线性代数：全排列和对换
1. 全排列
把\(n\)个不同的元素排成一列，叫做这\(n\)个元素的全排列（也简称排列）。
例如，对于\(n = 3\)，元素为\(1\)、\(2\)、\(3\)，那么所有的全排列有
\(123\)、\(132\)、\(213\)、\(231\)、\(312\)、\(321\)，共\(3! = 6\)种。
排列数计算：\(n\)个元素的全排列数为\(n!\)
这是因为第一个位置有\(n\)种选择，第二个位置剩下\(n - 1\)种选择，第三个位置剩下\(n-2\)种选择，以此类推，最后一个位置只有\(1\)种选择，所以总的排列数为\(n\times(n - 1)\times(n - 2)\times\cdots\times1=n!\)。
逆序数：在一个排列\(p_1p_2\cdots p_n\)中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
例如，在排列\(312\)中，\(3\)和\(1\)是一个逆序，\(3\)和\(2\)是一个逆序，所以逆序数为\(2\)。计算逆序数可以通过从前往后依次比较每个数与其后面的数的大小来确定。
奇偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。
例如，排列\(123\)的逆序数为\(0\)，是偶排列；排列\(312\)的逆序数为\(2\)，也是偶排列；排列\(321\)的逆序数为\(3\)，是奇排列。
2. 对换
在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。例如，在排列\(123\)中，将\(2\)和\(3\)对换，得到\(132\)。
对换与排列奇偶性的关系：一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变。
例如，排列\(123\)是偶排列，经过\(2\)和\(3\)对换后得到的\(132\)是奇排列。
定理及证明（对换改变排列奇偶性）：
设排列为\(a_1\cdots a_lab_1\cdots b_mbc_1\cdots c_n\)，将\(a\)与\(b\)对换，得到新排列\(a_1\cdots a_lbb_1\cdots b_ma c_1\cdots c_n\)。
对于\(a\)和\(b\)之间的数，它们与\(a\)、\(b\)的逆序情况不变。\(a\)原来与\(b\)及\(b\)后面的数构成的逆序，对换后变为顺序；\(b\)原来与\(a\)及\(a\)前面的数构成的顺序，对换后变为逆序。所以逆序数的改变量为\(1\)或\(-1\)，从而排列的奇偶性改变。
