线性代数：二阶行列式与三阶行列式
1. 二阶行列式
定义：对于二元线性方程组\(\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1\\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2\end{cases}\)
为了求解\(x_1\)和\(x_2\)，引入二阶行列式\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)
例如，\(\begin{vmatrix}2&3\\1&4\end{vmatrix}=2\times4 - 3\times1 = 5\)
用二阶行列式求解二元线性方程组：
若\(D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}\neq0\)，则方程组的解为
\(x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{vmatrix}}{D}\)，\(x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{11}&b_1\\a_{21}&b_2\end{vmatrix}}{D}\)
例如，对于方程组\(\begin{cases}2x_1+3x_2 = 8\\x_1 + 4x_2 = 7\end{cases}\)，\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&3\\1&4\end{vmatrix}=5\)
\(x_1=\frac{\begin{vmatrix}8&3\\7&4\end{vmatrix}}{5}=\frac{8\times4 - 3\times7}{5}=1\)，\(x_2=\frac{\begin{vmatrix}2&8\\1&7\end{vmatrix}}{5}=\frac{2\times7 - 8\times1}{5}=2\)
2. 三阶行列式
定义：对于三元线性方程组\(\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2+a_{13}x_3 = b_1\\a_{21}x_1 + a_{22}x_2+a_{23}x_3 = b_2\\a_{31}x_1 + a_{32}x_2+a_{33}x_3 = b_3\end{cases}\)，三阶行列式
\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}\)。
为了便于记忆，可以使用对角线法则（但这种方法只适用于二阶和三阶行列式）。
对角线法则：
在三阶行列式\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\)中，把\(a_{11},a_{22},a_{33}\)所在的对角线称为主对角线，把\(a_{13},a_{22},a_{31}\)所在的对角线称为副对角线。主对角线上元素乘积之和减去副对角线上元素乘积之和就是三阶行列式的值。
例如，\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)
\(=1\times5\times9 + 2\times6\times7+3\times4\times8 - 3\times5\times7 - 2\times4\times9 - 1\times6\times8 = 0\)。
用三阶行列式求解三元线性方程组（克莱姆法则）：
如果\(D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\neq0\)，则方程组的解为
\(x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_1&a_{12}&a_{13}\\b_2&a_{22}&a_{23}\\b_3&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}{D}\)，\(x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{11}&b_1&a_{13}\\a_{21}&b_2&a_{23}\\a_{31}&b_3&a_{33}\end{vmatrix}}{D}\)，\(x_3=\frac{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&b_1\\a_{21}&a_{22}&b_2\\a_{31}&a_{32}&b_3\end{vmatrix}}{D}\)
例如，对于方程组\(\begin{cases}x_1 + 2x_2+3x_3 = 6\\4x_1 + 5x_2+6x_3 = 15\\7x_1 + 8x_2+9x_3 = 24\end{cases}\)，先计算系数行列式\(D=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=0\)，此时不能直接用克莱姆法则求解，因为其系数行列式为\(0\)。如果系数行列式不为\(0\)，就可以按照上述公式计算出\(x_1,x_2,x_3\)的值。
3. 特殊二阶行列式
对角行列式：主对角线以外的元素全为零的二阶行列式，即\(\begin{vmatrix}a&0\\0&b\end{vmatrix}=ab\) 。例如\(\begin{vmatrix}2&0\\0&3\end{vmatrix}=2\times3 = 6\).
上三角行列式：主对角线下方的元素全为零的二阶行列式，即\(\begin{vmatrix}a&b\\0&d\end{vmatrix}=ad\) 。例如\(\begin{vmatrix}2&3\\0&4\end{vmatrix}=2\times4 = 8\).
下三角行列式：主对角线上方的元素全为零的二阶行列式，即\(\begin{vmatrix}a&0\\c&d\end{vmatrix}=ad\) 。例如\(\begin{vmatrix}2&0\\1&3\end{vmatrix}=2\times3 = 6\).
4. 特殊三阶行列式
对角行列式：主对角线以外的元素全为零的三阶行列式，即\(\begin{vmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{vmatrix}=abc\) 。
例如，\(\begin{vmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{vmatrix}=1\times2\times3 = 6\).
上三角行列式：主对角线下方的元素全为零的三阶行列式，根据三阶行列式的展开法则，其值等于主对角线元素之积，即
\(\begin{vmatrix}a&b&c\\0&d&e\\0&0&f\end{vmatrix}=adf\) 。例如，\(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{vmatrix}=1\times4\times6 = 24\).
下三角行列式：主对角线上方的元素全为零的三阶行列式，其值也等于主对角线元素之积，即
\(\begin{vmatrix}a&0&0\\b&c&0\\d&e&f\end{vmatrix}=acf\) 。例如，\(\begin{vmatrix}1&0&0\\2&3&0\\4&5&6\end{vmatrix}=1\times3\times6 = 18\).
Vandermonde行列式：形如\(\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^{2}&b^{2}&c^{2}\end{vmatrix}\)，其值为\((b - a)(c - a)(c - b)\)。它在多项式插值等问题中有重要应用 。
循环行列式：例如\(\begin{vmatrix}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{vmatrix}\)，其具有一定的对称性和特殊的性质，在一些数学物理问题及密码学等领域有应用。
