多元函数的微分

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一、多元函数基础核心定义（二元为主）

1. 二重极限

设 \(z=f(x,y)\)，\((x,y)\to(x_0,y_0)\) 时，无论沿任意直线、曲线趋近 \((x_0,y_0)\)，\(f(x,y)\) 无限逼近常数 \(A\)，称

\(\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A\)

关键性质：单一路径极限相等不能证明二重极限存在；两条不同路径极限不等，直接判定极限不存在。

2. 二元函数连续

若 \(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)\)，则 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 连续。

连续的必要条件：二重极限存在；不连续分为间断点、可去间断、无穷间断。

3. 一阶偏导数

固定一个自变量，将函数视为一元函数求导：

对x的偏导：\(\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x_0,y_0)}=f_x'(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}\)

对y的偏导：\(\frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{(x_0,y_0)}=f_y'(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y\to0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}\)

重要易错点：一阶偏导数全部存在，不能推出函数连续。

4. 全微分定义

设函数增量\(\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\)

若存在常数 \(A,B\)，使得\(\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o\left(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right),\quad \rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\to0\)

则称 \(z\) 在 \((x_0,y_0)\) 可微，全微分：\(dz = A dx + B dy\)

可微充要推导结论：\(A=f_x',B=f_y'\)，因此标准形式\(dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy\)

5. 高阶偏导数

二阶偏导四类：

\(f_{xx}''=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2},\quad f_{xy}''=\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y},\quad f_{yx}''=\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x},\quad f_{yy}''=\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\)

\(f_{xy}''\)：先对x求偏导，再对y求偏导；\(f_{yx}''\) 顺序相反。

6. 方向导数与梯度

设平面单位方向向量 \(\boldsymbol e_l=(\cos\alpha,\cos\beta)\)，方向导数

\(\frac{\partial f}{\partial l}=\lim_{t\to0^+}\frac{f(x+t\cos\alpha,y+t\cos\beta)-f(x,y)}{t}\)

梯度向量：\(\nabla f=\left(f_x',f_y'\right)\)。

二、多元微分全套二级结论（按模块分类，含推导推论）

模块1：连续性、偏导、可微之间的逻辑关系（核心二级结论）

1. 可微 \(\implies\) 函数连续；可微 \(\implies\) 一阶两个偏导数都存在；两个推论不可逆。

2. 一阶偏导数 \(f_x',f_y'\) 在点 \((x_0,y_0)\) 连续 \(\implies\) 函数在该点可微；充分不必要条件。

3. 仅偏导存在，无法推出连续、可微；仅连续，无法推出偏导存在。

4. 可微判定充要条件：极限\(\lim_{\rho\to0}\frac{\Delta z - f_x'\Delta x - f_y'\Delta y}{\rho}=0\)

极限为0则可微，否则不可微。

模块2：混合偏导交换次序定理

若二阶混合偏导数 \(f_{xy}'',f_{yx}''\) 在区域内连续，则\(f_{xy}''=f_{yx}''\)

推论：三阶、更高阶混合偏导，只要连续，求导顺序可任意调换，简化计算。

模块3：复合函数链式求导法则（全系列二级结论）

情形1：二元中间变量 \(z=f(u,v),\ u=\varphi(x,y),\ v=\psi(x,y)\)

\(\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}\)

\(\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}\)

推论：求二阶偏导时，\(f_u',f_v'\) 仍是与 \(f\) 结构相同的复合函数，必须再次分层链式展开，不能漏项。

情形2：单参数中间变量（全导数）\(z=f(u,v),\ u=\varphi(t),v=\psi(t)\)

\(\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}\)

情形3：自变量与中间变量混杂 \(z=f(x,u),\ u=\varphi(x,y)\)

\(\frac{\partial z}{\partial x}=f_x'+f_u'\cdot\frac{\partial u}{\partial x},\quad \frac{\partial z}{\partial y}=f_u'\cdot\frac{\partial u}{\partial y}\)

区分记号：\(f_x'\) 是把 \(f\) 中 \(x\) 当自变量、\(u\) 固定求导；\(\frac{\partial z}{\partial x}\) 是最终变量x的偏导，二者不相等。

通用二级结论：全微分形式不变性

无论 \(u,v\) 是自变量还是中间变量，\(z=f(u,v)\) 的全微分统一为

\(dz=\frac{\partial f}{\partial u}du+\frac{\partial f}{\partial v}dv\)

用途：不用区分变量从属关系，直接微分运算求偏导、隐函数求导，大幅简化计算。

模块4：隐函数存在定理全套二级结论

结论1：一元隐函数 \(F(x,y)=0\)，确定 \(y=y(x)\)

若 \(F_y'\neq0\)，则一阶导数：\(\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x'}{F_y'}\)

二阶推论：等式两边再次对x求导，代入一阶导表达式化简即可。

结论2：二元隐函数 \(F(x,y,z)=0\)，确定 \(z=z(x,y)\)

