集合 01 子集、真子集的性质

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子集的性质

1、自反性：

任何一个集合都是它本身的子集，即对于任意集合\(A\)，都有\(A\subseteq A\)（ 包括空集：\(\varnothing\subseteq\varnothing\) ）。

例如，集合\(\{1,2,3\}\)的元素都在它自身当中，所以\(\{1,2,3\}\subseteq\{1,2,3\}\).

2、反对称性：

如果\(A\subseteq B\)且\(B\subseteq A\)，那么\(A = B\)。

例如，若集合\(A=\{x|x\)是偶数且\(x<10\}\)，集合\(B = \{2,4,6,8\}\)，

此时\(A\subseteq B\)且\(B\subseteq A\)，所以\(A = B\).

3、传递性：

如果\(A\subseteq B\)且\(B\subseteq C\)，那么\(A\subseteq C\)。

例如，集合\(A=\{1,2\}\)，集合\(B=\{1,2,3,4\}\)，集合\(C=\{1,2,3,4,5,6\}\)，

因为\(A\)的元素都在\(B\)中，\(B\)的元素都在\(C\)中，所以\(A\)的元素也都在\(C\)中，即\(A\subseteq C\).

4、空集是任意集合的子集：

空集\(\varnothing\)不包含任何元素，所以对于任意集合\(A\)，空集的所有元素（因为没有元素）都属于\(A\)，即\(\varnothing\subseteq A\)。

例如，对于集合\(A = \{1,2,3\}\)，空集\(\varnothing\)是\(A\)的子集.

真子集的性质

1、真子集是子集的特殊情况：

如果集合\(A\)是集合\(B\)的真子集，那么\(A\)一定是\(B\)的子集，但\(B\)中至少有一个元素不属于\(A\)。

即若\(A\subsetneqq B\)，则\(A\subseteq B\)且\(\exists x\in B\)，\(x\notin A\) 。

例如，集合\(A = \{1,2\}\)，集合\(B = \{1,2,3\}\)，\(A\)是\(B\)的真子集.

2、空集是任意非空集合的真子集：

因为空集不含任何元素，而任意非空集合都至少有一个元素，所以空集是任意非空集合的真子集。

例如，对于集合\(B=\{3,4,5\}\)，空集\(\varnothing\)是\(B\)的真子集.

3、真子集的传递性：

如果\(A\subsetneqq B\)且\(B\subsetneqq C\)，那么\(A\subsetneqq C\)。

例如，集合\(A = \{1\}\)，集合\(B=\{1,2\}\)，集合\(C=\{1,2,3\}\)，

因为\(A\)是\(B\)的真子集，\(B\)是\(C\)的真子集，所以\(A\)是\(C\)的真子集 。

4、一个集合的真子集个数：

若集合\(A\)中有\(n\)个元素，则集合\(A\)的真子集个数为\(2^{n}-1\)个。

这是因为集合\(A\)的子集个数为\(2^{n}\)个，而真子集不包括集合\(A\)本身，所以真子集个数为\(2^{n}-1\) 。

例如，集合\(\{1,2,3\}\)有\(3\)个元素，它的子集个数为\(2^{3}=8\)个，真子集个数为\(2^{3}-1=7\)个.

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