以通过以下步骤来求解：
步骤一：设等差数列的公差为\(d\)，首项为\(a_1\)
设剪成的三段吸管长度分别为\(a_1\)厘米、\((a_1 + d)\)厘米、\((a_1 + 2d)\)厘米（因为是等差的三段）。
步骤二：根据吸管总长建立方程
已知吸管总长为\(14\)厘米，根据三段长度之和等于总长，可得方程：\(a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 14\)
化简这个方程：\(3a_1 + 3d = 14\)
进一步变形为：\(a_1 + d = \frac{14}{3}\)
步骤三：结合三角形三边关系确定取值范围
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，有以下三个不等式需要满足：
1. \(a_1 + (a_1 + d) > a_1 + 2d\)，化简可得\(a_1 > d\)；
2. \(a_1 + (a_1 + 2d) > a_1 + d\)，化简可得\(a_1 + d > 0\)，这是恒成立的；
3. \((a_1 + d) + (a_1 + 2d) > a_1\)，化简可得\(a_1 + 3d > 0\)。
步骤四：尝试取值并确定答案
因为\(a_1 + d = \frac{14}{3}\)，且\(a_1\)、\(d\)应为整数（吸管长度通常为整数），我们尝试不同的整数组合来满足上述条件。
假设\(d = 1\)，则\(a_1 = \frac{14}{3} - 1 = \frac{11}{3}\)，不是整数，不符合要求。
假设\(d = 2\)，则\(a_1 = \frac{14}{3} - 2 = \frac{8}{3}\)，不是整数，不符合要求。
假设\(d = 3\)，则\(a_1 = \frac{14}{3} - 3 = \frac{5}{3}\)，不是整数，不符合要求。
假设\(d = 2\)，\(a_1 = 4\)时：
三段长度分别为\(4\)厘米、\(4 + 2 = 6\)厘米、\(4 + 2\times2 = 8\)厘米，满足\(4 + 6 > 8\)，\(4 + 8 > 6\)，\(6 + 8 > 4\)，且\(4 + 6 + 8 = 14\)厘米，符合题意。
所以可剪成\(4\)厘米、\(6\)厘米、\(8\)厘米。
故答案依次填入：\(4\)、\(6\)、\(8\)。
高中阶段
已知两个等差数列\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)，其前\(n\)项和分别为\(S_{n}\)和\(T_{n}\)，且\(\frac{S_{n}}{T_{n}}=\frac{3n + 2}{2n + 1}\)，求\(\frac{a_{7}}{b_{7}}\)的值
分析：根据等差数列的性质，若\(m,n,p,q\in N^+\)，且\(m + n = p + q\)，则\(a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}\)。对于项数为奇数的等差数列，其前\(n\)项和等于中间项乘以项数，即\(S_{13}=13a_{7}\)，\(T_{13}=13b_{7}\).
解答：则\(\frac{a_{7}}{b_{7}}=\frac{S_{13}}{T_{13}}=\frac{3\times13 + 2}{2\times13 + 1}=\frac{41}{27}\) 。
设等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若\(S_{10}=100\)，\(S_{20}=400\)，求\(S_{30}\)的值
分析：由等差数列前\(n\)项和的性质可知，\(S_{n}\)，\(S_{2n}-S_{n}\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)仍成等差数列.
解答：因为\(S_{10}=100\)，\(S_{20}=400\)，所以\(S_{20}-S_{10}=300\)，则\(S_{30}-S_{20}+S_{10}=2(S_{20}-S_{10})\)，即\(S_{30}-400 + 100 = 2\times300\)，解得\(S_{30}=900\) 。
已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的公差\(d\neq0\)，且\(a_{1}\)，\(a_{3}\)，\(a_{9}\)成等比数列，求\(\frac{a_{1}+a_{3}+a_{9}}{a_{2}+a_{4}+a_{10}}\)的值
分析：根据等比中项性质，若\(A\)，\(B\)，\(C\)成等比数列，则\(B^2 = AC\)。由\(a_{1}\)，\(a_{3}\)，\(a_{9}\)成等比数列可得\(a_{3}^{2}=a_{1}a_{9}\)，再结合等差数列通项公式\(a_{n}=a_{1}+(n - 1)d\)求出\(a_{1}\)与\(d\)的关系，进而求出比值 。
解答：由\(a_{3}^{2}=a_{1}a_{9}\)可得\((a_{1}+2d)^{2}=a_{1}(a_{1}+8d)\)，化简得\(a_{1}=d\)。所以
\(\frac{a_{1}+a_{3}+a_{9}}{a_{2}+a_{4}+a_{10}}=\frac{a_{1}+(a_{1}+2d)+(a_{1}+8d)}{(a_{1}+d)+(a_{1}+3d)+(a_{1}+9d)}=\frac{13d}{16d}=\frac{13}{16}\) 。
