集合 01 有理数集与无理数集的性质

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有理数集

有理数集的性质1：运算封闭性

加法封闭：任意两个有理数相加，其和仍是有理数。例如\(\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}=\frac{5}{6}\)，\(\frac{5}{6}\)是有理数.

减法封闭：任意有理数相减，差为有理数。如\(5-3=2\)，\(2\)是有理数.

乘法封闭：两个有理数相乘，积是有理数。比如\(2\times\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)，\(\frac{3}{2}\)是有理数.

除法封闭：除数不为\(0\)时，两个有理数相除，商是有理数。像\(\frac{4}{2}=2\)，\(2\)是有理数.

有理数集的性质2：有序性

三岐性：对于任意两个有理数\(a\)、\(b\)，在\(a\lt b\)、\(a = b\)、\(a\gt b\)三种关系中，有且只有一种成立.

不等的对逆性：如果\(a\lt b\)，那么\(b\gt a\).

不等的传递性：若\(a\lt b\)，\(b\lt c\)，则\(a\lt c\).

相等的传递性：若\(a = b\)，\(b = c\)，那么\(a = c\).

相等的反身性：\(a = a\).

有理数集的性质3：稠密性

任意两个不同的有理数\(a\)、\(b\)之间，不管它们相距多远，即不管\(\vert a - b\vert\)多么小，都存在无穷多个有理数。比如在\(0\)和\(1\)之间，有\(\frac{1}{2}\)、\(\frac{1}{3}\)、\(\frac{2}{3}\)、\(\frac{1}{4}\)、\(\frac{3}{4}\)等等无穷多个有理数.

有理数集的性质4：可列性

有理数集是可列集，能和自然数集建立一一对应的关系，即可以按照某种顺序对有理数进行排列，使每个有理数都能与一个唯一的自然数相对应.

有理数集的性质5：小数表示特性

有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，反之，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.

无理数集

无理数的定义及表示

无理数是无限不循环小数，不能用分数表示，如\(\sqrt{2}\)、\(\pi\)等都是无理数.

无理数集通常用\(\mathbb{I}\)或\(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)表示，其中\(\mathbb{R}\)表示实数集，\(\mathbb{Q}\)表示有理数集.

无理数的基本性质

无限性：无理数有无穷多个，因为实数轴上有无限多个点，而无理数占据了其中不可数的一部分.

有序性：任意两个不同的无理数都可以比较大小，即给定任意两个不同的无理数\(a\)和\(b\)，要么\(a\gt b\)，要么\(a\lt b\) ，且若\(b\gt a\)，\(c\gt b\)，则\(c\gt a\).

无理数的运算性质

加法不封闭：无理数与无理数相加，结果不一定是无理数，例如\(\sqrt{2}+ (-\sqrt{2}) = 0\)，\(0\)是有理数.

减法不封闭：无理数与无理数相减，结果不一定是无理数，如\((1 + \sqrt{2})- \sqrt{2}=1\)，\(1\)是有理数.

乘法不封闭：无理数与无理数相乘，结果不一定是无理数，比如\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\)，\(2\)是有理数.

除法不封闭：无理数与无理数相除，结果不一定是无理数，如\(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = 2\)，\(2\)是有理数.

稠密性

无理数在数轴上是稠密的，即在任意两个不同的无理数\(a\)和\(b\)之间，总存在至少一个无理数\(c\)，使得\(a\lt c\lt b\)，进而存在着无限多个其它的无理数。例如，设\(a=\sqrt{2}\)，\(b=\sqrt{3}\)，可以找到\(c=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\)，它也是无理数，且\(\sqrt{2}\lt\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\lt\sqrt{3}\).