除法的定义与表示

除法是已知两个因数的积与其中一个非零因数，求另一个因数的运算。

若\(a\times b = c\)（\(a\neq0\)），那么\(c\div a = b\)，\(c\div b = a\)。

在除法算式中，被除数除以除数得到商。

例如，\(12\div3 = 4\)，其中\(12\)是被除数，\(3\)是除数，\(4\)是商。

除法运算符号为“÷”或“/”，在分数中，分数线“—”也表示除法运算，如\(\frac{3}{5}\)表示\(3\)除以\(5\)。

除法的意义

1、平均分：把一个数平均分成若干份，求每份是多少。

例如，将\(15\)个苹果平均分给\(3\)个小朋友，每人分得的苹果数为\(15\div3 = 5\)个，这体现了除法在分配问题中的应用。

2、包含除：求一个数里面包含几个另一个数。

例如，\(10\)里面包含几个\(2\)，可列式为\(10\div2 = 5\)，即\(10\)里面包含\(5\)个\(2\)，这种意义常用于解决一些数量关系的比较和分组问题。

除法的运算性质

1、商不变性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（\(0\)除外），商不变。

\((a\times m)\div(b\times m)=a\div b\)（\(m\neq0\)）

\((a\div m)\div(b\div m)=a\div b\)（\(m\neq0\)）。

例如，\((12\times2)\div(3\times2)=24\div6 = 4\)，\((12\div3)\div(3\div3)=4\div1 = 4\)。

2、连续除以两个数等于除以这两个数的积：\(a\div b\div c = a\div(b\times c)\)（\(b\)、\(c\)均不为\(0\)）。

例如，\(24\div2\div3 = 24\div(2\times3)=24\div6 = 4\)，这一性质可以简化一些连续除法的运算。

除法的计算方法

1、表内除法：可以根据乘法口诀直接得出商。

例如，计算\(8\div2\)，根据乘法口诀“二四得八”，可知商为\(4\)。熟练掌握乘法口诀是进行表内除法运算的关键。

2、多位数除以一位数：从被除数的最高位除起，如果最高位不够除，就看被除数的前两位；除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面；每次除得的余数必须比除数小。

例如，计算\(324\div3\)，先算\(3\div3 = 1\)，再算\(2\div3\)不够除，看前两位\(24\div3 = 8\)，所以结果为\(108\)。如果在计算过程中某一位上的余数大于除数，则说明计算错误。

3、多位数除以多位数：先看被除数的前几位，如果前几位比除数小，就多取一位再除，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面，每次除得的余数必须比除数小。

例如，计算\(432\div12\)，先看被除数的前两位\(43\div12 = 3\cdots\cdots7\)，再把余数\(7\)和个位上的\(2\)合起来是\(72\)，\(72\div12 = 6\)，所以结果为\(36\)。在多位数除法中，试商是一个关键步骤，需要根据除数和被除数的大小关系，合理地估计商的取值范围。

除法中的特殊情况

1、除数不能为\(0\)：因为除法是乘法的逆运算，若除数为\(0\)，则根据乘法运算，任何数乘以\(0\)都为\(0\)，无法得到一个确定的商，所以除数不能为\(0\)。

例如，\(5\div0\)是无意义的。

2、被除数为\(0\)：当被除数为\(0\)时，商为\(0\)，但除数不能为\(0\)。即\(0\div a = 0\)（\(a\neq0\)）。

除法在生活中的应用

1、分配问题：如将一定数量的物品平均分配给若干个人或单位，就需要用到除法。

例如，将\(60\)本图书平均分给\(4\)个班级，每个班级分得\(60\div4 = 15\)本。

2、倍数问题：已知一个数是另一个数的几倍，求另一个数时用除法。

例如，已知甲是乙的\(5\)倍，甲为\(30\)，则乙为\(30\div5 = 6\)。

3、行程问题：与速度、路程、时间的关系密切。根据公式:

速度 = 路程÷时间

例如，已知路程为\(120\)千米，时间为\(3\)小时，可求得速度为\(120\div3 = 40\)千米/小时。

4、价格问题：在购物时，已知总价和单价，求数量就需要用除法。

例如，购买某种商品花费\(100\)元，单价为\(20\)元，那么购买的数量为\(100\div20 = 5\)个。

有余数的除法

有余数的除法的定义

如果一个整数\(a\)除以另一个非零整数\(b\)，商是整数\(q\)，余数是\(r\)，并且\(0\leq r\lt b\)，那么就可以表示为：

\(a\div b = q\cdots\cdots r\)。其中\(a\)是被除数，\(b\)是除数，\(q\)是商，\(r\)是余数。

有余数的除法的计算方法

进行带余数除法运算时，同样从被除数的最高位开始除起，如果最高位小于除数，则看被除数的前几位，除到哪一位，商就写在哪一位的上面。每次除得的余数必须比除数小，如果余数大于或等于除数，则说明还可以继续除。

例如，计算\(43\div6\)，先看\(43\)的最高位\(4\)，\(4\lt6\)，则看前两位\(43\)，\(43\div6 = 7\cdots\cdots1\)，其中\(7\)是商，\(1\)是余数，因为\(1\lt6\)，满足余数小于除数的条件。

有余数的除法的性质

1、余数小于除数：这是带余数除法的基本性质，如上述示例中余数\(1\)小于除数\(6\)。如果余数大于或等于除数，说明除法运算还未完成，需要继续进行计算，直到余数小于除数为止。

2、被除数与除数、商、余数的关系：根据带余数除法的定义，可以得到被除数等于除数乘以商再加上余数，即\(a = b\times q + r\)。

例如，在\(43\div6 = 7\cdots\cdots1\)中，\(43 = 6\times7 + 1\)。

有余数的除法的应用

1、解决实际分配问题：带余数除法在生活中有很多实际应用。

例如，将\(23\)个苹果平均分给\(5\)个小朋友，\(23\div5 = 4\cdots\cdots3\)，这意味着每个小朋友可以分到\(4\)个苹果，还剩下\(3\)个苹果。

2、周期问题：在一些具有周期性规律的问题中，带余数除法可以帮助确定某个元素在周期中的位置。

例如，一个星期有\(7\)天，今天是星期一，再过\(20\)天是星期几？

可以用\(20\div7 = 2\cdots\cdots6\)，余数是\(6\)，说明再过\(2\)个完整的星期后，再过\(6\)天，星期一往后数\(6\)天就是星期日。

3、数字规律问题：在一些数字规律的探索中也会用到带余数除法。

例如，有一列数按照\(1\)、\(3\)、\(5\)、\(7\)、\(1\)、\(3\)、\(5\)、\(7\cdots\cdots\)的规律排列，问第\(30\)个数是几？

可以用\(30\div4 = 7\cdots\cdots2\)，余数为\(2\)，说明第\(30\)个数是这组规律中的第\(2\)个数，即\(3\)。

有余数的除法与整除的关系

整除是带余数除法的一种特殊情况，当余数\(r = 0\)时，就称\(a\)能被\(b\)整除，此时\(a\div b = q\)，没有余数。

例如，\(12\div3 = 4\)，这里\(12\)能被\(3\)整除，商为\(4\)，余数为\(0\)。

整除在数学中也有重要的应用，如判断一个数是否为另一个数的倍数等。

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