用比例解决行程问题的技巧

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1. 基本原理

在行程问题中，路程、速度和时间三个量之间存在紧密的关系。当两个物体运动时，它们的路程之比、速度之比和时间之比相互关联。如果两个物体运动时间相同，那么路程之比等于速度之比；如果路程相同，那么速度之比等于时间之比的反比。

2. 简单的同时间行程问题（路程比等于速度比）

题目：甲、乙两人同时从A地出发前往B地，甲的速度是每小时60千米，乙的速度是每小时40千米，求甲、乙两人在相同时间内所行路程之比。

分析：因为两人运动时间相同，根据路程与速度的关系，路程之比等于速度之比。

解答：甲、乙速度之比为\(60:40 = 3:2\)，所以路程之比也为\(3:2\)。

3. 同路程行程问题（速度比等于时间反比）

题目：甲、乙两车行驶同一段路程，甲车用了3小时，乙车用了4小时，求甲、乙两车的速度之比。

分析：路程相同，速度之比等于时间之比的反比。

解答：甲、乙两车时间之比为\(3:4\)，那么速度之比为\(4:3\)。

4. 复杂的比例行程问题（结合相遇或追及）

相遇问题示例：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度比是\(3:2\)，相遇时甲比乙多走了30千米，求A、B两地的距离。

分析：因为两人同时出发到相遇时间相同，路程比等于速度比，即相遇时甲、乙路程之比为\(3:2\)。把A、B两地之间的路程看作\(3 + 2 = 5\)份，甲比乙多走了\(3-2 = 1\)份，已知甲比乙多走\(30\)千米，所以\(1\)份是\(30\)千米。

解答：A、B两地的距离为\(30×(3 + 2)=150\)千米。

追及问题示例：甲、乙两车在同一条路上同向而行，甲、乙两车的速度比是\(4:3\)，开始时两车相距20千米，甲车追上乙车需要行驶多少千米？

分析：甲、乙两车速度比为\(4:3\)，时间相同时，路程比也为\(4:3\)。设甲车追上乙车时，甲车行驶了\(4x\)千米，乙车行驶了\(3x\)千米，甲比乙多行驶\(20\)千米，即\(4x-3x = 20\)，解得\(x = 20\)。

解答：甲车追上乙车需要行驶\(4×20 = 80\)千米。

5. 比例行程问题在往返路程中的应用

题目：一辆汽车从A地到B地，去时速度与返回速度之比是\(4:5\)，往返共用了9小时，求去时所用时间。

分析：路程相同，速度之比为\(4:5\)，那么时间之比为\(5:4\)。把往返总时间看作\(5 + 4 = 9\)份，去时时间占\(5\)份。

解答：去时所用时间为\(9×\frac{5}{9}=5\)小时。

用比例解决行程问题的技巧和注意事项

分析比例关系的关键因素

确定相同量：在行程问题中，时间相同是路程比等于速度比的关键条件；路程相同是速度比等于时间反比的关键条件。例如，甲、乙两人同时出发到某一时刻，这个过程时间相同，若知道速度比，就能得到路程比。又如，甲、乙两车行驶相同的一段路，若知道速度比，就能推出时间比。

构建比例等式：根据已知条件，把速度、路程、时间的比例关系用等式表示出来。比如，已知甲、乙速度比是\(3:2\)，在相同时间\(t\)内，路程\(S_甲 = 3t\)，\(S_乙 = 2t\)，所以\(S_甲:S_乙 = 3:2\)。

巧用份数思想简化计算

整体看作份数之和：将路程或时间等看作若干份的总和。例如，在相遇问题中，甲、乙速度比为\(4:3\)，相遇时两人行驶时间相同，路程比也为\(4:3\)，可将总路程看作\(4 + 3 = 7\)份，这样便于计算各自行驶的路程占总路程的比例。

按比例分配求解：当知道总路程、总时间等总量以及各部分的比例关系时，就可以按比例分配来求解具体的路程、时间等。比如，已知总路程是\(70\)千米，甲、乙路程比是\(4:3\)，那么甲行驶的路程就是\(70\times\frac{4}{7}=40\)千米，乙行驶的路程就是\(70\times\frac{3}{7}=30\)千米。

结合线段图辅助分析

直观呈现行程过程：画线段图来表示行程问题中的出发地、目的地、运动方向和路程等信息。例如，对于追及问题，用线段图可以清楚地看到开始时两车的距离，以及追及过程中两车路程的变化情况。

明确比例对应线段：在线段图上标注出速度比、路程比对应的线段长度，使比例关系更加直观。比如，在往返行程问题中，通过线段图可以直观地看到去程和回程的路程相等，再结合速度比确定时间比对应的线段长度，帮助理解和计算。

灵活转换比例关系

速度、路程、时间之间的转换：根据行程问题的基本公式\(路程 = 速度\times时间\)，可以灵活转换比例关系。如果已知速度比和时间比，就可以求出路程比；同样，已知路程比和速度比，也能推出时间比。例如，甲、乙速度比是\(3:2\)，时间比是\(4:5\)，那么路程比就是\((3\times4):(2\times5)=12:10 = 6:5\)。

不同行程阶段的比例转换：在复杂的行程问题中，可能会有多个行程阶段，每个阶段的比例关系可能不同。要善于在不同阶段的比例关系之间进行转换。比如，在一个先相遇后追及的问题中，相遇阶段的路程比和追及阶段的路程比可以通过速度比和时间比来相互转换，从而求出最终答案。