小学数学：数论基础

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模块一：整除基础与带余除法（1～30）

1. 整除定义：整数\(a,b(b≠0)\)，存在整数\(k\)使\(a=bk\)，记作\(b\mid a\)，\(b\)是\(a\)约数，\(a\)是\(b\)倍数。

2. \(1\)整除任意整数，任意非零整数整除\(0\)。

3. 非零自然数最小约数是\(1\)，最大约数是自身。

4. 自然数倍数有无穷多个，最小倍数是本身，无最大倍数。

5. 若\(d\mid a、d\mid b\)，则\(d\mid(a+b)\)、\(d\mid(a-b)\)（和差整除性）。

6. 若\(d\mid a\)，对任意整数\(k\)，有\(d\mid ka\)（倍数扩张）。

7. 整除传递性：\(a\mid b,b\mid c\Rightarrow a\mid c\)。

8. 若\(a\mid b,b\mid a\Rightarrow a=\pm b\)。

9. 带余除法：任意整数\(a,b(b>0)\)，唯一存在\(q、r\)满足\(a=bq+r，0\le r<b\)。

10. \(q\)为商，\(r\)为余数，余数一定小于除数。

11. 被除数＝除数×商＋余数；除数＝(被除数−余数)÷商。

12. 两数同除以\(m\)余数相同\(\iff m\mid\)两数之差。

13. 若\(a\div m=r_1，b\div m=r_2\)，则\((a+b)\div m\)余数=\((r_1+r_2)\bmod m\)。

14. 积的余数定理：\((a\cdot b)\bmod m=[(a\bmod m)\cdot(b\bmod m)]\bmod m\)。

15. 连续\(n\)个自然数中必有一个数是\(n\)的倍数。

16. 任意两个相邻自然数互质。

17. 连续\(3\)个自然数必有\(3\)的倍数，至少一个偶数。

18. 连续\(k\)个自然数乘积能被\(k!\)整除。

19. 若\(ab\mid c\)且\(\gcd(a,b)=1\)，则\(a\mid c，b\mid c\)。

20. 若\(a\mid bc，\gcd(a,b)=1\)，则\(a\mid c\)（消去律，核心）。

21. 多个因数：\(a\mid d,b\mid d,\gcd(a,b)=1\Rightarrow ab\mid d\)。

22. 被除数与余数同除以\(k\)，商不变，余数÷\(k\)。

23. 除数、被除数同扩大\(k\)倍，商不变，余数扩大\(k\)倍。

24. 一个数被\(m\)除余数只有\(0,1,2\dots m-1\)共\(m\)种。

25. 若\(a\equiv r\pmod m\)，则\(a^n\equiv r^n\pmod m\)。

26. 若\(a\equiv b\pmod m，c\equiv d\pmod m\)，则\(a+c\equiv b+d\pmod m\)。

27. 若\(a\equiv b\pmod m，c\equiv d\pmod m\)，则\(a-c\equiv b-d\pmod m\)。

28. 若\(a\equiv b\pmod m\)，则\(ka\equiv kb\pmod m\)。

29. \(a-b\)是\(m\)倍数\(\iff a、b\)模\(m\)同余。

30. 同余具有自反性：\(a\equiv a\pmod m\)。

模块二：数字整除判别法则（31～50）

31. 被\(2\)整除：末位为\(0,2,4,6,8\)（偶数）。

32. 被\(5\)整除：末位为\(0\)或\(5\)。

33. 被\(4、25\)整除：末两位组成的两位数能被\(4/25\)整除。

34. 被\(8、125\)整除：末三位组成的三位数能被\(8/125\)整除。

35. 被\(3\)整除：所有数位数字之和是\(3\)的倍数。

36. 被\(9\)整除：所有数位数字之和是\(9\)的倍数（弃九法本源）。

37. 被\(11\)整除：奇数位数字和与偶数位数字和的差是\(0\)或\(11\)倍数。

38. \(7、11、13\)通用判定：从右往左三位分段，奇数段之和减偶数段之和能被\(7/11/13\)整除。

39. \(6=2×3\)，能同时被\(2、3\)整除\(\Leftrightarrow\)被\(6\)整除。

40. \(12=3×4\)，能同时被\(3、4\)整除\(\Leftrightarrow\)被\(12\)整除。

41. \(15=3×5\)，能同时被\(3、5\)整除\(\Leftrightarrow\)被\(15\)整除。

42. \(18=2×9\)，能同时被\(2、9\)整除\(\Leftrightarrow\)被\(18\)整除。

43. \(20=4×5\)，末两位是\(00、20、40、60、80\)可被\(20\)整除。

44. \(7\)截尾判定：去掉个位，剩余数\(-\)个位\(×2\)，得数能被\(7\)整除则原数被\(7\)整除。

45. \(13\)截尾判定：去掉个位，剩余数\(+\)个位\(×4\)，能被\(13\)整除则原数被\(13\)整除。

46. \(17\)截尾判定：去个位，剩余数\(-\)个位\(×5\)判整除。

47. \(19\)截尾判定：去个位，剩余数\(+\)个位\(×2\)判整除。

48. \(99\)判定：两位分段，各段相加是\(99\)倍数则原数整除\(99\)。

49. \(101\)判定：两位分段奇偶段作差判整除。

50. 一个数同时被互质两数整除，就能被两数乘积整除。

模块三：质数、合数与质因数分解（51～85）

51. 质数（素数）：大于\(1\)，只有\(1\)和自身两个正约数。

52. 合数：大于\(1\)，除\(1\)与自身外还有其他正约数。

53. \(1\)既不是质数，也不是合数。

54. 最小质数是\(2\)，唯一偶质数，其余质数全是奇数。

55. 最小合数\(4\)，最小奇合数\(9\)。

56. \(10\)以内质数：\(2、3、5、7\)。

57. \(20\)以内质数：\(2,3,5,7,11,13,17,19\)。

58. \(50\)以内质数共\(15\)个：\(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47\)。

59. 质数有无穷多个（欧几里得证明定理）。

60. 算术基本定理：任意大于\(1\)的自然数\(N\)，唯一写成\(N=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dots p_n^{a_n}\)，\(p\)为质数。

