1. 零矩阵

定义：所有元素都为\(0\)的矩阵称为零矩阵，记为\(O\)。

例如，\(2\times3\)的零矩阵\(O_{2\times3}=\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\end{array}\right]\)。

性质：对于任意矩阵\(A\)（与零矩阵的行数和列数满足乘法规则），有\(A + O=A\)，\(OA = O\)（当零矩阵在左边与\(A\)相乘时），\(AO = O\)（当零矩阵在右边与\(A\)相乘时）。

2. 单位矩阵

定义：主对角线（从左上角到右下角的对角线）上的元素都是\(1\)，其余元素都是\(0\)的方阵（行数和列数相等的矩阵）称为单位矩阵，记为\(I\)或\(E\)。

例如，\(3\times3\)的单位矩阵\(I_{3}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\)。

性质：对于任意\(n\times n\)方阵\(A\)，有\(AI = IA=A\)。它在矩阵乘法中起到类似于数字\(1\)在普通乘法中的作用。

3. 对角矩阵

定义：除主对角线元素外，其余元素都为\(0\)的方阵称为对角矩阵。

例如，\(\left[\begin{array}{ccc}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{array}\right]\)是一个对角矩阵。

性质：对角矩阵的乘法比较简单。设\(A=\left[\begin{array}{ccc}a_{1}&0&0\\0&a_{2}&0\\0&0&a_{3}\end{array}\right]\)和\(B=\left[\begin{array}{ccc}b_{1}&0&0\\0&b_{2}&0\\0&0&b_{3}\end{array}\right]\)是两个对角矩阵，则\(AB=\left[\begin{array}{ccc}a_{1}b_{1}&0&0\\0&a_{2}b_{2}&0\\0&0&a_{3}b_{3}\end{array}\right]\)。

4. 对称矩阵

定义：对于矩阵\(A=(a_{ij})\)，如果\(a_{ij}=a_{ji}\)（\(i,j = 1,2,\cdots,n\)），则称\(A\)为对称矩阵。

例如，\(\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{array}\right]\)是一个对称矩阵。

性质：对称矩阵的转置等于它本身，即\(A = A^{T}\)。并且对于两个对称矩阵\(A\)和\(B\)（它们的行数和列数相同），\(A + B\)也是对称矩阵，但是\(AB\)不一定是对称矩阵。

5. 反对称矩阵

定义：对于矩阵\(A=(a_{ij})\)，如果\(a_{ij}=-a_{ji}\)（\(i,j = 1,2,\cdots,n\)）且\(a_{ii}=0\)（主对角线元素为\(0\)），则称\(A\)为反对称矩阵。

例如，\(\left[\begin{array}{ccc}0&-1&-2\\1&0&-3\\2&3&0\end{array}\right]\)是一个反对称矩阵。

性质：反对称矩阵的转置等于它的相反数，即\(A^{T}=-A\)。并且任意一个方阵\(A\)都可以表示为一个对称矩阵\(S\)和一个反对称矩阵\(K\)之和，即\(A = S+K\)，其中\(S=\frac{1}{2}(A + A^{T})\)，\(K=\frac{1}{2}(A - A^{T})\)。

6. 正交矩阵

定义：如果一个方阵\(Q\)满足\(Q^{T}Q = QQ^{T}=I\)，则称\(Q\)为正交矩阵。

例如，\(\left[\begin{array}{cc}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{array}\right]\)是一个正交矩阵。

性质：正交矩阵的列向量（或行向量）是两两正交的单位向量。并且如果\(Q\)是正交矩阵，那么\(\vert Q\vert=\pm1\)，对于正交矩阵\(Q\)和向量\(x\)，\(\left\vert Qx\right\vert=\left\vert x\right\vert\)，即正交变换不改变向量的长度。

线性代数：研究向量空间、线性变换、矩阵、行列式等线性结构及其性质的数学学科