线性代数：矩阵的秩
1. 矩阵秩的定义
子式定义法：设\(A\)是\(m\times n\)矩阵，从\(A\)中任取\(k\)行与\(k\)列（\(k\leq m\)，\(k\leq n\)），位于这些行列交叉处的\(k^2\)个元素，不改变它们在\(A\)中所处的位置次序而得的\(k\)阶行列式，称为矩阵\(A\)的\(k\)阶子式。如果矩阵\(A\)中存在一个非零的\(r\)阶子式，而所有的\(r + 1\)阶子式（如果存在的话）全为零，那么数\(r\)称为矩阵\(A\)的秩，记作\(rank(A)=r\)或\(r(A)=r\)。例如，对于矩阵\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\)，它的一阶子式可以是\(1\)（取第一行第一列元素），二阶子式\(\begin{vmatrix}1&2\\0&0\end{vmatrix}=0\)，所有二阶子式都为\(0\)，而有非零的一阶子式，所以\(rank(A)=1\)。
行阶梯形矩阵与秩的关系：把矩阵通过初等行变换化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原矩阵的秩。例如，对于矩阵\(A=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\0&1&2&3\\0&0&0&1\end{bmatrix}\)，它是行阶梯形矩阵，有\(3\)个非零行，所以\(rank(A)=3\)。
2. 秩的性质
性质一：\(0\leq rank(A)\leq min\{m,n\}\)
因为矩阵的秩是由其非零子式的最高阶数决定的，而子式的阶数不能超过矩阵的行数和列数，且秩不能为负数，所以秩的取值范围在\(0\)到\(m\)和\(n\)中的较小值之间。例如，对于\(3\times4\)矩阵，其秩最大为\(3\)。
性质二：\(rank(A)=rank(A^T)\)
矩阵\(A\)与其转置矩阵\(A^T\)的秩相等。这是因为行列式与其转置行列式相等，所以在找非零子式时，\(A\)和\(A^T\)能找到的最高阶非零子式的阶数是一样的。例如，若\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，\(A^T=\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}\)，\(rank(A)=2\)，\(rank(A^T)=2\)。
性质三：若\(A\)是\(n\)阶方阵，\(A\)可逆的充分必要条件是\(rank(A)=n\)
因为\(n\)阶方阵\(A\)可逆等价于\(\vert A\vert\neq0\)，而\(\vert A\vert\neq0\)意味着\(A\)至少有一个\(n\)阶非零子式，根据秩的定义，此时\(rank(A)=n\)。例如，单位矩阵\(I=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)是可逆矩阵，其秩为\(3\)。
性质四：\(rank(AB)\leq min\{rank(A),rank(B)\}\)
设\(A\)是\(m\times p\)矩阵，\(B\)是\(p\times n\)矩阵，从矩阵乘法和秩的定义可以推导得出此性质。例如，若\(A=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}\)，\(AB=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}\)，\(rank(A)=1\)，\(rank(B)=1\)，\(rank(AB)=0\)，满足\(rank(AB)\leq min\{rank(A),rank(B)\}\)。
3. 求矩阵秩的方法
初等变换法：通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，然后数非零行的行数。例如，对于矩阵\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{bmatrix}\)，进行初等行变换\(r_2 - 2r_1\)，\(r_3 - 3r_1\)得到\(\begin{bmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\)，非零行有\(1\)行，所以\(rank(A)=1\)。
利用性质计算秩：根据秩的性质，结合已知矩阵的秩来计算所求矩阵的秩。例如，已知\(rank(A)=2\)，\(rank(B)=3\)，且\(A\)和\(B\)满足某种关系，通过性质\(rank(AB)\leq min\{rank(A),rank(B)\}\)等可以推断出\(AB\)矩阵的秩的范围。
4. 秩与线性方程组的关系
齐次线性方程组：对于齐次线性方程组\(Ax = 0\)（其中\(A\)是\(m\times n\)矩阵，\(x\)是\(n\)维列向量），它的基础解系所含向量的个数为\(n - r(A)\)。例如，若\(A\)是一个\(3\times5\)矩阵，秩\(r(A)=2\)，那么基础解系所含向量个数为\(5 - 2 = 3\)。这意味着方程组\(Ax = 0\)的解空间是一个\(3\)维的向量空间。
非齐次线性方程组：对于非齐次线性方程组\(Ax = b\)（\(b\neq0\)），其有解的充分必要条件是系数矩阵\(A\)的秩等于增广矩阵\((A|b)\)的秩，即\(r(A)=r(A|b)\)。如果\(r(A)=r(A|b)=n\)（\(n\)为未知数个数），方程组有唯一解；如果\(r(A)=r(A|b)<n\)，方程组有无穷多解。例如，对于方程组\(\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 4\\2x_1 + 4x_2 + 6x_3 = 8\end{cases}\)，系数矩阵\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\end{bmatrix}\)，增广矩阵\((A|b)=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&4&6&8\end{bmatrix}\)，通过初等行变换可得\(r(A)=r(A|b)=1\)，而未知数个数\(n = 3\)，所以方程组有无穷多解。
5. 秩与向量组的关系
向量组的秩定义：设向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)，其极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩。如果把向量组中的向量按列构成矩阵\(A\)，那么向量组的秩就等于矩阵\(A\)的秩。例如，向量组\(\alpha_1=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_2=(2,4,6)^T\)，\(\alpha_3=(1,3,5)^T\)，构成矩阵\(A=\begin{bmatrix}1&2&1\\2&4&3\\3&6&5\end{bmatrix}\)，通过求矩阵\(A\)的秩可以得到向量组的秩。
向量组线性相关性与秩：向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关的充分必要条件是它们构成的矩阵\(A\)的秩\(r(A)<s\)；向量组线性无关的充分必要条件是\(r(A)=s\)。例如，对于上述向量组，若\(r(A)=2\)，而向量组有\(3\)个向量，则该向量组线性相关。
6. 用分块矩阵讨论秩
设\(A\)是\(m\times n\)矩阵，\(B\)是\(m\times p\)矩阵，则\(r(A|B)\leq r(A)+r(B)\)。例如，若\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}\)，可通过分别求\(r(A)\)、\(r(B)\)和\(r(A|B)\)来验证这个不等式。
对于分块矩阵\(\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}\)（\(A\)是\(m\times n\)矩阵，\(B\)是\(p\times q\)矩阵），其秩\(r\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}=r(A)+r(B)\)。这种形式的分块矩阵在一些证明和计算中很有用，可以将复杂的矩阵问题分解为对两个相对简单矩阵秩的讨论。