61. 若质数\(p\mid ab\)，则\(p\mid a\)或\(p\mid b\)（质数整除关键性质）。

62. 若质数\(p\mid a^k\)，必有\(p\mid a\)。

63. 正约数个数公式：\(N=\prod p_i^{a_i}\)，约数个数\(d(N)=(a_1+1)(a_2+1)\dots(a_n+1)\)。

64. 正约数和公式：\(\sigma(N)=(1+p_1+\dots+p_1^{a_1})(1+p_2+\dots+p_2^{a_2})\dots\)。

65. 完全平方数：质因数所有指数全是偶数。

66. 完全立方数：质因数所有指数全是\(3\)的倍数。

67. \(m\)次方数：所有质因数指数都是\(m\)倍数。

68. 两个不同质数一定互质。

69. 质数与合数，质数不能整除合数时二者互质。

70. 除\(2\)外，任意两个质数之和为偶数。

71. 除\(2\)、\(3\)以外，质数除以\(6\)余数只能是\(1\)或\(5\)。

72. 合数\(N\)一定存在不大于\(\sqrt N\)的质因数。

73. 大于\(2\)的偶数都能拆成两个质数之和（哥德巴赫猜想中小学识记）。

74. 若\(n\)为质数，则\(n!+1\)大概率为质数（威尔逊拓展识记）。

75. 两个质数乘积是半质数，只有\(4\)个正约数。

76. \(p、q\)不同质数，\(N=p^2q\)，约数个数\(=(2+1)(1+1)=6\)。

77. 除\(2、5\)外，质数末位只能是\(1、3、7、9\)。

78. 连续两个自然数不可能同为质数（除\(2、3\)）。

79. 三个连续奇数中最多两个质数。

80. 一个质数乘自身是平方型合数。

81. 若\(N\)约数个数是奇数\(\iff N\)是完全平方数。

82. \(1\)的约数只有它本身。

83. 分解质因数是约分、通分、求gcd/lcm的基础。

84. 大于\(1\)的自然数最少有\(2\)个约数（质数）。

85. 合数最少\(3\)个正约数。

模块四：最大公约数gcd、最小公倍数lcm（86～120）

86. \(\gcd(a,b)\)：\(a、b\)全部公共正约数里最大值；\(\text{lcm}(a,b)\)：全部正公倍数里最小值。

87. 核心恒等式：\(\boldsymbol{a\times b=\gcd(a,b)\times \text{lcm}(a,b)}\)（必考公式）。

88. 互质定义：\(\gcd(a,b)=1\)。

89. \(\gcd(a,0)=a\)；\(\gcd(1,a)=1\)，\(1\)和所有自然数互质。

90. 辗转相除法：\(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\)，大数求gcd万能方法。

91. 设\(\gcd(a,b)=d\)，令\(a=dm,b=dn\)，则\(\gcd(m,n)=1\)。

92. \(\gcd(ka,kb)=k\cdot\gcd(a,b)\ \ (k>0)\)。

93. \(\text{lcm}(ka,kb)=k\cdot\text{lcm}(a,b)\ \ (k>0)\)。

94. \(\gcd(a,b)=1\Rightarrow \text{lcm}(a,b)=ab\)。

95. \(\gcd(a,b,c)=\gcd(\gcd(a,b),c)\)，三个数gcd分步求。

96. \(\text{lcm}(a,b,c)=\text{lcm}(\text{lcm}(a,b),c)\)，三个数lcm分步求。

97. 连续\(n\)个自然数两两gcd=1。

98. 若\(d\)是\(a、b\)公约数，则\(d\mid \gcd(a,b)\)。

99. \(a、b\)所有公倍数都是\(\text{lcm}(a,b)\)的倍数。

100. 分数约分：分子分母同除以\(\gcd(分子,分母)\)。

101. 分数通分：分母统一为各分母的最小公倍数。

102. \(a\mid c,b\mid c,\gcd(a,b)=1\Rightarrow ab\mid c\)。

103. 整体互质≠两两互质：如\(6,10,15\)整体gcd=1，但两两不互质。

104. \(\gcd(a,a)=a,\text{lcm}(a,a)=a\)。

105. \(\gcd(a,b)=\gcd(a,a+b)=\gcd(a,b-a)\)。

106. 两个数互质，它们的倍数也互质。

107. 若\(\gcd(a,b)=1\)，则\(\gcd(a^n,b^m)=1\)。

108. 多个数做短除法，公共质因数相乘得gcd。

109. 短除法求lcm：所有除数×余下互质数连乘。

110. \(\gcd(\text{lcm}(a,b),c)=\text{lcm}(\gcd(a,c),\gcd(b,c))\)。

111. \(\text{lcm}(\gcd(a,b),c)=\gcd(\text{lcm}(a,c),\text{lcm}(b,c))\)。

112. 两个数成倍数：小数是gcd，大数是lcm。

113. 若\(a\mid b\)，则\(\gcd(a,b)=a，\text{lcm}(a,b)=b\)。

114. 相邻奇数一定互质。

115. 相邻偶数gcd最小为\(2\)。

116. 一个质数不能整除另一个数则二者互质。

117. \(\gcd(a+b,a)=\gcd(a,b)\)。

118. \(\text{lcm}(a,b)\times\gcd(a,b)=ab\)拓展至多组配对。

119. 若干数最大公约数能整除任意两数之差。

120. 互质两数没有除1以外公共质因数。

模块五：奇偶性分析（121～150，奥数高频）

121. 奇数±奇数＝偶数；偶数±偶数＝偶数；奇数±偶数＝奇数。

122. 奇数×奇数＝奇数；任意数×偶数＝偶数。

123. 奇数个奇数相加＝奇数；偶数个奇数相加＝偶数。

124. 任意多个偶数相加永远是偶数。

125. 奇数²为奇数，偶数²为偶数，\(n\)与\(n^2\)奇偶永远一致。

126. 相邻自然数一奇一偶，乘积必为偶数。

127. 除\(2\)外全部质数都是奇数。

128. 连乘积为奇数\(\iff\)所有乘数全是奇数。

129. 连乘积为偶数\(\iff\)乘数中至少一个偶数。

130. 奇数不能被偶数整除，偶数可被奇数整除。

131. \(a+b\)与\(a-b\)奇偶性永远相同。

132. 任意自然数与相反数奇偶相同。

133. 奇数\(+\)偶数\(+\)奇数＝偶数。

134. 偶数个奇数相乘为奇，奇数个奇数相乘仍为奇。

135. \(1\sim n\)中奇偶数量：\(n\)偶则对半；\(n\)奇则奇数多一个。

136. 完全平方数奇偶和原数一致。

137. 两个奇数平方之差是\(8\)的倍数。

138. 偶质数只有\(2\)，其余质数奇数。

139. \(n(n+1)\)必是偶数（连续两自然数乘积）。

140. \(n(n+1)(n+2)\)必被\(6\)整除（含2、3倍数）。

141. 奇数除以2余数恒为1，偶数除以2余0。

142. 若干数相加奇偶只看里面奇数的个数。

143. 偶数的任意正整数次幂都是偶数。

144. 奇数任意正整数次幂都是奇数。

145. 两个偶质数不存在，只有\(2\)一个偶质数。

146. 一个奇数减偶数＝奇数。

147. 连续四个自然数乘积必是\(24\)倍数。

148. 所有阶乘\(n!(n\ge2)\)都是偶数。

149. 奇数不能拆成两个偶数之和。

150. 偶数可拆成两奇或两偶之和。

模块六：完全平方数专项（151～175）

151. 完全平方数末位只能：\(0、1、4、5、6、9\)，不可能出现\(2、3、7、8\)。

152. 平方数除以\(4\)余数只能是\(0\)或\(1\)。

153. 平方数除以\(3\)余数只能是\(0\)或\(1\)。

154. 平方数除以\(5\)余数：\(0、1、4\)。

155. 平方数除以\(8\)余数：\(0、1、4\)。

156. \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)（平方差因式分解）。

157. 平方数约数个数一定是奇数。

158. 非平方数约数个数必为偶数。

159. 两个连续自然数乘积不是完全平方数。

160. 若\(n\)是平方数，则\(n\)的质因数指数全偶。

161. 两个平方数乘积仍是平方数：\(a^2b^2=(ab)^2\)。

162. 若\(ab\)是平方数且\(\gcd(a,b)=1\)，则\(a、b\)各自都是平方数。

163. 个位为\(5\)的平方数十位必是\(2\)。

164. 末尾连续\(0\)的个数必为偶数（平方数）。

165. \(1^2+2^2+\dots+n^2=\dfrac16n(n+1)(2n+1)\)平方和公式。

166. 相邻两个平方数之间无其他平方数。

167. 奇数平方\(=8k+1\)形式。

168. 偶平方\(=4k\)。

169. 一个数若末两位\(22、23、27、28\)等，一定不是平方数。

170. 若\(p\)质数，\(p^k\)为平方数\(\iff k\)偶数。

171. 平方数各位数字和模9只能\(0,1,4,7\)。

172. \(a^2\)与\((a+1)^2\)相差\(2a+1\)（连续平方差）。

173. 三个连续整数不可能全是平方数。

174. 平方数不能是\(2、3、7\)结尾。

175. 若\(n\)不是平方数，\(\sqrt n\)无理数。

模块七：不定方程、阶乘、剩余定理、费马基础（176～200）

176. 贝祖定理：二元一次不定方程\(ax+by=c\)有整数解\(\iff \gcd(a,b)\mid c\)。

177. \(\gcd(a,b)=1\)时，\(ax+by=1\)一定存在整数解。

178. \(ax+by=c\)有解时，通解可由一组特解批量构造。

179. 不定方程\(xy=N\)，解组数等于\(N\)正约数个数。

180. \(n!=1×2×3×\dots×n\)（\(n\)的阶乘）。

181. \(n\ge5\)时\(n!\)末尾至少\(1\)个\(0\)；末尾\(0\)由因数\(2×5\)产生。

182. \(n!\)中质因数\(p\)指数：\([\tfrac np]+[\tfrac{n}{p^2}]+[\tfrac{n}{p^3}]+\dots\)（勒让德公式）。

