性质1：行列式与它的转置行列式相等

解释：将行列式的行与列互换，得到的转置行列式的值与原行列式的值相同。

原行列式为\(D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\)，其转置行列式\(D^T=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{n1}\\a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\)，则\(D = D^T\)

意义：此性质表明行列式的行与列具有同等的地位，在行列式的计算和证明中，可以根据需要灵活地对行或列进行操作。

性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号

解释：若将行列式中的第\(i\)行与第\(j\)行（或第\(i\)列与第\(j\)列）互换，得到的新行列式的值是原行列式值的相反数。例如，对于二阶行列式\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\)，交换两行后变为\(\begin{vmatrix}c&d\\a&b\end{vmatrix}\)，则有\(\begin{vmatrix}c&d\\a&b\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\)

推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。因为将相同的两行（列）互换后，行列式的值不变，但根据性质2又应变号，所以只能是行列式的值为零。

性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数\(k\)，等于用数\(k\)乘此行列式

解释：若将行列式\(D\)的第\(i\)行（列）的所有元素都乘以\(k\)，得到的新行列式的值为\(kD\)。

\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ka_{i1}&ka_{i2}&\cdots&ka_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\)

推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零

解释：若行列式的第\(i\)行（列）与第\(j\)行（列）的对应元素成比例，即存在常数\(k\)，使得\(a_{is}=ka_{js}\)（\(s = 1,2,\cdots,n\)），则该行列式的值为零。

证明：由性质3可将比例系数\(k\)提出，此时行列式的两行（列）相同，再根据性质2的推论可知该行列式为零。

性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式等于两个行列式的和

解释：若\(D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1j}+b_{1j}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2j}+b_{2j}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nj}+b_{nj}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\)，则

\(D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2j}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&b_{1j}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&b_{2j}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&b_{nj}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\)

性质6：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变

解释：例如，将行列式\(D\)的第\(j\)列的各元素乘以\(k\)后加到第\(i\)列的对应元素上，得到的新行列式的值与原行列式\(D\)的值相等。

\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1i}+ka_{1j}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2i}+ka_{2j}&\cdots&a_{2j}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{ni}+ka_{nj}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1i}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2i}&\cdots&a_{2j}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{ni}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\)

例1：利用性质化简并计算行列式

计算行列式\(D = \begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)

首先，利用性质6，将第一行乘以\(-4\)加到第二行，第一行乘以\(-7\)加到第三行，得到：

\(D=\begin{vmatrix}1&2&3\\4 - 4\times1&5-4\times2&6 - 4\times3\\7-7\times1&8 - 7\times2&9-7\times3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&-6&-12\end{vmatrix}\)

然后，根据性质4，因为第二行和第三行元素成比例（第三行是第二行的\(2\)倍），所以\(D = 0\)。

例2：利用性质将行列式化为上三角行列式计算

计算行列式\(D=\begin{vmatrix}2&1&-1\\3&-1&2\\1&4&-3\end{vmatrix}\)

利用性质6，将第一行乘以\(-\frac{3}{2}\)加到第二行，第一行乘以\(-\frac{1}{2}\)加到第三行，得到：

\(D=\begin{vmatrix}2&1&-1\\3-\frac{3}{2}\times2&-1-\frac{3}{2}\times1&2-\frac{3}{2}\times(-1)\\1-\frac{1}{2}\times2&4-\frac{1}{2}\times1&-3-\frac{1}{2}\times(-1)\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&1&-1\\0&-\frac{5}{2}&\frac{7}{2}\\0&\frac{7}{2}&-\frac{5}{2}\end{vmatrix}\)

再将第二行乘以\(\frac{7}{5}\)加到第三行，得到：

\(D=\begin{vmatrix}2&1&-1\\0&-\frac{5}{2}&\frac{7}{2}\\0&0&\frac{24}{5}\end{vmatrix}\)

