立体几何 08 二面角

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二面角的定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。若棱为\(l\)，两个面分别为\(\alpha\)，\(\beta\)，则二面角记为\(\alpha -l-\beta\)。

二面角的平面角

定义：在二面角\(\alpha -l-\beta\)的棱\(l\)上任取一点\(O\)，以点\(O\)为垂足，在半平面\(\alpha\)和\(\beta\)内分别作垂直于棱\(l\)的射线\(OA\)和\(OB\)，则射线\(OA\)和\(OB\)构成的\(\angle AOB\)叫做二面角的平面角。

特点：二面角的平面角的大小与点\(O\)在棱\(l\)上的位置无关，只与二面角的两个面的相对位置有关；二面角的平面角的范围是\([0,\pi]\)。当二面角的平面角为\(0\)时，两个半平面重合；为\(\pi\)时，两个半平面合成一个平面。

求法

定义法：根据二面角平面角的定义，直接在二面角的棱上取一点，分别在两个面内作棱的垂线，得到二面角的平面角，再通过解三角形求出平面角的大小。例如在一个正方体\(ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，求二面角\(A - BD - A_{1}\)的大小，可在棱\(BD\)上取中点\(O\)，连接\(AO\)，\(A_{1}O\)，因为\(AO\perp BD\)，\(A_{1}O\perp BD\)，所以\(\angle AOA_{1}\)就是二面角\(A - BD - A_{1}\)的平面角，然后通过正方体的棱长，利用解三角形的方法求出\(\angle AOA_{1}\)的大小。

三垂线法：利用三垂线定理，过一个平面内一点作另一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连接斜足与该点，得到二面角的平面角。比如在三棱锥\(P - ABC\)中，\(PA\perp\)平面\(ABC\)，\(AB\perp BC\)，求二面角\(P - BC - A\)，可过\(A\)作\(AO\perp BC\)于\(O\)，连接\(PO\)，因为\(PA\perp\)平面\(ABC\)，所以\(PO\perp BC\)，则\(\angle POA\)就是二面角\(P - BC - A\)的平面角。

向量法：建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量\(\overrightarrow{n_{1}}\)，\(\overrightarrow{n_{2}}\)，设二面角为\(\theta\)，则\(\cos\theta=\pm\frac{\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}}{\vert\overrightarrow{n_{1}}\vert\vert\overrightarrow{n_{2}}\vert}\)，根据二面角的实际情况判断\(\theta\)是锐角还是钝角，从而确定\(\cos\theta\)的值。