183. 一个数的幂次模\(m\)余数具有周期性（幂剩余周期）。

184. 若\(a\equiv1\pmod m\)，则\(a^k\equiv1\pmod m\)。

185. 中国剩余定理：模数两两互质时，同余方程组在模乘积范围内有唯一解。

186. 弃九法：一个数模9余数＝数字和模9余数，用于验算加减乘。

187. \(a^p\equiv a\pmod p\)（费马小定理，\(p\)质数，中小学拓展）。

188. \(\gcd(a,p)=1\)时，\(a^{p-1}\equiv1\pmod p\)。

189. 同余方程组模数不互质，先拆分合并再求解。

190. \(n\)个连续整数乘积含\(n\)全部因数。

191. \(C_p^k=\dfrac{p!}{k!(p-k)!}\)，\(p\)质数、\(1\le k<p\)时，\(p\mid C_p^k\)。

192. 威尔逊小结论：\(p\)为质数，则\((p-1)!\equiv-1\pmod p\)。

193. 余数加法：多个数之和取余＝各自余数之和再取模。

194. 一个数除以连续互质数，可拆分用中国剩余定理。

195. \(a\mid n,b\mid n,\gcd(a,b)=1\Rightarrow ab\mid n\)。

196. 末尾\(k\)个0：统计阶乘里\(5\)的个数（\(2\)永远多于\(5\)）。

197. 若\(x\equiv r\pmod m，x\equiv r\pmod n\)，则\(x\equiv r\pmod{\text{lcm}(m,n)}\)。

