线性代数：行列式按行（列）展开

1. 余子式和代数余子式的定义

余子式：在\(n\)阶行列式中，把\((i,j)\)元\(a_{ij}\)所在的第\(i\)行和第\(j\)列划去后，留下来的\(n - 1\)阶行列式叫做\((i,j)\)元\(a_{ij}\)的余子式，记作\(M_{ij}\)。

代数余子式：\((i,j)\)元\(a_{ij}\)的代数余子式\(A_{ij}=(-1)^{i + j}M_{ij}\)。

例如，对于三阶行列式\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\)

\(a_{11}\)的余子式\(M_{11}=\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\)，代数余子式\(A_{11}=(-1)^{1 + 1}M_{11}=M_{11}\)；

\(a_{12}\)的余子式\(M_{12}=\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}\)，代数余子式\(A_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-M_{12}\)。

2. 行列式按行（列）展开定理

按行展开：\(n\)阶行列式\(D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\)等于它的任意一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

\(D = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}(i = 1,2,\cdots,n)\)。

按列展开：\(n\)阶行列式\(D\)也等于它的任意一列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

\(D = a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}(j = 1,2,\cdots,n)\)。

示例（按行展开）：计算三阶行列式\(D=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)，按第一行展开。

\(a_{11}=1\)的代数余子式\(A_{11}=(-1)^{1 + 1}\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}=5\times9 - 6\times8=-3\)。

\(a_{12}=2\)的代数余子式\(A_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}=-(4\times9 - 6\times7)=6\)。

\(a_{13}=3\)的代数余子式\(A_{13}=(-1)^{1 + 3}\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}=4\times8 - 5\times7=-3\)。

则\(D=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}=1\times(-3)+2\times6 + 3\times(-3)=0\)。

3. 行列式按行（列）展开的应用

计算高阶行列式：当行列式的阶数较高时，可以通过按行（列）展开将高阶行列式转化为低阶行列式来计算。

例如，对于四阶行列式\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}\)，可以选择某一行（列）元素尽可能多的为\(0\)的行（列）进行展开，这样可以减少计算量。如果某一行（列）只有一个非零元素，那么根据展开定理，行列式的值就等于这个非零元素与其代数余子式的乘积，从而将四阶行列式转化为三阶行列式来计算。

证明行列式的性质和等式：利用行列式按行（列）展开可以方便地证明行列式的一些性质。

例如，证明行列式某一行（列）元素全为\(0\)时，行列式的值为\(0\)。设\(n\)阶行列式\(D\)的第\(i\)行元素全为\(0\)，按第\(i\)行展开得

\(D = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=0\times A_{i1}+0\times A_{i2}+\cdots+0\times A_{in}=0\)。

例1. 对角行列式

行列式\(\begin{vmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{vmatrix}\)

根据行列式按行（列）展开法则，按第一行展开，\(A_{11} = b\times c\)，\(a\)的代数余子式\(A_{11}\)前面的符号为\(( - 1)^{1 + 1}=1\)，所以该行列式的值为\(abc\)。

例2. 上三角行列式

行列式\(\begin{vmatrix}a&b&c\\0&d&e\\0&0&f\end{vmatrix}\)

按第一行展开，\(a\times\begin{vmatrix}d&e\\0&f\end{vmatrix}-b\times\begin{vmatrix}0&e\\0&f\end{vmatrix}+c\times\begin{vmatrix}0&d\\0&0\end{vmatrix}\)。

对于二阶行列式\(\begin{vmatrix}d&e\\0&f\end{vmatrix}=df\)，而\(\begin{vmatrix}0&e\\0&f\end{vmatrix}=0\)，\(\begin{vmatrix}0&d\\0&0\end{vmatrix}=0\)，所以原行列式的值为\(adf\)。

例3. 下三角行列式

行列式\(\begin{vmatrix}a&0&0\\b&c&0\\d&e&f\end{vmatrix}\)

按第一列展开，\(a\times\begin{vmatrix}c&0\\e&f\end{vmatrix}-b\times\begin{vmatrix}0&0\\e&f\end{vmatrix}+d\times\begin{vmatrix}0&0\\c&0\end{vmatrix}\)。

