集合 01 补集、补集的性质

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1. 补集的定义

设\(U\)是一个全集（包含我们所研究的所有元素的集合），\(A\)是\(U\)的一个子集，由全集\(U\)中所有不属于集合\(A\)的元素组成的集合，称为集合\(A\)相对于全集\(U\)的补集。

记作\(\complement_U A\)（也可简记为\(A^c\)或\(\overline{A}\)）。用符号语言表示为\(\complement_U A=\{x|x\in U且x\notin A\}\)。

例如，设全集\(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)，集合\(A = \{1, 2, 3\}\)，那么\(\complement_U A=\{4, 5, 6\}\)。

2. 补集的性质

摩根定律1：\((A\cup B)^c=\complement_U(A\cup B)=\complement_U A\cap\complement_U B\)

这意味着\(A\)与\(B\)的并集的补集等于\(A\)的补集与\(B\)的补集的交集。

例如，设全集\(U=\{a, b, c, d, e, f\}\)，\(A = \{a, b, c\}\)，\(B = \{c, d, e\}\)，

\(A\cup B=\{a, b, c, d, e\}\)，

\((A\cup B)^c=\{f\}\)，

\(\complement_U A=\{d, e, f\}\)，

\(\complement_U B=\{a, b, f\}\)，

\(\complement_U A\cap\complement_U B=\{f\}\)。

摩根定律2：\((A\cap B)^c=\complement_U(A\cap B)=\complement_U A\cup\complement_U B\)

即\(A\)与\(B\)的交集的补集等于\(A\)的补集与\(B\)的补集的并集。

例如，对于上述的\(U\)、\(A\)、\(B\)，\(A\cap B = \{c\}\)，\((A\cap B)^c=\{a, b, d, e, f\}\)，\(\complement_U A\cup\complement_U B=\{a, b, d, e, f\}\)。

补集的补集：\(\complement_U(\complement_U A)=A\)。

例如，设全集\(U = \{1, 2, 3, 4\}\)，若\(A = \{1, 2\}\)，\(\complement_U A=\{3, 4\}\)，那么\(\complement_U(\complement_U A)=\{1, 2\}=A\)。

与全集和空集的关系：

\(\complement_U U=\varnothing\)，因为全集\(U\)包含了所有元素，所以它相对于自身的补集没有元素。

\(\complement_U\varnothing = U\)，空集没有元素，所以它相对于全集\(U\)的补集就是全集\(U\)。

3. 补集在实际中的应用

概率计算（在概率论中）：如果把样本空间（所有可能结果的集合）看作全集\(U\)，某个事件\(A\)是\(U\)的一个子集，那么事件\(A\)不发生的概率就可以用\(A\)的补集的概率来表示。

例如，掷骰子的样本空间\(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)，设事件\(A\)为“掷出偶数”，即\(A=\{2, 4, 6\}\)，那么\(\complement_U A=\{1, 3, 5\}\)，事件\(A\)不发生（掷出奇数）的概率就等于\(\complement_U A\)的概率。

信息检索（在计算机科学和信息管理中）：在一个文档集合中，全集\(U\)可以看作是所有文档的集合，集合\(A\)可以是包含某个关键词的文档集合，那么\(\complement_U A\)就是不包含该关键词的文档集合。通过补集运算，可以筛选出不符合特定条件的文档。