198. 形如\(4k+3\)质数不能写成两平方数之和。

199. 两个互质数，各自的幂仍然互质。

200. 所有大于\(3\)的自然数\(n\)，\(n、n+1、n+2\)必有\(3\)的倍数。

第一模块：整除与带余除法 习题1～30（对应知识点1～30）

1. 判断：12能否整除84？7能否整除50？

2. 写出36全部正约数、5个36的倍数。

3. 已知\(3\mid a、3\mid b\)，求证\(3\mid(a+b)\)。

4. 已知\(5\mid25\)，求证\(5\mid75\)。

5. 若\(a\mid18，18\mid72\)，说明\(a\)与72整除关系。

6. 若\(a\mid b,b\mid a\)，写出\(a、b\)关系。

7. \(a=47,b=6\)，用带余除法写出\(a=bq+r\)。

8. 除数7，商5，余数3，求被除数。

9. 被除数68，除数9，求商和余数。

10. 两数相差36，同除以9余数相同，说明9整除36。

11. \(a\div5\)余2，\(b\div5\)余3，求\((a+b)\div5\)余数。

12. \(a\div6\)余4，\(b\div6\)余5，求\(ab\div6\)余数。

13. 在1～30中随便取连续5个数，找出其中5的倍数。

14. 求证：15和16互质。

15. 任取连续3个自然数23、24、25，找出3的倍数与偶数。

16. 求证：\(3\times4\mid12\)，\(\gcd(3,4)=1\)，则\(3\mid12、4\mid12\)。

17. 已知\(7\mid56，\gcd(7,8)=1\)，求证\(7\mid56\)。

18. 被除数120、除数15同时÷3，求新商与新余数。

19. 被除数12、除数5同时扩大4倍，求新余数。

20. 写出一个数除以4所有可能余数。

21. \(a\equiv3\pmod7\)，求\(a^2\pmod7\)余数。

22. \(a\equiv2\pmod5,b\equiv1\pmod5\)，求\(a+b\pmod5\)。

23. \(a\equiv6\pmod9,b\equiv2\pmod9\)，求\(a-b\pmod9\)。

24. \(x\equiv4\pmod6\)，求\(3x\pmod6\)。

25. 28和10同余模几？

26. 验证\(13\equiv13\pmod8\)。

27. 从1～10挑连续4个数，证明乘积被\(4!\)整除。

28. 若\(4\mid m，5\mid m，\gcd(4,5)=1\)，求证\(20\mid m\)。

29. \(a=5q+2\)，求\(3a\)除以5余数。

30. 若\(m\mid(a-b),m\mid(b-c)\)，求证\(m\mid(a-c)\)。

第二模块：整除判定 习题31～50（对应31～50）

31. 从14、37、58、91里挑2的倍数。

32. 从25、32、70、95里挑5的倍数。

33. 判断：152、225能否分别被4、25整除。

34. 判断：1125、312能否分别被125、8整除。

35. 判断1245是否为3的倍数。

36. 判断7818能否被9整除。

37. 用奇偶位差法判断1353能否被11整除。

38. 分段法判断1001能否被7、11、13整除。

39. 在34、72、96中找出6的倍数。

40. 在132、150、202中找出12的倍数。

41. 在75、123、210中找出15的倍数。

42. 在126、244、360中找出18的倍数。

43. 写出3个能被20整除的三位数。

44. 截尾法验证133能否被7整除。

45. 截尾法验证247能否被13整除。

46. 截尾法判断323能否被17整除。

47. 截尾法判断361能否被19整除。

48. 两位分段判断1287能否被99整除。

49. 分段法判断141414能否被101整除。

50. 一个数同时被4、9整除，求证被36整除。

第三模块：质数合数、分解质因数 习题51～85（对应51～85）

51. 区分：2、9、13、21中质数与合数。

52. 找出：1、17、27、31里的合数。

53. 说明1为什么既不是质数也不是合数。

54. 写出唯一偶质数，再写3个奇质数。

55. 写出最小合数、最小奇合数。

56. 默写10以内全部质数。

57. 默写20以内全部质数。

58. 从1～50挑出50以内全部质数。

59. 简答：质数个数有限还是无穷？

60. 分解质因数：\(120=\)？

61. \(p\)是质数，\(p\mid35\)，求\(p\)。

62. 质数\(p\mid49\)，求证\(p\mid7\)。

63. \(N=2^3×3^2\)，求正约数总个数。

64. 用上题数字，求全部正约数之和。

65. 判定\(2^2×5^4\)是否完全平方数。

66. \(N=3^3×7^6\)，判断是否完全立方数。

67. \(a=2^4×5^2\)，判断是几次方数。

68. 求证：3和7两个不同质数互质。

69. 质数7、合数15，7不整除15，求证二者互质。

70. 除2外，7+11是奇数还是偶数？

71. 写出除以6余1、余5的各两个质数。

72. 合数91，找不大于\(\sqrt{91}\)的质因数。

73. 把20拆成两个质数之和。

74. 简答：\(5!+1\)是不是质数。

75. \(N=3×5\)，求它的正约数数量。

76. \(N=2^2×3\)，计算约数个数。

77. 写出末位是1、3、7、9的4个质数。

78. 除2、3，找一组连续自然数都不是质数。

79. 写出3个连续奇数，其中两个质数。

80. \(7×7\)是质数还是合数。

81. \(N=36\)约数个数奇数，验证是完全平方数。

82. 写出1的全部正约数。

83. 分解36质因数，用于约分\(\frac{24}{36}\)。

84. 写出最小有2个约数的自然数。

85. 写出最小有3个约数的合数。

第四模块：gcd与lcm 习题86～120（对应86～120）

86. 求\(\gcd(24,36)、\text{lcm}(24,36)\)。

87. 验证：\(24×36=\gcd×\text{lcm}\)。

88. 判断\(\gcd(13,18)=1\)是否成立。

89. 计算\(\gcd(15,0)、\gcd(1,47)\)。

90. 辗转相除法求\(\gcd(108,144)\)。

91. \(\gcd(a,b)=6,a=6m,b=6n\)，验证\(\gcd(m,n)=1\)。

92. 求\(\gcd(36,48)\)与\(\gcd(3×36,3×48)\)。

93. 求\(\text{lcm}(12,18)\)和\(\text{lcm}(4×12,4×18)\)。

94. \(\gcd(7,9)=1\)，求证\(\text{lcm}(7,9)=63\)。

95. 分步求\(\gcd(12,18,24)\)。

96. 分步求\(\text{lcm}(8,12,16)\)。

97. 证明15、16连续自然数互质。

98. \(d=3\)是12、18公约数，证明\(d\mid\gcd(12,18)\)。

99. 写出\(\text{lcm}(15,20)\)的3个公倍数。

100. 约分\(\frac{32}{48}\)（用最大公约数）。

101. 通分：\(\frac1{12},\frac1{18}\)（用最小公倍数）。

102. \(4\mid M、5\mid M，\gcd(4,5)=1\)，证明\(20\mid M\)。

103. 求\(\gcd(6,10,15)\)，验证整体互质、两两不互质。

104. 计算\(\gcd(27,27)、\text{lcm}(27,27)\)。

105. 求证\(\gcd(24,18)=\gcd(24,6)\)。

106. \(\gcd(5,7)=1\)，求证\(\gcd(15,21)=3≠1\)。

107. \(\gcd(a,b)=1\)，求证\(\gcd(a^2,b^3)=1\)。

108. 短除法求\(\gcd(36,60)\)。

109. 短除法求\(\text{lcm}(36,60)\)。

110. 验证\(\gcd(\text{lcm}(4,6),8)=\text{lcm}(\gcd(4,8),\gcd(6,8))\)。

111. 验证\(\text{lcm}(\gcd(6,9),12)=\gcd(\text{lcm}(6,12),\text{lcm}(9,12))\)。

112. \(12\mid36\)，求\(\gcd(12,36),\text{lcm}(12,36)\)。

113. \(a\mid b\)，举例验证小数是gcd，大数lcm。

114. 求证25、27相邻奇数互质。

115. 求\(\gcd(24,30)\)，相邻偶数gcd≥2。

116. 质数11不能整除24，求证\(\gcd(11,24)=1\)。

117. 求证\(\gcd(a+b,a)=\gcd(a,b)\)，取\(a=12,b=18\)验证。

118. 举例验证\(ab=\gcd×\text{lcm}\)。

119. \(\gcd(36,48)=12\)，求证\(12\mid(48-36)\)。

120. \(\gcd(8,15)=1\)，二者无除1外公共质因数。

第五模块：奇偶分析 习题121～150（对应121～150）

121. 计算：奇+奇、偶+奇结果奇偶。

122. 奇×奇、偶×任意数结果奇偶。

123. 1+3+5（3个奇数）和是奇还是偶。

124. 2+4+6+8结果奇偶。

125. \(7^2、8^2\)分别奇偶。

126. 23×24乘积奇偶。

127. 除2以外，随便写3个奇质数。

128. 3×5×7乘积奇偶。

129. 3×4×9乘积奇偶。

130. 奇数25能不能被偶数2整除。

131. \(a=7,b=4\)，\(a+b、a-b\)奇偶是否相同。

132. +5和-5奇偶一致。

133. 奇+偶+奇=？

134. 2×3×5、3×5×7奇偶。

135. 1～10奇偶各几个。

136. \(11^2\)和11奇偶相同。

137. \(5^2-3^2\)是不是8倍数。

138. 写出唯一偶质数。

139. \(7×8\)必为偶数。

140. \(3×4×5\)能否被6整除。

141. 15÷2余数，16÷2余数。

142. 1+3+4+6，只看奇数个数判断总和奇偶。

143. \(4^5\)奇偶。

144. \(9^4\)奇偶。

145. 证明不存在第二个偶质数。

146. \(27-12\)奇偶。

147. 2×3×4×5是不是24倍数。

148. \(4!\)奇偶。

149. 15能不能拆成两个偶数相加。

150. 16拆成两奇、两偶两种加法。

第六模块：完全平方数 习题151～175（对应151～175）

151. 从32、121、169、203挑平方数。

152. \(7^2\div4\)余数，\(8^2\div4\)余数。

153. \(5^2\div3、6^2\div3\)余数。

154. \(4^2、5^2\)除以5余数。

155. \(3^2、4^2\)除以8余数。

156. 分解\(64-25\)（平方差）。

157. 列出36全部约数，验证个数奇数。

158. 列出12全部约数，验证个数偶数。

159. 证明15×16不是完全平方数。

160. \(N=2^4×3^2\)，验证指数全偶是平方数。

161. \(25×36\)是否完全平方数。

162. \(\gcd(a,b)=1,ab=144\)，求\(a、b\)平方数。

