集合 01 并集、并集的性质

1. 并集的定义

设\(A\)、\(B\)是两个集合，由所有属于集合\(A\)或属于集合\(B\)的元素所组成的集合，叫做集合\(A\)与集合\(B\)的并集。

记作\(A\cup B\)。用符号语言表示为\(A\cup B=\{x|x\in A或x\in B\}\)。

例如，若\(A = \{1, 2, 3\}\)，\(B = \{3, 4, 5\}\)，那么

\(A\cup B=\{1, 2, 3, 4, 5\}\)，这里的元素只要属于\(A\)或者属于\(B\)，就会被包含在并集中。

交换律：\(A\cup B = B\cup A\)。这意味着集合的并集运算顺序不影响结果。

例如，若\(A = \{a, b\}\)，\(B = \{b, c\}\)，\(A\cup B=\{a, b, c\}\)，\(B\cup A=\{b, c, a\}\)，显然\(A\cup B = B\cup A\)。

结合律：\((A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C)\)。

例如，设\(A = \{1, 2\}\)，\(B = \{2, 3\}\)，\(C = \{3, 4\}\)，则

\((A\cup B)\cup C = (\{1, 2, 3\})\cup \{3, 4\}=\{1, 2, 3, 4\}\)，

\(A\cup (B\cup C)=\{1, 2\}\cup (\{2, 3, 4\})=\{1, 2, 3, 4\}\)，所以

\((A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C)\)

幂等律：\(A\cup A = A\)。因为集合与自身的并集，元素不会增加，

例如\(A = \{x|x是偶数\}\)，\(A\cup A\)还是所有偶数组成的集合，即\(A\cup A = A\)。

与空集的并集：\(A\cup \varnothing = A\)。空集不包含任何元素，所以\(A\)与空集的并集就是\(A\)本身。

例如，若\(A = \{1, 2, 3\}\)，\(A\cup \varnothing=\{1, 2, 3\}\cup\{\}=\{1, 2, 3\}\)。

包含关系：如果\(A\subseteq B\)，那么\(A\cup B = B\)。因为\(A\)的元素都在\(B\)中，所以\(A\)与\(B\)的并集就是\(B\)。

例如，设\(A = \{1, 2\}\)，\(B = \{1, 2, 3\}\)，由于\(A\subseteq B\)，所以\(A\cup B=\{1, 2, 3\}=B\)。

数据合并（在计算机科学和统计学中）：

例如，在数据库操作中，假设有两个数据表，一个表存储了某公司上半年的销售记录集合\(A\)，另一个表存储了下半年的销售记录集合\(B\)，那么\(A\cup B\)就可以得到该公司全年的销售记录集合。

分类汇总（在分类学等领域）：

在生物分类中，集合\(A\)代表某一地区的哺乳动物种类，集合\(B\)代表同一地区的鸟类种类，那么\(A\cup B\)就代表这个地区的哺乳动物和鸟类的总种类。