根据上三角行列式的值等于主对角线元素之积，可得\(D = 2\times(-\frac{5}{2})\times\frac{24}{5}=-24\)。

例3：利用性质证明行列式的值为零

设\(D=\begin{vmatrix}a + b&b + c&c + a\\a_{1}+b_{1}&b_{1}+c_{1}&c_{1}+a_{1}\\a_{2}+b_{2}&b_{2}+c_{2}&c_{2}+a_{2}\end{vmatrix}\)

根据性质5，将行列式按列拆开，可得：

\(D=\begin{vmatrix}a&b + c&c + a\\a_{1}&b_{1}+c_{1}&c_{1}+a_{1}\\a_{2}&b_{2}+c_{2}&c_{2}+a_{2}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b&b + c&c + a\\b_{1}&b_{1}+c_{1}&c_{1}+a_{1}\\b_{2}&b_{2}+c_{2}&c_{2}+a_{2}\end{vmatrix}\)

对于第一个行列式，利用性质6，将第二列乘以\(-1\)加到第三列，对于第二个行列式，将第一列乘以\(-1\)加到第二列，得到：

\(D=\begin{vmatrix}a&b + c&a - b\\a_{1}&b_{1}+c_{1}&a_{1}-b_{1}\\a_{2}&b_{2}+c_{2}&a_{2}-b_{2}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b&c&c + a\\b_{1}&c_{1}&c_{1}+a_{1}\\b_{2}&c_{2}&c_{2}+a_{2}\end{vmatrix}\)

再将第一个行列式的第一列乘以\(-1\)加到第三列，第二个行列式的第二列乘以\(-1\)加到第三列，得到：

\(D=\begin{vmatrix}a&b + c&-b\\a_{1}&b_{1}+c_{1}&-b_{1}\\a_{2}&b_{2}+c_{2}&-b_{2}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b&c&a\\b_{1}&c_{1}&a_{1}\\b_{2}&c_{2}&a_{2}\end{vmatrix}\)

根据性质2，这两个行列式互为相反数，所以\(D = 0\)。

例4：利用转置性质计算行列式

计算\(D=\begin{vmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{vmatrix}\)

先求其转置行列式\(D^T=\begin{vmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{vmatrix}\)（因为转置行列式与原行列式相等）。

利用性质6，将第一行乘以\(-2\)加到第二行，第一行乘以\(-3\)加到第三行，得到：

\(D^T=\begin{vmatrix}1&2&3\\2-2\times1&3 - 2\times2&4-2\times3\\3-3\times1&4-3\times2&5 - 3\times3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-1&-2\\0&-2&-4\end{vmatrix}\)

由性质4，因为第二行和第三行成比例，所以\(D^T = 0\)，从而\(D = 0\)。

例5：利用性质计算含参数的行列式

设\(D=\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^{2}&b^{2}&c^{2}\end{vmatrix}\)

利用性质6，将第一行乘以\(-a\)加到第二行，第一行乘以\(-a^{2}\)加到第三行，得到：

\(D=\begin{vmatrix}1&1&1\\a - a\times1&b - a\times1&c - a\times1\\a^{2}-a^{2}\times1&b^{2}-a^{2}\times1&c^{2}-a^{2}\times1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1\\0&b - a&c - a\\0&b^{2}-a^{2}&c^{2}-a^{2}\end{vmatrix}\)

对于第三行，根据平方差公式\(b^{2}-a^{2}=(b - a)(b + a)\)，\(c^{2}-a^{2}=(c - a)(c + a)\)，将第三行分解因式得：

\(D=\begin{vmatrix}1&1&1\\0&b - a&c - a\\0&(b - a)(b + a)&(c - a)(c + a)\end{vmatrix}\)

根据性质3，将第二行的公因子\((b - a)\)和\((c - a)\)提出，得到：

\(D=(b - a)(c - a)\begin{vmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&b + a&c + a\end{vmatrix}\)

再利用性质6，将第二行乘以\(-(b + a)\)加到第三行，得到：

\(D=(b - a)(c - a)\begin{vmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&c - b\end{vmatrix}\)

根据上三角行列式的值等于主对角线元素之积，可得\(D=(b - a)(c - a)(c - b)\)。

线性代数：研究向量空间、线性变换、矩阵、行列式等线性结构及其性质的数学学科