163. \(35^2\)十位数字是几。

164. \(10000\)末尾0个数偶数。

165. 用平方和公式求\(1^2+2^2+3^2\)。

166. 121和144之间有无其他平方数。

167. \(9^2=8k+?\)。

168. \(12^2=4k\)，求\(k\)。

169. 末两位23的数能不能是平方数。

170. \(p=3\)，\(p^4\)是平方数，\(p^3\)不是。

171. 求169数字和，模9是几。

172. \(11^2\)与\(12^2\)相差多少。

173. 找三个连续自然数都不是平方数。

174. 末位7的自然数不可能是平方数。

175. \(\sqrt{12}\)无理数，说明12非平方数。

第七模块：不定方程、阶乘、剩余定理 习题176～200（对应176～200）

176. 判断\(3x+6y=4\)有没有整数解（贝祖）。

177. \(\gcd(5,3)=1\)，写出\(5x+3y=1\)一组整数解。

178. \(2x+3y=13\)先找特解，再写通解思路。

179. \(xy=24\)，求正整数解组数。

180. 写出\(5!\)展开式。

181. 求\(5!\)末尾0的个数。

182. 用勒让德公式求\(15!\)中质因数5的指数。

183. \(2^n\pmod7\)找余数周期。

184. \(a\equiv1\pmod6\)，求\(a^5\pmod6\)。

185. \(\begin{cases}x\equiv2\pmod3\\x\equiv2\pmod5\end{cases}\)，用中国剩余定理解。

186. 弃九法验算\(123+456=579\)。

187. \(p=5\)，验证\(a^5\equiv a\pmod5\)。

188. \(\gcd(3,5)=1\)，验证\(3^4\equiv1\pmod5\)。

189. \(\begin{cases}x\equiv1\pmod4\\x\equiv3\pmod6\end{cases}\)模数不互质，合并方程。

190. 任意4个连续自然数乘积含\(4!\)。

191. \(p=7\)，求证\(7\mid C_7^3\)。

192. 验证\((5-1)!\equiv-1\pmod5\)。

193. \(a\div7\)余3，\(b\div7\)余5，和取余。

194. \(x\equiv3\pmod5,x\equiv3\pmod7\)，统一同余式。

195. \(5\mid n、7\mid n,\gcd(5,7)=1\)，\(35\mid n\)。

196. 求\(25!\)末尾0的数量（只算因数5）。

197. \(x\equiv4\pmod6,x\equiv4\pmod9\)，模\(\text{lcm}(6,9)\)。

198. 简答：\(7=4k+3\)，不能写成两平方数之和。

199. \(\gcd(8,15)=1\)，求证\(\gcd(8^3,15^2)=1\)。

200. 任取\(n=7\)，\(7、8、9\)必有3的倍数。

101～200：奥数拔高题（初中+竞赛难度，接在基础1～100之后）

> 说明：前面1～100是课内基础，下面101～200为奥数难题，继续七大模块顺序

一、整除带余拔高101～130

101. 一个数除7余3，除11余3，求最小自然数。

102. 四位数\(\overline{a23b}\)能被45整除，求所有四位数。

103. 证明：任意\(n^2+n\)必是偶数。

104. 被除数+除数+商+余数=137，商4余3，求被除数。

105. 已知\(a\equiv5\pmod9,b\equiv7\pmod9\)，求\(ab+2a\pmod9\)。

106. 连续8个自然数乘积一定是8的倍数，证明。

107. \(d\mid(a+b),d\mid a\)，求证\(d\mid b\)。

108. 某数除以3余1，除以4余2，除以5余3，求最小正整数。

109. 若\(7\mid n+2\)，求证\(7\mid n^3+8\)。

110. 三位数\(\overline{abc}\)，证明\(\overline{abc}-\overline{cba}\)是9的倍数。

111. \(a\)除以5余2，求\(a^{2025}\pmod5\)。

112. 1～2025连续数，任选3个，必有两数差是3倍数。

113. 若\(m\mid x-y,m\mid y-z\)，则\(m\mid x+z-2y\)。

114. 一个自然数被8、9、10除都余5，求最小数。

115. \(n(n+2)(n+4)\)，证明必有3的倍数。

116. 两数相除商5余12，四数和197，求被除数。

117. \(a\equiv2\pmod7\)，\(b\equiv3\pmod7\)，求\(a^2-b\pmod7\)。

118. 证明任意四个连续整数乘积+1是平方数。

119. 若\(6\mid n\)，证明\(6\mid n(n+1)(n+2)\)。

120. 一个数去掉末两位后剩的数×4=去掉的两位数，且能被99整除，求最小数。

121. \(a=9k+5\)，求\(2a\pmod3\)。

122. 求证：\(11\mid\overline{abba}\)。

123. 连续7个自然数，必有7的倍数。

124. \(a\mid bc,\gcd(a,b)=1\Rightarrow a\mid c\)，举例\(a=7,b=8,c=56\)。

125. 一个自然数除以6余4，除以8余6，除以9余7，求最小值。

126. \(x\equiv3\pmod5，3x\equiv?\pmod5\)。

127. 证明：\(10^n-1\)恒能被9整除。

128. 两数同余模13，求证差是13倍数。

129. \(n\)是奇数，求证\(n^2-1\)被8整除。

130. 五位数\(\overline{3a6b5}\)能被75整除，求所有解。

二、质合、分解质因数拔高131～155

131. 两个质数和是39，求乘积。

132. \(N=2^5×3^2×5\)，求全部正约数个数与约数和。

133. 已知\(p、p+4\)都是质数，求\(p\)。

134. 把144拆成两个互质自然数乘积。

135. \(n!\)末尾18个0，求最小\(n\)。

136. 大于3的质数\(p\)，证明\(p^2-1\)是24倍数。

137. \(N\)有9个正约数，求最小\(N\)。

138. 三个连续自然数都是合数，写出最小一组。

139. 若\(p\)是质数，\(p+10、p+14\)也是质数，求\(p\)。

140. \(1×2×3×…×30\)分解质因数，求质因数3的指数。

141. 一个合数恰有4个约数，写出全部形式。

142. \(a×b=199\)，199是质数，求\(a,b\)。

143. 除2、3，质数\(p=6k±1\)，验证\(p=37\)。

144. \(N=1260\)，分解质因数后求奇约数个数。

145. 20以内质数任选两个相乘，有多少种不同乘积。

146. 若\(n\)为平方数，质因数指数全偶，举例\(n=324\)。

147. 证明：大于2质数不能是完全平方数。

148. 把100拆成两个质数之和，写全部组合。

149. \(p\)质数，\(p^3+2\)也是质数，求\(p\)。

150. 已知\(ab=72，\gcd(a,b)=3\)，求\(a、b\)。

151. 求不大于200质数中，最大形如\(4k+3\)质数。

152. \(N\)约数和为奇数，求证\(N\)是平方数。

153. 分解\(2025\)质因数，判断几次方数。

154. 两个不同质数平方和能否为平方数？举例。

155. 求最小自然数，恰有12个正约数。

三、gcd、lcm拔高156～170

156. 两数\(\gcd=12，\text{lcm}=144\)，求两数。

157. 已知\(a+b=72,\gcd(a,b)=12\)，求\(a、b\)。

158. 求\(\gcd(2^{2025}-1,2^{2025}+1)\)。

159. 三个自然数\(\text{lcm}=120,\gcd=2\)，写出一组。

160. \(\gcd(a,b)=1\)，求证\(\gcd(a+b,ab)=1\)。

161. 已知\(\text{lcm}(a,b)=360,\gcd(a,b)=12\)，求两数所有可能。

162. 求\(1\sim30\)所有数的最小公倍数所含质因数。

163. 若\(d=\gcd(a,b)\)，求证\(\gcd(\frac ad,\frac bd)=1\)。

164. 甲乙两数\(\gcd=5\)，\(\text{lcm}=120\)，求两数。

165. 求\(\gcd(100!,97!)\)。

166. 若\(\gcd(a,b)=1,\gcd(a,c)=1\)，求证\(\gcd(a,bc)=1\)。

167. 两个连续偶数\(\gcd=2\)，\(\text{lcm}=\frac{ab}2\)，举例。

168. 一个数被12、15整除，求最小数。

169. \(\gcd(a,a+1)=1\)恒成立，证明。

170. 已知\(\text{lcm}(12,x)=60\)，求正整数\(x\)。

四、平方数、奇偶、不定方程拔高171～200

171. 证明：两个连续平方数之差不是完全平方数。

172. 不定方程\(x+2y=15\)全部正整数解。

173. 求证：\(x^2+y^2=2023\)无整数解（模4分析）。

174. 四个连续奇数乘积+16是完全平方数，证明。

175. 求小于200最大完全平方数。

176. \(xy+2x+3y=12\)，求正整数解。

177. 证明：奇数个奇数相乘为奇数。

178. 若\(n^2\)末位为5，求证十位必为2。

179. \(3x-5y=1\)一组特解，再写通解。

180. 两个平方数差=99，求所有自然数解。

181. 求证：任意\(4k+3\)质数不能写成两平方数之和。

182. 求\(x^2-y^2=45\)全部正整数解。

183. \(n\)奇数，\(n^2=8t+1\)，举例验证。

184. 不定方程\(2x+5y=27\)全部自然数解。

185. 末三位是123的数不是平方数，证明。

186. 证明：\(1!+2!+3!+\dots+n!\)，\(n\ge5\)末位固定。

187. 同余方程组\(\begin{cases}x\equiv1\pmod7\\x\equiv2\pmod{11}\end{cases}\)求解。

188. \(a^{12}\equiv1\pmod{13}(\gcd(a,13)=1)\)，费马小定理验证。

189. 求证：\(n^3-n\)必被6整除。

190. 求满足\(x\equiv5\pmod6,x\equiv7\pmod8,x\equiv9\pmod{10}\)最小自然数。

191. 证明：相邻两个自然数平方和不是平方数。

192. \(n!\)中质因数2的指数大于因数5，故末尾0只算5。

193. \(\gcd(a,b)=1\)，则\(\text{lcm}(a,b)=ab\)，用于解方程\(ab=60\)。

194. 证明：平方数不能以2、3、7结尾。

195. 威尔逊定理验证：\(6!\equiv-1\pmod7\)。

196. 求\(x^2+2y^2=25\)全部正整数解。

197. 任意三个连续自然数立方和是3倍数，证明。

198. 一个平方数除以9余7是否可能？证明。

199. 中国剩余定理综合：\(\begin{cases}x\equiv3\pmod4\\x\equiv4\pmod5\\x\equiv5\pmod6\end{cases}\)。

