1. 三阶行列式

对于三元线性方程组\(\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2+a_{13}x_3 = b_1\\a_{21}x_1 + a_{22}x_2+a_{23}x_3 = b_2\\a_{31}x_1 + a_{32}x_2+a_{33}x_3 = b_3\end{cases}\)，定义三阶行列式\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\)

它的值等于\(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}\)。

这可以通过按照某一行（列）展开来记忆，例如按第一行展开：

\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}\)。

2. n阶行列式

设有\(n^2\)个数，排成\(n\)行\(n\)列的数表\(a_{ij}(i, j = 1,2,\cdots,n)\)，作出表中位于不同行不同列的\(n\)个数的乘积\(a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}\)，其中\(j_1j_2\cdots j_n\)是\(1,2,\cdots,n\)的一个排列。

对于每一个这样的排列，都有一个对应的符号\(( - 1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}\)，其中\(\tau(j_1j_2\cdots j_n)\)是排列\(j_1j_2\cdots j_n\)的逆序数。

所有这些乘积的代数和\(\sum_{j_1j_2\cdots j_n}(- 1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}\)称为\(n\)阶行列式，记作

\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\)。

例如，对于一个四阶行列式\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}\)，它是由\(4!\)个项组成的代数和，每一项是取自不同行不同列的\(4\)个元素的乘积，并且带有相应的符号。如其中一项可以是\(( - 1)^{\tau(1234)}a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}=a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}\)（因为\(\tau(1234) = 0\)），另一项可以是\(( - 1)^{\tau(2143)}a_{12}a_{21}a_{34}a_{43}\)（这里\(\tau(2143)=3\)）等。

线性代数：研究向量空间、线性变换、矩阵、行列式等线性结构及其性质的数学学科