立体几何 08 多面体的分类

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多面体是由若干个平面多边形围成的几何体，其分类方式有多种：

一、按面的形状分类

1、正多面体

定义：正多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。

种类：在三维空间中，正多面体只有五种，分别是正四面体（四个正三角形面）、正六面体（六个正方形面，即正方体）、正八面体（八个正三角形面）、正十二面体（十二个正五边形面）和正二十面体（二十个正三角形面）。

古希腊哲学家柏拉图（Plato，Πλατών，公元前427年—公元前347年）曾对它们进行研究，所以正多面体也被称为柏拉图立体。

2、半正多面体

定义：半正多面体是使用两种或更多种正多边形为面的凸多面体，每个顶点的情况相同，且所有面都是正多边形。

种类：阿基米德（公元前287年—公元前212年）曾研究过这类多面体，所以半正多面体也被称为阿基米德多面体，共有13种。例如截角正方体，它是由8个正三角形和6个正八边形组成；还有截角四面体，由4个正三角形和4个正六边形组成。

3、一般多面体

定义：面由任意的多边形组成，不满足正多面体和半正多面体的严格条件。这些多边形的边长、角度等不一定相等。

示例：像一些不规则的棱柱、棱锥等。例如，底面是不规则四边形的棱柱，其四个侧面是平行四边形，底面是不规则的四边形，它就属于一般多面体。

二、按是否凸多面体分类

1、凸多面体

定义：把多面体的任意一个面伸展成平面，如果其他各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体叫做凸多面体。直观来讲，凸多面体没有凹陷的部分。

性质：凸多面体具有一些良好的性质，例如欧拉公式\(V - E+F = 2\)（其中\(V\)表示顶点数，\(E\)表示棱数，\(F\)表示面数）对所有凸多面体都成立。常见的正多面体和半正多面体都是凸多面体。

2、凹多面体

定义：存在一个面，将其伸展成平面后，其他面不都在这个平面的同一侧，即多面体存在凹陷的部分。

示例：可以想象一个类似“碗状”被挖去一部分的多面体，它就属于凹多面体。

三、按棱与面的关系分类

1、棱柱

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

分类：根据底面多边形的边数可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等；根据侧棱与底面是否垂直，可分为直棱柱（侧棱垂直于底面）和斜棱柱（侧棱不垂直于底面）。特殊的四棱柱有平行六面体（底面是平行四边形）、长方体（底面是矩形的直棱柱）、正方体（棱长都相等的长方体）等。

2、棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

分类：根据底面多边形的边数可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等；如果棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

3、棱台

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。

分类：根据底面多边形的边数可分为三棱台、四棱台、五棱台等；由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。 

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