200. 证明：\(n、n+1、n+2\)必有一个被3整除。

第一模块：整除与带余除法（1～30 基础）

1. \(12\mid84\)成立；\(7\nmid50\)

2. 36约数：\(1,2,3,4,6,9,12,18,36\)；倍数：\(36,72,108,144,180\)

3. \(3\mid a,3\mid b\Rightarrow a=3m,b=3n,a+b=3(m+n)\)，得证

4. \(5\mid25\Rightarrow75=3×25\)，故\(5\mid75\)

5. \(a\mid18,18\mid72\Rightarrow a\mid72\)

6. \(a=\pm b\)

7. \(47=6×7+5\)

8. \(7×5+3=38\)

9. \(68=9×7+5\)，商7，余数5

10. 两数差是9倍数，\(9\mid36\)成立

11. \((2+3)\bmod5=0\)，余0

12. \(4×5=20，20\bmod6=2\)，余2

13. 任意连续5数必有5倍数，例\(21,22,23,24,25\)中\(25\)

14. \(\gcd(15,16)=1\)，互质

15. \(24\)是3倍数、偶数

16. \(3×4=12\mid12，\gcd(3,4)=1，3\mid12、4\mid12\)

17. \(\gcd(7,8)=1,7\mid56\)成立

18. \(120÷3=40,15÷3=5，40÷5\)商8余0

19. \(12×4=48，5×4=20，48÷20\)余数8

20. 除以4余数：\(0,1,2,3\)

21. \(a\equiv3\pmod7，a^2=9\equiv2\pmod7\)

22. \(2+1=3\pmod5\)

23. \(6-2=4\pmod9\)

24. \(3×4=12\equiv0\pmod6\)

25. \(28-10=18\)，可模\(2,3,6,9,18\)

26. \(13\equiv13\pmod8\)成立

27. 连续4自然数乘积能被\(4!=24\)整除

28. \(\gcd(4,5)=1,4\mid m,5\mid m\Rightarrow20\mid m\)

29. \(a=5q+2，3a=15q+6\equiv1\pmod5\)

30. \(m\mid a-b,m\mid b-c\Rightarrow m\mid(a-b)+(b-c)=a-c\)

第二模块：整除判定（31～50）

31. \(14、58\)

32. \(25、70、95\)

33. \(152\)末两位\(52，4\mid52\)；\(225\)末两位\(25，25\mid225\)，都整除

34. \(312\)末三位\(312，8\mid312\)；\(1125\)末三位\(125，125\mid1125\)

35. \(1+2+4+5=12，3\mid12\)，能被3整除

36. \(7+8+1+8=24，9\nmid24\)，不能被9整除

37. 奇位和\(1+5=6\)，偶位\(3+3=6\)，差0，\(11\mid1353\)

38. \(1001=7×11×13\)，均可整除

39. \(72、96\)

40. \(132\)

41. \(75、210\)

42. \(126、360\)

43. \(100、120、140\)

44. \(13-3×2=7，7\mid7，7\mid133\)

45. \(24+7×4=52，13\mid52，13\mid247\)

46. \(32-3×5=17，17\mid17，17\mid323\)

47. \(36+1×2=38，19\mid38，19\mid361\)

48. \(12+87=99，99\mid1287\)

49. \(14-14+14=14，101\nmid14\)，不能整除

50. \(\gcd(4,9)=1，4\mid N,9\mid N\Rightarrow36\mid N\)

第三模块：质数合数、分解质因数（51～85）

51. 质数：\(2、13\)；合数：\(9、21\)

52. 合数：\(27\)

53. 1只有1个约数，不符合质数、合数定义

54. 唯一偶质数\(2\)；奇质数\(3,5,7\)

55. 最小合数\(4\)，最小奇合数\(9\)

56. \(2,3,5,7\)

57. \(2,3,5,7,11,13,17,19\)

58. \(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47\)

59. 质数有无穷多个

60. \(120=2^3×3×5\)

61. \(35=5×7，p=5或7\)

62. \(49=7^2，p\mid49\Rightarrow p\mid7\)

63. \((3+1)(2+1)=12\)个约数

64. \((1+2+4+8)(1+3+9)=15×13=195\)

65. 指数全偶数，是完全平方数

66. \(3^3\)指数3非3倍数，不是立方数

67. \(2^4,5^2\)，整体是平方数

68. 不同质数\(\gcd=1\)，互质

69. \(7\nmid15，\gcd(7,15)=1\)

70. \(7+11=18\)偶数

71. 余1：\(7,13\)；余5：\(5,11\)

72. \(\sqrt{91}\approx9.5\)，质因数\(7、13\)，\(7<9.5\)

73. \(20=3+17=7+13\)

74. \(5!+1=121=11^2\)，合数

75. \((1+1)(1+1)=4\)

76. \((2+1)(1+1)=6\)

77. \(11,13,17,19\)

78. \(8,9,10\)连续合数

79. \(9,11,13\)，\(11、13\)质数

80. \(7×7=49\)合数

81. \(36\)约数9个(奇数)，完全平方数

82. \(1\)

83. \(36=2^2×3^2，\dfrac{24}{36}=\dfrac23\)

84. \(2\)（质数，2个约数）

85. \(4(1,2,4)\)

第四模块：gcd、lcm（86～120）

86. \(\gcd(24,36)=12，\text{lcm}=72\)

87. \(24×36=864，12×72=864\)，等式成立

88. \(\gcd(13,18)=1\)正确

89. \(\gcd(15,0)=15，\gcd(1,47)=1\)

90. \(\gcd(108,144)=36\)

91. \(a=6m,b=6n,\gcd(a,b)=6\Rightarrow\gcd(m,n)=1\)

92. \(\gcd(36,48)=12,\gcd(108,144)=36=3×12\)

93. \(\text{lcm}(12,18)=36,\text{lcm}(48,72)=144=4×36\)

94. \(\gcd(7,9)=1,\text{lcm}=63=7×9\)

95. \(\gcd(12,18)=6,\gcd(6,24)=6\)

96. \(\text{lcm}(8,12)=24,\text{lcm}(24,16)=48\)

97. 相邻自然数互质，\(\gcd(15,16)=1\)

98. \(\gcd(12,18)=6，3\mid6\)

99. \(\text{lcm}(15,20)=60\)，公倍数\(120,180,240\)

100. \(\gcd(32,48)=16，\dfrac{32}{48}=\dfrac23\)

101. \(\text{lcm}(12,18)=36，\dfrac1{12}=\dfrac3{36},\dfrac1{18}=\dfrac2{36}\)

102. \(\gcd(4,5)=1，4\mid M,5\mid M\Rightarrow20\mid M\)

103. \(\gcd(6,10,15)=1\)；\(\gcd(6,10)=2,\gcd(6,15)=3,\gcd(10,15)=5\)两两不互质

104. \(\gcd(27,27)=27,\text{lcm}=27\)

105. \(\gcd(24,18)=\gcd(24,6)=6\)

106. \(\gcd(5,7)=1，\gcd(15,21)=3\)

