1. 线性方程组的基本概念

线性方程组是由一组线性方程组成的系统。例如，一个含有\(n\)个未知数\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的\(m\)个线性方程的方程组可以写成：

\(\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n = b_1\\a_{21}x_1 + a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n = b_2\\\cdots\\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n = b_m\end{cases}\)

其中\(a_{ij}\)是系数，\(b_i\)是常数项。如果\(b_1 = b_2=\cdots=b_m = 0\)，则该方程组称为齐次线性方程组；否则称为非齐次线性方程组。

例如，\(\begin{cases}2x + 3y=8\\x - y = 1\end{cases}\)是一个非齐次线性方程组，而\(\begin{cases}x + y+z = 0\\2x - y+z = 0\end{cases}\)是一个齐次线性方程组。

2. 矩阵的定义与表示

矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。

一个\(m\times n\)矩阵\(A\)可以表示为\(A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{array}\right]\)，其中\(a_{ij}\)是矩阵\(A\)的第\(i\)行第\(j\)列的元素。

例如，\(\left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]\)是一个\(2\times2\)矩阵，\(\left[\begin{array}{ccc}1&0& - 1\\2&3&0\end{array}\right]\)是一个\(2\times3\)矩阵。

3. 线性方程组与矩阵的联系

线性方程组可以用矩阵形式来表示。

上述线性方程组\(\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n = b_1\\a_{21}x_1 + a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n = b_2\\\cdots\\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n = b_m\end{cases}\)，可以写成\(Ax = b\)的形式。

其中\(A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{array}\right]\)是系数矩阵，\(x=\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right]\)是未知数向量，\(b=\left[\begin{array}{c}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{array}\right]\)是常数项向量。

例如，对于线性方程组\(\begin{cases}2x + 3y=8\\x - y = 1\end{cases}\)，其系数矩阵\(A=\left[\begin{array}{cc}2&3\\1& - 1\end{array}\right]\)，未知数向量\(x=\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\)，常数项向量\(b=\left[\begin{array}{c}8\\1\end{array}\right]\)，可以写成

\(\left[\begin{array}{cc}2&3\\1& - 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}8\\1\end{array}\right]\)。

4. 矩阵的基本运算

加法：两个\(m\times n\)矩阵\(A=(a_{ij})\)和\(B=(b_{ij})\)相加，得到的矩阵\(C = A + B\)，其中\(c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\)。

例如，\(\left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}5&6\\7&8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 + 5&2+6\\3 + 7&4 + 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}6&8\\10&12\end{array}\right]\)。

数乘：数\(k\)与矩阵\(A=(a_{ij})\)相乘，得到的矩阵\(C = kA\)，其中\(c_{ij}=ka_{ij}\)。

例如，\(2\times\left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2\times1&2\times2\\2\times3&2\times4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2&4\\6&8\end{array}\right]\)。

乘法：设\(A\)是一个\(m\times p\)矩阵，\(B\)是一个\(p\times n\)矩阵，那么它们的乘积\(AB\)是一个\(m\times n\)矩阵，其中\((AB)_{ij}=\sum_{k = 1}^{p}a_{ik}b_{kj}\)。

例如，\(A=\left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]\)，\(B=\left[\begin{array}{cc}5&6\\7&8\end{array}\right]\)，\(AB=\left[\begin{array}{cc}1\times5+2\times7&1\times6 + 2\times8\\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}19&22\\43&50\end{array}\right]\)。

5. 用矩阵求解线性方程组

对于线性方程组\(Ax = b\)，如果\(A\)可逆（即存在逆矩阵\(A^{-1}\)），那么\(x = A^{-1}b\)。

例如，对于线性方程组\(\begin{cases}2x + 3y=8\\x - y = 1\end{cases}\)，其系数矩阵\(A=\left[\begin{array}{cc}2&3\\1& - 1\end{array}\right]\)，\(\text{det}(A)=2\times(-1)-3\times1=- 5\neq0\)，所以\(A\)可逆。

先求\(A^{-1}=\frac{1}{\text{det}(A)}\left[\begin{array}{cc}-1&-3\\-1&2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{array}\right]\)。

则\(x = A^{-1}b=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}8\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{8 + 3}{5}\\\frac{8-2}{5}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{11}{5}\\\frac{6}{5}\end{array}\right]\)，即\(x=\frac{11}{5}\)，\(y = \frac{6}{5}\)。

线性代数：研究向量空间、线性变换、矩阵、行列式等线性结构及其性质的数学学科