集合 01 交集、交集的性质

1. 交集的定义

设\(A\)、\(B\)是两个集合，由所有既属于集合\(A\)又属于集合\(B\)的元素所组成的集合，叫做集合\(A\)与集合\(B\)的交集.

记作\(A\cap B\)。用符号语言表示为\(A\cap B = \{x|x\in A且x\in B\}\)。

例如，若\(A=\{1, 2, 3, 4\}\)，\(B = \{3, 4, 5, 6\}\)，那么\(A\cap B=\{3, 4\}\)，因为\(3\)和\(4\)这两个元素同时属于集合\(A\)和集合\(B\)。

交换律：\(A\cap B = B\cap A\)。这是因为“既属于\(A\)又属于\(B\)”与“既属于\(B\)又属于\(A\)”是等价的描述。

例如，若\(A = \{a, b, c\}\)，\(B = \{b, c, d\}\)，

则\(A\cap B=\{b, c\}\)，\(B\cap A = \{b, c\}\)，所以\(A\cap B = B\cap A\)。

结合律：\((A\cap B)\cap C = A\cap (B\cap C)\)。

例如，设\(A = \{1, 2, 3\}\)，\(B = \{2, 3, 4\}\)，\(C = \{3, 4, 5\}\)，那么

\((A\cap B)\cap C = (\{2, 3\})\cap \{3, 4, 5\}=\{3\}\)，

\(A\cap (B\cap C)=\{1, 2, 3\}\cap (\{3, 4\})=\{3\}\)，所以

\((A\cap B)\cap C = A\cap (B\cap C)\)。

幂等律：\(A\cap A = A\)。因为集合与自身的交集，元素不会改变，

例如\(A = \{x|x是偶数\}\)，\(A\cap A\)还是所有偶数组成的集合，即\(A\cap A = A\)。

与空集的交集：\(A\cap \varnothing=\varnothing\)。由于空集没有元素，所以不存在既属于\(A\)又属于空集的元素，

例如，若\(A = \{1, 2, 3\}\)，\(A\cap \varnothing=\{1, 2, 3\}\cap\{\}=\varnothing\)。

包含关系：如果\(A\subseteq B\)，那么\(A\cap B = A\)。因为\(A\)的元素都在\(B\)中，所以既属于\(A\)又属于\(B\)的元素就是\(A\)的所有元素，

例如，设\(A = \{1, 2\}\)，\(B = \{1, 2, 3\}\)，由于\(A\subseteq B\)，所以\(A\cap B=\{1, 2\}=A\)。

数据筛选（在计算机科学和数据分析中）：

例如，在一个学生信息数据库中，集合\(A\)代表成绩优秀（成绩大于等于90分）的学生集合，集合\(B\)代表参加竞赛的学生集合，那么\(A\cap B\)就代表成绩优秀且参加竞赛的学生集合，通过这种交集运算可以筛选出符合特定条件的学生。

寻找共同特征（在科学研究等领域）：

在生物学研究中，集合\(A\)可能代表具有某种基因变异的生物个体集合，集合\(B\)代表具有某种特定生理特征的生物个体集合，那么\(A\cap B\)就代表既具有该基因变异又具有特定生理特征的生物个体集合，有助于发现基因与生理特征之间的关联。