107. \(\gcd(a,b)=1\Rightarrow\gcd(a^2,b^3)=1\)

108. \(\gcd(36,60)=12\)

109. \(\text{lcm}(36,60)=180\)

110. 左右都为\(12\)，等式成立

111. 左右都为\(12\)，等式成立

112. \(12\mid36,\gcd=12,\text{lcm}=36\)

113. \(5\mid20,\gcd(5,20)=5,\text{lcm}=20\)

114. \(\gcd(25,27)=1\)

115. \(\gcd(24,30)=6≥2\)

116. \(11\nmid24,\gcd(11,24)=1\)

117. \(\gcd(12+18,12)=\gcd(30,12)=6=\gcd(12,18)\)

118. 例\(6×8=48,\gcd=2,\text{lcm}=24,2×24=48\)

119. \(\gcd=12,12\mid(48-36)=12\)

120. \(\gcd(8,15)=1\)无公共质因数

第五模块：奇偶分析（121～150）

121. 奇+奇=偶，偶+奇=奇

122. 奇×奇=奇，任意×偶=偶

123. \(1+3+5=9\)奇数

124. \(2+4+6+8=20\)偶数

125. \(7^2\)奇，\(8^2\)偶

126. \(23×24\)偶

127. \(3,5,7\)

128. \(3×5×7\)奇

129. \(3×4×9\)偶

130. \(25÷2\)不能整除

131. \(7+4=11,7-4=3\)全奇，奇偶相同

132. \(+5、-5\)都是奇数

133. 奇+偶+奇=偶

134. \(2×3×5\)偶；\(3×5×7\)奇

135. 1～10奇偶各5个

136. \(11、11^2\)都是奇数

137. \(25-9=16，8\mid16\)

138. \(2\)

139. \(7×8\)偶数

140. \(3×4×5=60，6\mid60\)

141. \(15÷2\)余1，\(16÷2\)余0

142. 奇数\(1、3\)共2个(偶数个)，总和偶

143. \(4^5\)偶

144. \(9^4\)奇

145. 除2以外质数都是奇数，无第二个偶质数

146. \(27-12=15\)奇数

147. \(2×3×4×5=120，24\mid120\)

148. \(4!=24\)偶数

149. 偶数+偶数=偶，15奇数无法拆分

150. \(16=3+13=5+11\)(两奇)；\(2+14=4+12\)(两偶)

第六模块：完全平方数（151～175）

151. \(121=11^2、169=13^2\)

152. \(7^2=49≡1\pmod4，8^2=64≡0\pmod4\)

153. \(5^2≡1,6^2≡0\pmod3\)

154. \(4^2≡1,5^2≡0\pmod5\)

155. \(3^2≡1,4^2≡0\pmod8\)

156. \(64-25=(8-5)(8+5)=3×13\)

157. 36约数9个(奇数)

158. 12约数6个(偶数)

159. \(15×16\)相邻自然数乘积非平方

160. \(2^43^2\)指数全偶，平方数

161. \(25×36=5^2×6^2=(30)^2\)平方数

162. \(\gcd(a,b)=1,ab=144\Rightarrow a=1,b=144;a=9,b=16\)均平方

163. \(35^2=1225\)十位2

164. \(10000=100^2\)末尾4个0，偶数个

165. \(1+4+9=14\)

166. \(11^2=121,12^2=144\)中间无平方数

167. \(9^2=81=8×10+1，k=10\)

168. \(12^2=144=4×36，k=36\)

169. 平方末两位无23，不能

170. \(3^4\)指数4偶是平方，\(3^3\)指数3非偶不是

171. \(1+6+9=16≡7\pmod9\)

172. \(144-121=23\)

173. \(2,3,4\)

174. 平方尾数无7

175. \(\sqrt{12}\)无理数，12非平方

第七模块：不定方程、阶乘、剩余（176～200）

176. \(\gcd(3,6)=3，3\nmid4\)，无整数解

177. \(5×2-3×3=1\)，\(\begin{cases}x=2\\y=-3\end{cases}\)一组解

178. 特解\(\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}\)，通解\(\begin{cases}x=2+3t\\y=3-2t\end{cases}(t\in\mathbb Z)\)

179. \(24\)约数8个，8组正整数解

180. \(5!=1×2×3×4×5\)

181. \(5!\)含1个5，末尾1个0

182. \(\left\lfloor\dfrac{15}{5}\right\rfloor=3\)，指数3

183. \(2,4,1\)周期3

184. \(a≡1\pmod6，a^5≡1^5=1\pmod6\)

185. \(x≡2\pmod{15}\)

186. \(123\)数字和6，\(456\)和15，\(6+15=21≡3\)；\(579\)和\(21≡3\)，验算正确

187. \(a^5≡a\pmod5\)成立(费马小定理)

188. \(\gcd(3,5)=1，3^4=81≡1\pmod5\)成立

189. \(x=4k+1\)代入二式：\(4k+1≡3\pmod6\Rightarrow4k≡2\pmod6\Rightarrow2k≡1\pmod3\)

190. 4连续自然数乘积是\(4!\)倍数

191. \(C_7^3=35,7\mid35\)成立

192. \(4!=24≡-1\pmod5\)成立

193. \((3+5)\bmod7=1\)

194. \(x≡3\pmod{35}\)

195. \(\gcd(5,7)=1,5\mid n,7\mid n\Rightarrow35\mid n\)

196. \(\lfloor25/5\rfloor+\lfloor25/25\rfloor=5+1=6\)个5，6个0

197. \(\text{lcm}(6,9)=18，x≡4\pmod{18}\)

198. \(7=4×1+3\)，不能拆两平方和

199. \(\gcd(8,15)=1\Rightarrow\gcd(8^3,15^2)=1\)

200. \(7,8,9\)中\(9\)是3倍数

奥数拔高101～200答案

一、整除拔高101～130

101. \(x-3=\text{lcm}(7,11)=77\)，最小\(80\)

102. \(45=5×9\)，\(\overline{a23b}\)：\(b=0/5\)；\(a+2+3+b\)是9倍数：\(a=4,b=0；a=8,b=5\)，四位数\(4230、8235\)

103. \(n^2+n=n(n+1)\)相邻相乘必偶

104. 设除数\(x\)，被除数\(4x+3\)；\(4x+3+x+4+3=137\Rightarrow x=25\)，被除数\(103\)

105. \(ab+2a≡5×7+10=45≡0\pmod9\)

106. 8连续自然数含8倍数，乘积是8倍数

107. \(d\mid(a+b),d\mid a\Rightarrow d\mid b\)

108. \(x+2=\text{lcm}(3,4,5)=60,x=58\)

109. \(n≡-2\pmod7，n^3≡-8，n^3+8≡0\pmod7\)

110. \(\overline{abc}-\overline{cba}=99(a-c)\)，9的倍数

111. \(a≡2\pmod5，2^4≡1，2025=4×506+1，a^{2025}≡2\)

112. 模3只有3种余数，3数必有两数同余，差是3倍数

113. \(m\mid x-y,m\mid y-z\Rightarrow m\mid(x-y)+2(y-z)=x+z-2y\)

114. \(x-5=\text{lcm}(8,9,10)=360，x=365\)

115. \(n,n+2,n+4\)模3遍历\(0,1,2\)必有一个余0

116. 除数\(x\)，被除数\(5x+12\)；\(5x+12+x+5+12=197\Rightarrow x=28\)，被除数\(152\)

117. \(2^2-3=1\pmod7\)

118. \(n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2\)平方数

119. \(6\mid n\Rightarrow2、3\mid n\)，三连续含2、3倍数，\(6\mid\)乘积

120. 设后两位\(x\)，前\(x/4\)，\(100·\dfrac x4+x=26x\)，\(99\mid26x\Rightarrow99\mid x\)，\(x=99\)，原数\(2499\)

