线性代数：线性方程组的解
1. 齐次线性方程组的解
定义和一般形式：齐次线性方程组的一般形式为\(Ax = 0\)，
其中\(A\)是系数矩阵（\(m\times n\)矩阵），\(x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T\)是未知数向量。
例如，\(\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n = 0\\a_{21}x_1 + a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n = 0\\\cdots\\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n = 0\end{cases}\)就是一个齐次线性方程组。
解的性质：
零向量\(x = 0\)（即\(x_1 = x_2=\cdots=x_n = 0\)）一定是齐次线性方程组\(Ax = 0\)的解，这个解称为平凡解。
若\(\xi_1\)和\(\xi_2\)是\(Ax = 0\)的解，则\(\xi_1+\xi_2\)也是\(Ax = 0\)的解；若\(\xi\)是\(Ax = 0\)的解，\(k\)是任意常数，则\(k\xi\)也是\(Ax = 0\)的解。例如，若\(\xi_1=(1, - 1,0)^T\)和\(\xi_2=(2,0, - 1)^T\)是某个齐次线性方程组的解，那么\(\xi_1+\xi_2=(3, - 1, - 1)^T\)也是该方程组的解。
基础解系和通解：
设\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n - r}\)是\(Ax = 0\)的解向量组，若它们线性无关，且\(Ax = 0\)的任意一个解\(\xi\)都可以由\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n - r}\)线性表示，则称\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n - r}\)是\(Ax = 0\)的一个基础解系。其中\(r = r(A)\)是系数矩阵\(A\)的秩。
齐次线性方程组\(Ax = 0\)的通解可以表示为\(x = k_1\xi_1 + k_2\xi_2+\cdots+k_{n - r}\xi_{n - r}\)，其中\(k_1,k_2,\cdots,k_{n - r}\)是任意常数。
例如，若某齐次线性方程组的系数矩阵\(A\)的秩为\(2\)，未知数个数\(n = 4\)，且基础解系为\(\xi_1=(1,0, - 1,0)^T\)，\(\xi_2=(0,1,0, - 1)^T\)，则通解为\(x = k_1(1,0, - 1,0)^T + k_2(0,1,0, - 1)^T\)，\(k_1,k_2\in R\)。
2. 非齐次线性方程组的解
定义和一般形式：非齐次线性方程组的一般形式为\(Ax = b\)，其中\(b\neq0\)。
例如，\(\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n = b_1\\a_{21}x_1 + a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n = b_2\\\cdots\\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n = b_m\end{cases}\)。
解的存在性和唯一性：
非齐次线性方程组\(Ax = b\)有解的充分必要条件是系数矩阵\(A\)的秩等于增广矩阵\((A|b)\)的秩，即\(r(A)=r(A|b)\)。
若\(r(A)=r(A|b)=n\)（\(n\)为未知数个数），方程组有唯一解；若\(r(A)=r(A|b)<n\)，方程组有无穷多解。
例如，对于方程组\(\begin{cases}x + 2y = 3\\2x + 4y = 6\end{cases}\)，系数矩阵\(A=\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}\)，增广矩阵\((A|b)=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\end{bmatrix}\)，\(r(A)=r(A|b)=1\)，未知数个数\(n = 2\)，所以方程组有无穷多解。
通解的结构：
设\(\eta\)是\(Ax = b\)的一个特解（即一个满足\(Ax = b\)的特定解），\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n - r}\)是对应的齐次线性方程组\(Ax = 0\)的一个基础解系，那么非齐次线性方程组\(Ax = b\)的通解可以表示为\(x=\eta + k_1\xi_1 + k_2\xi_2+\cdots+k_{n - r}\xi_{n - r}\)，其中\(k_1,k_2,\cdots,k_{n - r}\)是任意常数。
例如，对于方程组\(\begin{cases}x + y + z = 1\\x - y + z = 3\end{cases}\)，先求出一个特解\(\eta=(2, - 1,0)^T\)，对应的齐次线性方程组\(\begin{cases}x + y + z = 0\\x - y + z = 0\end{cases}\)的基础解系为\(\xi_1=( - 1,0,1)^T\)，则通解为\(x=(2, - 1,0)^T + k( - 1,0,1)^T\)，\(k\in R\)。