二阶行列式\(\begin{vmatrix}c&0\\e&f\end{vmatrix}=cf\)，\(\begin{vmatrix}0&0\\e&f\end{vmatrix}=0\)，\(\begin{vmatrix}0&0\\c&0\end{vmatrix}=0\)，所以原行列式的值为\(acf\)。

例4. 副对角行列式

行列式\(\begin{vmatrix}0&0&a\\0&b&0\\c&0&0\end{vmatrix}\)

按第一行展开，\(a\times(- 1)^{1 + 3}\times\begin{vmatrix}0&b\\c&0\end{vmatrix}\)。

二阶行列式\(\begin{vmatrix}0&b\\c&0\end{vmatrix}=-bc\)，所以原行列式的值为\(-abc\)。

例5. 反对角线上元素相同的三阶行列式

行列式\(\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}\)，其中\(a = i\)，\(b = h\)，\(c = g\)

按第一行展开，\(a\times\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}-b\times\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}+c\times\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}\)。

计算二阶行列式并化简可得\(a(ei - fh)-b(di - fg)+c(dh - eg)\)，当\(a = i\)，\(b = h\)，\(c = g\)时，经过化简可以得到一个具体的值（具体值与\(d,e,f,g,h\)等元素有关）。

例6. 第一行元素全为\(1\)的三阶行列式

行列式\(\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\d&e&f\end{vmatrix}\)

按第一行展开，\(1\times\begin{vmatrix}b&c\\e&f\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}a&c\\d&f\end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix}a&b\\d&e\end{vmatrix}\)。

计算二阶行列式得\((bf - ce)-(af - cd)+(ae - bd)=bf - ce - af+cd + ae - bd\)。

例7. 行列式某一行（列）元素成比例

行列式\(\begin{vmatrix}a&b&c\\ka&kb&kc\\d&e&f\end{vmatrix}\)

按第一行展开，\(a\times\begin{vmatrix}kb&kc\\e&f\end{vmatrix}-b\times\begin{vmatrix}ka&kc\\d&f\end{vmatrix}+c\times\begin{vmatrix}ka&kb\\d&e\end{vmatrix}\)。

对于二阶行列式\(\begin{vmatrix}kb&kc\\e&f\end{vmatrix}=kbf - kce\)，\(\begin{vmatrix}ka&kc\\d&f\end{vmatrix}=kaf - kcd\)，\(\begin{vmatrix}ka&kb\\d&e\end{vmatrix}=kae -kbd\)。

代入展开式可得\(a(kbf - kce)-b(kaf - kcd)+c(kae - kbd)=k(abf - ace - abf +acd + ace - abd)=0\)。

例8. 对称行列式（主对角线对称）

行列式\(\begin{vmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{vmatrix}\)

按第一行展开，\(a\times\begin{vmatrix}d&e\\e&f\end{vmatrix}-b\times\begin{vmatrix}b&e\\c&f\end{vmatrix}+c\times\begin{vmatrix}b&d\\c&e\end{vmatrix}\)。

计算二阶行列式：\(\begin{vmatrix}d&e\\e&f\end{vmatrix}=df - e^{2}\)，\(\begin{vmatrix}b&e\\c&f\end{vmatrix}=bf - ce\)，\(\begin{vmatrix}b&d\\c&e\end{vmatrix}=be - cd\)。

代入展开式得\(a(df - e^{2})-b(bf - ce)+c(be - cd)=adf - ae^{2}-b^{2}f + bce + bce - c^{2}d\)。

例9. 三阶循环行列式

行列式\(\begin{vmatrix}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{vmatrix}\)

按第一行展开，\(a\times\begin{vmatrix}a&b\\c&a\end{vmatrix}-b\times\begin{vmatrix}c&b\\b&a\end{vmatrix}+c\times\begin{vmatrix}c&a\\b&c\end{vmatrix}\)。

计算二阶行列式：\(\begin{vmatrix}a&b\\c&a\end{vmatrix}=a^{2}-bc\)，\(\begin{vmatrix}c&b\\b&a\end{vmatrix}=ca - b^{2}\)，\(\begin{vmatrix}c&a\\b&c\end{vmatrix}=c^{2}-ab\)。

代入展开式得\(a(a^{2}-bc)-b(ca - b^{2})+c(c^{2}-ab)\)

\(=a^{3}-abc - abc + b^{3}+c^{3}-abc=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\)。