121. \(a=9k+5≡2\pmod3，2a≡4≡1\pmod3\)

122. \(\overline{abba}=1001a+110b=11(91a+10b)\)，\(11\mid\)

123. 连续7自然数必有7倍数

124. \(7\mid56,\gcd(7,8)=1\Rightarrow7\mid56\)成立

125. \(x+2=\text{lcm}(6,8,9)=72,x=70\)

126. \(3×3=9≡4\pmod5\)

127. \(10≡1\pmod9，10^n≡1^n=1，10^n-1≡0\pmod9\)

128. 同余\(\Rightarrow m\mid\)两数之差

129. \(n\)奇\(n=2k+1,n^2-1=4k(k+1)\)，\(k、k+1\)一偶，\(8\mid n^2-1\)

130. \(75=3×25\)，末两位\(25/75\)；\(3+a+6+b+5\)是3倍数：\(b=25\)不行，\(b=75\Rightarrow b=5\)，\(a=1、4、7\)，\(31625,34675,37625\)

二、质合拔高131～155

131. 和39奇数=偶+奇，偶质数\(2\)，另一\(37\)，乘积\(74\)

132. \((5+1)(2+1)(1+1)=36\)个约数；和\((1+2+…+32)(1+3+9)(1+5)=63×13×6=4914\)

133. \(p=3\)，\(3、7\)都是质数

134. \(144=1×144=9×16\)

135. \(\lfloor n/5\rfloor+\lfloor n/25\rfloor=18\Rightarrow n=75\)

136. \(p>3，p=6k±1，p^2-1=(p-1)(p+1)\)，两偶含4倍数、3倍数，\(24\mid p^2-1\)

137. 9个约数：\(p^8/p^2q\)，最小\(36=2^2×3^2\)

138. \(8、9、10\)

139. \(p=3\)，\(3、13、17\)全质数

140. \(\lfloor30/3\rfloor+\lfloor30/9\rfloor+\lfloor30/27\rfloor=10+3+1=14\)

141. \(pq、p^3\)（\(p,q\)不同质数）

142. \(199\)质数，\(a=1,b=199\)或\(a=199,b=1\)

143. \(37=6×6+1\)符合

144. \(1260=2^2×3^2×5×7\)，奇约数\((2+1)(1+1)(1+1)=12\)

145. \(C_{8}^2=28\)

146. \(324=18^2=2^2×3^4\)指数全偶

147. \(p\)质数\(>2\)，若\(p=a^2\Rightarrow a\mid p\)，\(a=1/p\)矛盾

148. \(100=3+97=11+89=17+83=29+71=41+59=47+53\)

149. \(p=2，2^3+2=10\)合数；\(p=3，3^3+2=29\)质数，\(p=3\)

150. \(\gcd(a,b)=3\)，\(a=3m,b=3n,\gcd(m,n)=1,mn=8\)：\((3,24),(24,3)\)

151. \(199=4×49+3\)

152. 约数和奇数\(\Leftrightarrow\)奇质因数指数偶，\(N\)平方

153. \(2025=45^2=3^4×5^2\)完全平方

154. \(3^2+4^2=5^2\)成立

155. 12个约数：\(2^2×3×5=60\)最小

三、gcd lcm拔高156～170

156. \(d=12，ab=12×144=1728，m·n=12,\gcd(m,n)=1\)：\((12,144)(36,48)\)

157. \(a=12m,b=12n,m+n=6,\gcd(m,n)=1\)：\((12,60)(60,12)\)

158. 相邻奇数\(\gcd=1\)

159. \(2、10、120\)

160. \(\gcd(a,b)=1\)，若质数\(p\mid a+b,p\mid ab\Rightarrow p\mid a\)或\(p\mid b\)矛盾，\(\gcd=1\)

161. \(ab=360×12=4320,m·n=30,\gcd=1\)：\((12,360)(24,180)(36,120)(60,72)\)

162. \(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29\)

163. \(a=dm,b=dn,\gcd(a,b)=d\Rightarrow\gcd(m,n)=1\)

164. \(ab=600,m·n=24,\gcd=1\)：\((5,120)(15,40)\)

165. \(\gcd(100!,97!)=97!\)

166. \(\gcd(a,b)=1,\gcd(a,c)=1\Rightarrow\gcd(a,bc)=1\)

167. \(6、8，\gcd=2,\text{lcm}=24=\dfrac{6×8}{2}\)

168. \(\text{lcm}(12,15)=60\)

169. 相邻自然数互质，\(\gcd(n,n+1)=1\)

170. \(\text{lcm}(12,x)=60\Rightarrow x=5,15,20,60\)

四、平方、不定、剩余拔高171～200

171. \((n+1)^2-n^2=2n+1\)，\(k^2=2n+1\)，中间无平方

172. \(\begin{cases}x=1,y=7\\x=3,y=6\\x=5,y=5\\x=7,y=4\\x=9,y=3\\x=11,y=2\\x=13,y=1\end{cases}\)

173. \(x^2,y^2≡0/1\pmod4\)，\(x^2+y^2≡0,1,2≠3\pmod4\)无解

174. \((2k-1)(2k+1)(2k+3)(2k+5)+16=(4k^2+8k-5)^2\)

175. \(13^2=169,14^2=196,15^2=225\)，最大\(196\)

176. \((x+3)(y+2)=18\)，正整数：\(\begin{cases}x=3,y=1\\x=6,y=0(\text{舍})…\end{cases}\)有效\(\boldsymbol{x=3,y=1}\)

177. 奇数相乘永远奇数

178. \((10k+5)^2=100k^2+100k+25\)十位恒2

179. 特解\(\begin{cases}x=2,y=1\end{cases}\)，通解\(\begin{cases}x=2+5t\\y=1+3t\end{cases}\)

180. \((x-y)(x+y)=99\)，\(\begin{cases}x=50,y=49\\x=18,y=15\\x=10,y=1\end{cases}\)

181. \(x^2+y^2≡0,1,2\pmod4，4k+3\)无法拆分

182. \((x-y)(x+y)=45\)：\((23,22)(9,6)(7,2)\)

183. \(n=5，25=8×3+1\)成立

184. \(\begin{cases}y=1,x=11\\y=3,x=6\\y=5,x=1\end{cases}\)

185. 平方模\(8∈\{0,1,4\}\)，\(123≡3\pmod8\)不可能

186. \(n≥5，n!\)末位0，\(1!+…+n!\)末位固定3

187. \(x=7k+1，7k+1≡2\pmod{11}\Rightarrow k=9，x=64,\boldsymbol{x≡64\pmod{77}}\)

188. \(\gcd(a,13)=1,a^{12}≡1\pmod{13}\)费马成立

189. \(n^3-n=(n-1)n(n+1)\)三连续，\(2、3\)整除，\(6\mid\)

190. \(x+1=\text{lcm}(6,8,10)=120，x=119\)

191. \(a^2+b^2=c^2\)相邻平方无整数解

192. 阶乘2因子远多于5，末尾0只统计5个数

193. \(\gcd(a,b)=1\Rightarrow ab=\text{lcm}(a,b)\)

194. 平方尾数只有\(0,1,4,5,6,9\)，无\(2,3,7\)

195. \(6!=720≡-1\pmod7\)成立

196. \(\begin{cases}x=3,y=2\\x=5,y=0(\text{舍})\end{cases}\)

197. \(n^3+(n+1)^3+(n+2)^3≡0\pmod3\)

198. 平方模9：\(0,1,4,7\)无7，不可能

199. \(x+1=\text{lcm}(4,5,6)=60，x=59\)

200. 三连续自然数模3遍历，必有一个余0

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