\(F_z'\neq0\) 时：\(\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x'}{F_z'},\quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y'}{F_z'}\)

结论3：隐函数方程组（雅可比行列式）

方程组 \(\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\G(x,y,u,v)=0\end{cases}\)，雅可比行列式

\(J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}F_u & F_v\\G_u & G_v\end{vmatrix}\)

若 \(J\neq0\)，可确定 \(u=u(x,y),v=v(x,y)\)，求导公式：

\(\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J}\cdot\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)},\quad \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J}\cdot\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,x)}\)

模块5：方向导数与梯度二级结论

1. 方向导数计算公式：\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial l}=\nabla f\cdot \boldsymbol e_l = f_x'\cos\alpha+f_y'\cos\beta\)

2. 梯度 \(\nabla f\) 三大推论：

梯度方向是函数方向导数最大的方向；

最大方向导数值等于梯度模长 \(\|\nabla f\|=\sqrt{(f_x')^2+(f_y')^2}\)；

梯度垂直于等值线 \(f(x,y)=C\)，指向函数增长最快一侧。

3. 若函数在该点不可微，方向导数公式不再成立，只能用定义计算。

模块6：空间曲面、空间曲线几何应用二级结论

曲面 \(F(x,y,z)=0\)，点 \(M_0(x_0,y_0,z_0)\)

法向量：\(\boldsymbol n=\big(F_x',F_y',F_z'\big)\big|_{M_0}\)

切平面方程：\(F_x'(M_0)(x-x_0)+F_y'(M_0)(y-y_0)+F_z'(M_0)(z-z_0)=0\)

曲面法线方程：\(\frac{x-x_0}{F_x'(M_0)}=\frac{y-y_0}{F_y'(M_0)}=\frac{z-z_0}{F_z'(M_0)}\)

显式曲面 \(z=f(x,y)\)，改写为 \(F=z-f(x,y)=0\)

法向量 \(\boldsymbol n=(-f_x',-f_y',1)\)，切平面：\(z-z_0=f_x'(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0,y_0)(y-y_0)\)

空间曲线 \(\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}\)

切向量 \(\boldsymbol \tau=\nabla F\times\nabla G\)，由叉乘得到切线方向数，直接写出切线与法平面。

模块7：二元函数无条件极值判别（黑塞矩阵二级结论）

设 \(f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 一阶偏导均为0（驻点），记：

\(A=f_{xx}''(x_0,y_0),\ B=f_{xy}''(x_0,y_0),\ C=f_{yy}''(x_0,y_0),\ \Delta=AC-B^2\)

1. \(\Delta>0\) 且 \(A>0\)：\((x_0,y_0)\) 为极小值点；

2. \(\Delta>0\) 且 \(A<0\)：\((x_0,y_0)\) 为极大值点；

3. \(\Delta<0\)：鞍点，无极值；

4. \(\Delta=0\)：判别法失效，需回到定义或配方法判断。

推论：极值点一定是驻点或一阶偏导数不存在的点；最值只出现在驻点、偏导不存在点、区域边界上。

模块8：条件极值——拉格朗日乘数法二级结论

目标函数 \(z=f(x,y)\)，约束条件 \(\varphi(x,y)=0\)，构造拉格朗日函数

\(L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)\)

求一阶偏导并令全部为0：

\(\begin{cases}L_x'=f_x'+\lambda\varphi_x'=0\\L_y'=f_y'+\lambda\varphi_y'=0\\L_\lambda'=\varphi(x,y)=0\end{cases}\)

方程组解为条件极值可疑点。

推广：多约束 \(\varphi_1=0,\varphi_2=0\)，构造 \(L=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2\)。

三、第一组：10道基础典型例题（巩固定义、基础求导）

例题1 求 \(z=x^3y^2+\sin(xy)\) 的一阶偏导数 \(\dfrac{\partial z}{\partial x},\dfrac{\partial z}{\partial y}\)。

解：对x求导，y视为常数：\(\dfrac{\partial z}{\partial x}=3x^2y^2+y\cos(xy)\)；

对y求导，x视为常数：\(\dfrac{\partial z}{\partial y}=2x^3y+x\cos(xy)\)。

例题2 已知 \(z=e^{xy}\)，求全部二阶偏导数，并验证 \(f_{xy}''=f_{yx}''\)。

解：\(z_x'=ye^{xy},\ z_y'=xe^{xy}\)；

\(z_{xx}''=y^2e^{xy},\ z_{yy}''=x^2e^{xy}\)；

\(z_{xy}''=e^{xy}+xye^{xy},\ z_{yx}''=e^{xy}+xye^{xy}\)，二者相等。

例题3 设 \(z=f(x^2-y^2,\dfrac{y}{x})\)，\(f\) 一阶连续可偏导，求 \(\dfrac{\partial z}{\partial x},\dfrac{\partial z}{\partial y}\)。

解：令 \(u=x^2-y^2,\ v=\dfrac{y}{x}\)

