线性代数：矩阵的转置
1. 基本定义与方法
对于矩阵\(A=(a_{ij})\)，它的转置矩阵\(A^{T}\)是将\(A\)的行与列互换得到的矩阵。也就是说，\(A\)中第\(i\)行第\(j\)列的元素\(a_{ij}\)在\(A^{T}\)中变为第\(j\)行第\(i\)列的元素。
例如，对于矩阵\(A = \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\end{array}\right]\)，它是一个\(2\times3\)矩阵。其转置矩阵\(A^{T}=\left[\begin{array}{cc}1&4\\2&5\\3&6\end{array}\right]\)，是一个\(3\times2\)矩阵。
2. 特殊矩阵的转置特性
对称矩阵：如果矩阵\(A\)满足\(A = A^{T}\)，则\(A\)是对称矩阵。
例如，\(A=\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{array}\right]\)，计算其转置\(A^{T}=\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{array}\right]\)，可以发现\(A = A^{T}\)，所以\(A\)是对称矩阵。
反对称矩阵：若矩阵\(A\)满足\(A^{T}=-A\)，则\(A\)是反对称矩阵。
例如，\(A=\left[\begin{array}{ccc}0&-1&-2\\1&0&-3\\2&3&0\end{array}\right]\)，其转置\(A^{T}=\left[\begin{array}{ccc}0&1&2\\-1&0&3\\-2&3&0\end{array}\right]\)，而\(-A=\left[\begin{array}{ccc}0&1&2\\-1&0&3\\-2&3&0\end{array}\right]\)，所以\(A^{T}=-A\)，\(A\)是反对称矩阵。并且反对称矩阵的主对角线元素\(a_{ii}\)一定为\(0\)，因为\(a_{ii}=-a_{ii}\)，只有\(a_{ii} = 0\)才能满足这个等式。
3. 转置运算的性质在计算中的应用
\((A + B)^{T}=A^{T}+B^{T}\)：如果要计算两个矩阵和的转置，可以分别计算它们的转置再相加。
例如，\(A=\left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]\)，\(B=\left[\begin{array}{cc}5&6\\7&8\end{array}\right]\)，首先\(A + B=\left[\begin{array}{cc}1 + 5&2+6\\3 + 7&4 + 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}6&8\\10&12\end{array}\right]\)，然后\((A + B)^{T}=\left[\begin{array}{cc}6&10\\8&12\end{array}\right]\)。另外，\(A^{T}=\left[\begin{array}{cc}1&3\\2&4\end{array}\right]\)，\(B^{T}=\left[\begin{array}{cc}5&7\\6&8\end{array}\right]\)，\(A^{T}+B^{T}=\left[\begin{array}{cc}1+5&3 + 7\\2+6&4 + 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}6&10\\8&12\end{array}\right]\)，验证了\((A + B)^{T}=A^{T}+B^{T}\)。
\((kA)^{T}=kA^{T}\)：当矩阵乘以一个数\(k\)后再转置，等于先转置矩阵再乘以\(k\)。
例如，\(A=\left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]\)，\(k = 3\)，\(kA=\left[\begin{array}{cc}3\times1&3\times2\\3\times3&3\times4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3&6\\9&12\end{array}\right]\)，\((kA)^{T}=\left[\begin{array}{cc}3&9\\6&12\end{array}\right]\)。同时，\(A^{T}=\left[\begin{array}{cc}1&3\\2&4\end{array}\right]\)，\(kA^{T}=\left[\begin{array}{cc}3\times1&3\times3\\3\times2&3\times4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3&9\\6&12\end{array}\right]\)，验证了\((kA)^{T}=kA^{T}\)。
\((AB)^{T}=B^{T}A^{T}\)：对于两个矩阵相乘后的转置，等于将它们的转置矩阵交换顺序相乘。
例如，\(A=\left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]\)，\(B=\left[\begin{array}{cc}5&6\\7&8\end{array}\right]\)
\(AB=\left[\begin{array}{cc}1\times5+2\times7&1\times6 + 2\times8\\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}19&22\\43&50\end{array}\right]\)
\((AB)^{T}=\left[\begin{array}{cc}19&43\\22&50\end{array}\right]\)
而\(A^{T}=\left[\begin{array}{cc}1&3\\2&4\end{array}\right]\)，\(B^{T}=\left[\begin{array}{cc}5&7\\6&8\end{array}\right]\)
\(B^{T}A^{T}=\left[\begin{array}{cc}5\times1+7\times2&5\times3+7\times4\\6\times1+8\times2&6\times3+8\times4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}19&43\\22&50\end{array}\right]\)，验证了\((AB)^{T}=B^{T}A^{T}\)。