\(\frac{\partial z}{\partial x}=f_u'\cdot 2x + f_v'\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right),\quad \frac{\partial z}{\partial y}=f_u'\cdot(-2y)+f_v'\cdot\frac{1}{x}\)

例题4 求隐函数 \(x^2+y^2+z^2=1\) 确定 \(z=z(x,y)\) 的一阶偏导 \(\dfrac{\partial z}{\partial x},\dfrac{\partial z}{\partial y}\)。

解：设 \(F=x^2+y^2+z^2-1\)，\(F_x=2x,F_y=2y,F_z=2z\)

\(\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x}{z},\quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y}{z}\)

例题5 计算 \(z=x^2y\) 在点 \((1,2)\)，\(\Delta x=0.1,\Delta y=-0.2\) 处的全微分 \(dz\)。

解：\(z_x=2xy,z_y=x^2\)；\((1,2)\) 处 \(z_x=4,z_y=1\)

\(dz=4dx+dy=4\times0.1 + 1\times(-0.2)=0.2\)

例题6 求 \(f(x,y)=x^2+3xy\) 在点 \((1,1)\)，沿方向 \(\boldsymbol l=(1,1)\) 的方向导数。

解：单位向量 \(\boldsymbol e_l=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\)，\(\nabla f=(2x+3y,3x)\)，代入得 \(\nabla f(1,1)=(5,3)\)

\(\frac{\partial f}{\partial l}=5\cdot\frac1{\sqrt{2}}+3\cdot\frac1{\sqrt{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}\)

例题7 求曲面 \(z=x^2+y^2\) 在点 \((1,1,2)\) 的切平面与法线方程。

解：\(F=x^2+y^2-z\)，法向量 \(\boldsymbol n=(2,2,-1)\)

切平面：\(2(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0\)，化简 \(2x+2y-z=2\)；

法线：\(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-2}{-1}\)。

例题8 求函数 \(f(x,y)=x^2+xy+y^2\) 的驻点，判断极值。

解：\(f_x=2x+y=0,\ f_y=x+2y=0\)，唯一驻点 \((0,0)\)；

\(A=2,B=1,C=2,\Delta=4-1=3>0,A>0\)，\((0,0)\) 极小值点，极小值0。

例题9 用全微分形式不变性求 \(z=\ln(x+y^2)\) 的 \(\dfrac{\partial z}{\partial x},\dfrac{\partial z}{\partial y}\)。

解：\(dz=\dfrac{1}{x+y^2}d(x+y^2)=\dfrac{1}{x+y^2}dx+\dfrac{2y}{x+y^2}dy\)，对比得偏导。

例题10 求原点到直线 \(x+y=1\) 的最短距离（拉格朗日乘数基础题）。

解：目标 \(d^2=x^2+y^2\)，约束 \(x+y-1=0\)，\(L=x^2+y^2+\lambda(x+y-1)\)，解方程组得 \(x=y=\dfrac12\)，最短距离 \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)。

四、第二组：10道综合拔高难题（可微性证明、二阶复合、隐函数二阶导、极值综合）

难题1 设分段函数

\(f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^2y}{x^2+y^2},&(x,y)\neq(0,0)\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}\)

证明：(1)函数在 \((0,0)\) 连续；(2)一阶偏导数存在；(3)函数在 \((0,0)\) 不可微。

难题2 设 \(z=f(xy,x-y)\)，\(f\) 二阶连续可偏导，求 \(\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}\) 与 \(\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\)。

难题3 方程 \(F(xz,y-z)=0\) 确定隐函数 \(z=z(x,y)\)，\(F\) 二阶连续可微，求混合二阶偏导 \(\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\)。

难题4 方程组 \(\begin{cases}x^2+y^2=u+v\\xy=u^2-v^2\end{cases}\)，将 \(u,v\) 视为 \(x,y\) 的隐函数，利用雅可比行列式求 \(\dfrac{\partial u}{\partial x},\dfrac{\partial v}{\partial x}\)。

难题5 讨论分段函数

\(f(x,y)=\begin{cases}(x^2+y^2)\sin\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}},&(x,y)\neq(0,0)\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}\)

在 \((0,0)\) 处：连续性、一阶偏导数存在性、偏导连续性、可微性。

难题6 求函数 \(f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2\) 所有驻点，用极值判别式区分极大、极小、鞍点。

难题7 在椭球面 \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}+\dfrac{z^2}{16}=1\) 上求到原点距离最远、最近的点（拉格朗日双变量约束综合题）。

难题8 已知曲面 \(z=xy\) 存在切平面经过点 \((2,0,0)\)，求全部满足条件的切平面方程。

难题9 设 \(u=f(x-y,y-z,z-x)\)，\(f\) 可微，求证恒等式：\(\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial u}{\partial z}=0\)。

难题10 求曲面 \(xyz=8\) 上距离平面 \(x+y+z=0\) 最近的点，并计算最小距离。